数学第六章 平面向量初步本章综合与测试学案及答案

这是一份数学第六章 平面向量初步本章综合与测试学案及答案，共3页。学案主要包含了共线向量定理的性质，共线向量定理的应用等内容，欢迎下载使用。

一、共线向量定理的性质
例1 试证明如下问题．如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内直线AB外任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得eq \(PC,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(PB,\s\up6(→)).
证明 ∵向量eq \(BC,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))共线，∴eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))，即eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＝λ(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))，eq \(PC,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))－λeq \(PB,\s\up6(→))，∴eq \(PC,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(PB,\s\up6(→)).
反思感悟 由上述过程的证明可以得出两条性质
性质1：已知A，B，C是平面内三个点， P是平面内直线AB外任意一点，若A，B，C三点共线，则存在实数λ，μ，使得eq \(PC,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋μeq \(PB,\s\up6(→))，则有λ＋μ＝1.
性质2：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内直线AB外任意一点，若存在实数λ，μ，有eq \(PC,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋μeq \(PB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1，则A，B，C三点共线．
二、共线向量定理的应用
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))，CE与BF相交于G点，记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，以a，b为基底表示eq \(AG,\s\up6(→)).
解 ∵E，G，C三点共线，∴由平面内三点共线可得：存在唯一的实数x使得eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up6(→))，
∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝x×eq \f(1,3)a＋(1－x)(a＋b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2x,3)))a＋(1－x)b.①
又∵F，G，B三点共线，∴由平面内三点共线可得：存在唯一的实数λ使得eq \(AG,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(AF,\s\up6(→))，
∵eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)b，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝λa＋(1－λ)eq \f(1,4)b.②
由①②两式可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1－\f(2x,3)，,\f(1－λ,4)＝1－x，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6,7)，,λ＝\f(3,7)，))
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(3,7)a＋eq \f(1,7)b.
反思感悟 本题的解法中由两组三点共线(F，G，B以及E，G，C三点在一条直线上)，利用平面内三点共线构造方程组求解，避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本题的复杂运算，达到了简化解题过程的效果．
例3 如图，在△OAB中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于M点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示eq \(OM,\s\up6(→))；
(2)在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M.设eq \(OE,\s\up6(→))＝peq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))＝qeq \(OB,\s\up6(→)).求证：eq \f(1,7p)＋eq \f(3,7q)＝1.
(1)解 因为B，M，C三点共线，
所以存在实数m使得eq \(OM,\s\up6(→))＝meq \(OC,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))
＝m·eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)ma＋(1－m)b；
又因为A，M，D三点共线，所以存在实数n使得
eq \(OM,\s\up6(→))＝neq \(OA,\s\up6(→))＋(1－n)eq \(OD,\s\up6(→))＝na＋eq \f(1,2)(1－n)b.
由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)m＝n，,1－m＝\f(1,2)1－n，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(4,7)，,n＝\f(1,7).))故eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b.
(2)证明 因为E，M，F三点共线，所以存在实数λ使得eq \(OM,\s\up6(→))＝λeq \(OE,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OF,\s\up6(→))＝λpa＋(1－λ)qb.结合(1)，易得出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λp＝\f(1,7)，,1－λq＝\f(3,7)，))消去λ得，eq \f(1,7p)＋eq \f(3,7q)＝1.
反思感悟 本题是以a，b作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．(1)中的实数m，n的几何意义为m＝eq \f(|\(BM,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,7)，n＝eq \f(|\(DM,\s\up6(→))|,|\(DA,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,7)， m，n∈(0,1)；(2)中的实数λ＝eq \f(|\(FM,\s\up6(→))|,|\(FE,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,7p).
例4 如图，平行四边形ABCD中，点P在线段AB上，且eq \f(AP,PB)＝m，Q在线段AD上，且eq \f(AQ,QD)＝n，BQ与CP相交于点R，求eq \f(PR,RC)的值．
解 设eq \f(PR,RC)＝λ，则eq \f(PR,PC)＝eq \f(λ,λ＋1)，eq \(BR,\s\up6(→))＝eq \f(λ,λ＋1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(λ,λ＋1)))eq \(BP,\s\up6(→)).
∵eq \f(AP,PB)＝m，∴eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,m＋1)eq \(BA,\s\up6(→))，
且eq \(BR,\s\up6(→))＝eq \f(λ,λ＋1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,λ＋1)·eq \f(1,m＋1)eq \(BA,\s\up6(→)).
又eq \f(AQ,QD)＝n，∴eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(n,n＋1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(n,n＋1)eq \(BC,\s\up6(→))，
∵eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))，即eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(n,n＋1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)).
又∵eq \(BR,\s\up6(→))与eq \(BQ,\s\up6(→))共线，∴eq \f(λ,λ＋1)－eq \f(n,n＋1)·eq \f(1,λ＋1m＋1)＝0，
解得λ＝eq \f(n,m＋1n＋1).
∴eq \f(PR,RC)＝eq \f(n,m＋1n＋1).
反思感悟 我们先要确定好一组基底eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，看准eq \(BR,\s\up6(→))，eq \(BQ,\s\up6(→))如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因P，R，C三点共线，中途要以eq \(BP,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))作基底，eq \(BR,\s\up6(→))由它们线性表示出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得eq \(BR,\s\up6(→))＝eq \f(λ,λ＋1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(λ,λ＋1)))eq \(BP,\s\up6(→))；最终eq \(BR,\s\up6(→))与eq \(BQ,\s\up6(→))都得转化到由eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.