专题6 函数中的双变量问题（原卷版）+（解析版）

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专题6 函数中的双变量问题
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.
二、解题秘籍
(一) 与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
【例1】（2021届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第五次模拟）已知函数,.
（1）求函数在上的最值；
（2）若对,总有成立,求实数的取值范围.
【分析】（1）因为单调递增, 时 单调递减；时 单调递增.
由,,,得,.
（2）等价于,
令,则在上单调递增.
问题化为对恒成立.
分离参数得对恒成立.令, ,
故的取值范围是.
(二) 与极值点有关的双变量问题
与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数.
【例2】（2021届福建省福州一中高三五模）已知函数,.
（1）讨论的零点个数；
（2）若有两个极值点,,且,证明：.
【分析】（1）,令,
时,,,在上单调递增,且,有且只有个零点：时,,,在上单调递增,且,故有且只有个零点；
时,有两正根,,,由于,所以,,
当时 单调递增；时,,,单调递减；单调递增；
因为,,所以在上有个零点,且,,
又,,且
,,
在,上各有个零点.
综上时,有且只有个零点：当时,有个零点.
（2） ,方程的根,,,
,则,则,

,
所以等价于,即,
令,则
在上单调递减,所以,即.
(三) 与零点有关的双变量问题
与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.
【例3】（2021届山西省名校联考高三三模）已知函数有两个零点,.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
【分析】（1） ,当时,在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意；当时,在上单调递减,在上单调递增,,若,,至多有一个零点,不符合题意；若,则,,
.,,存在两个零点,分别在,内.实数的取值范围为.
（2）方法1：由题意得,令,得,变形得.
欲证,即证,即证,然后构造函数证明.
方法2：令,则,,两式相除得,,,
欲证,即证,即证.
, 根据在上单调递减证明.
(四) 独立双变量,各自构造一元函数
此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.
【例4】设,g(x)=x3-x2-3.
（1）如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
【分析】（1）存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M.
由g(x)=x3-x2-3,得g′(x)=3x2-2x=3x(x-).
令g′(x)>0得x,
令g′(x)