高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试单元测试随堂练习题

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 核心素养定心卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知函数，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数y=ex与函数y=f（x）互为反函数，则

A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x>0）

C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x>0）

3．若函数的最小值为，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

4．设一元二次方程的两个实根为，，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．4

5．设函数（），若存在，使得，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　)

A． B． C． D．

7．满足的实数m的取值范围是（    ）.

A． B．

C． D．

8．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ）

A．恒大于0 B．恒小于0

C．等于0 D．无法判断

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，f（x）是减函数，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．直线为函数图象的一条对称轴

C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点

D．若在区间[－4，0]上的根为，，则

10．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则（    ）

A． B．实数a的取值范围为

C．的取值范围为 D．的解集为

11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．在上是增函数 D．的值域是

12．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数不存在零点，则的取值范围是______．

14．函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是______．

15．已知函数在上的最大值与最小值的和是2，则的值为________.

16．已知函数，其导函数为，若存在使得成立，则实数a的取值范围是________．

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．已知，函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．

18．设函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若，且关于的方程在[－2，6]上有实数解，求实数的取值范围．

19．已知函数为奇函数，为偶函数．

（1）求的值．

（2）设，若对于恒成立，求实数的取值范围．

20．已知幂函数在上单调递减.

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．已知函数且．

当时，，求实数x的取值范围．

若在上的最大值大于0，求a的取值范围．

22．已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．

（1）求实数m的值，并写出区间D；

（2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；

（3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值．

参考答案

1．C

【解析】函数的零点个数即为的方程根个数，

，则

当时，令，解得或(舍)

当时，令，解得或

即函数的零点个数为个

故选：C

2．D

【解析】由y=ex知，所以其反函数为，即，所以，故选D.

3．D

【解析】当时，，单调递减，∴的最小值为，

当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，

即恒成立，

∴，∴a≥0，

故选：D．

4．C

【解析】∵一元二次方程有两个实根,

∴,解得且.

又,,

则

令,因为且,所以或,

则,

当时,取得最小值.

故选:C.

5．B

【解析】因为,所以,

因为与关于直线对称,

所以,

因为,所以,即,则,

所以,

设,因为在上单调递增,所以,

因为存在,使得,

所以,

故选:B

6．B

【解析】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意；

若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B.

7．D

【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正，

在为减函数，且函数值为负，

等价于，

或或，

解得或或，

所以不等式的解集为.

故选：D.

8．B

【解析】由题可知：函数是幂函数

则或

又对任意的且，满足

所以函数为的增函数，故

所以，又，

所以为单调递增的奇函数

由，则，所以

则

故选：B

9．AB

【解析】在R上的偶函数满足，

令，则，即，A正确；

因，则有，即，

于是得直线是函数图象的一条对称轴，B正确；

因，则当时，，而，

则函数f(x)在区间[-2，7]上至少存在3个零点，C不正确；

由于函数f(x)的图象关于直线对称，则，即，D不正确.

故选：AB

10．ACD

【解析】由题意方程有三个实数根，，，

则函数的图像与直线有三个交点,且横坐标分别为，，.

作出函数的图像和直线如图所示：

由图可知，，所以，故A正确；

由于，所以，故B错误；

由，得，所以，所以，故C正确；

当时，由，即，得，

当时，由，即，得，

故的解集为，故D正确．

故选：ACD．

11．BC

【解析】，，

，则不是偶函数，故A错误；

的定义域为，

，

为奇函数，故B正确；

，

又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；

，，则，可得，

即．

，故D错误．

故选：BC．

12．AB

【解析】当时，

函数的大致图像如图所示：

因为当时，，

所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解，

需要满足且，解得，

故选：A、B.

13．

【解析】解：因为函数不存在零点，

即方程没有实数根，

即函数与没有交点，

由，，将两边同时平方可得，

且

，

即函数的值域为，所以

故答案为：

14．

【解析】由得，又．是对称轴．

所以的增区间是，又在区间内单调递增，

所以，解得．

故答案为：．

15．

【解析】①当时,在上为增函数,

所以在,上最大值为,最小值为;

②当,时,在上为减函数,

所以在,上最大值为,最小值为.

故有,即,解得,

又,所以,

故答案为:2.

【点睛】

本题考查了对数函数的单调性以及指数､对数运算,难度不大.解决此类问题时,注意对底数进行分情况讨论.

16．

【解析】构造函数

因为存在使得成立，所以存在使得

令

存在使得

故有或

解得：

故答案为：

17．

（1）或

（2）

18．（1）；（2）.

【解析】（1）由题意，知，则

由得或，由得，

所以，原不等式的解集为

（2），

即

因为在上是增函数，在上减函数，

所以函数在上是增函数，

所以时，；时，，

所以，实数的取值范围是．

19．（1）；（2）

【解析】解：（1）因为定义域为，且为奇函数，所以，解得，所以，则，所以为奇函数，故满足条件；

又为偶函数，所以，即，即，即，所以，解得，所以

（2）由（1），所以，

又因为在区间上是增函数，所以当时，，所以由题意，

得，

因此，实数的取值范围是：

20．（1）；（2）存在，.

【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，

所以解得：或(舍去)，

所以.

（2）由（1）得，所以，

假设存在使得命题成立，则

当时，即，在单调递增，

所以；

当，即，显然不成立；

当，即，在单调递减，

所以，无解；

综上所述：存在使命题成立.

21．（1）；（2）．

【解析】（1）当a=3时，，

，得

（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，

当a＞1时，函数在上单调递增，

，

得即a＞，

又a＞1，故a＞1；

当0<a＜1时，函数在上单调递减，

，

得；

又因为在上恒成立，

故，即

综上：的取值范围.

22．（1），；（2）单调递增，理由见解析；（3）．

【解析】解（1）是奇函数，

对任意，有，即．

化简此式，得．又此方程有无穷多解是区间），

必有，解得．

令解得

所以．

（2）当时，函数上是单调增函数．

理由：令．

易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，

故在上是随增大而减小

于是，当时，函数上是单调增函数．

（3），

，．

依据（2）可知，当时，函数在上是增函数，

即，解得，（舍去）．

若，则在上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是，的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出

必有．

因此，所求实数、的值是．