专题23 利用导数解决双变量问题(原卷版)

专题23 利用导数解决双变量问题

【知识总结】

证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解。考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如该题中利用x2,2－x1，其取值范围都为(－∞，1)，若将所证不等式化为x1>2－x2，则x1,2－x2的取值范围都为(1，＋∞)，此时就必须利用函数h(x)在(1，＋∞)上的单调性来求解。

【例题讲解】

【例1】已知函数f(x)＝xex(x∈R)。

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若g(x)＝f(x)－a(x2＋2x＋1)有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)已知函数h(x)与函数f(x)的图象关于原点对称，如果x1≠x2，且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2。

【例题训练】

一、单选题

1．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，若，其中，则的最大值为（    ）

A． B．  C． D．

4．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．

二、解答题

6．已知函数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．

7．已知函数，为的导函数.

（1）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（2）当时，求证：对任意的且，有.

8．已知函数.其中为常数.

（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：.

9．已知函数，，设．

（1）若，求的最大值；

（2）若有两个不同的零点，，求证：.

10．已知函数，其中.

（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；

（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由

11．已知函数，，其中.

（1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围.

（2）当时，若有两个零点，，求证：.

12．已知函数.

（1）若在单调递增，求a的值；

（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域.

13．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：.

14．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．

15．已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）证明：在上单调递减，上单调递增；

（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.

16．已知函数，．其中，为常数．

（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．

17．已知函数，既存在极大值，又存在极小值.

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，，分别为的极大值点和极小值点.且，求实数的取值范围.

18．已知函数有两个零点，.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

19．已知函数，．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小．（取为2.8，取为0.7，取为1.4）

20．已知函数．

（Ⅰ）当时，求证：．

（Ⅱ）设，若，，使得成立，求实数a的取值范围．

21．设函数．

（1）当时，试讨论函数的单调性；

（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，，，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

22．已知函数．

（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）

23．已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若，函数的最小值为，求的值域.

24．已知函数.

（1）若在定义域单调递增，求a的取值范围；

（2）设，m，n分别是的极大值和极小值，且，求S的取值范围.

25．已知函数.   

（1）求函数的单调递增区间；   

（2）任取，函数对任意，恒有成立，求实数的取值范围.