高考数学微专题集专题9：双变量问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题9：双变量问题(原卷版+解析)，共17页。

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果.
例题
1．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
【解答】
解：（1）函数的定义域为，，
当时，则由，得，
当时，，当，时，，在单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，在单调递增；
（2）设函数，
则，
，
当时，，而，，故当时，；
（3）由（1）可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且，
不妨设，，，，，则，
由（2）得，，又在，上单调递减，
，于是，由（1）知，．
2．已知函数，.
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，，
且当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以；
（2）由，是的不同极值点，知，是的两根，
即，所以①，
联立可得：②，
要证，由①代入即证，即，
由②代入可得③，
因为，则③等价于，
令，问题转化为证明④成立，
而，
在上单调递增，当，④成立，即得证.
3．已知有两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）当时，证明：．
【解答】
（1）解：由题意可知，函数的定义域为，则，
令，因为函数有两个极值点，，
则函数有两个零点，，又，
当时，，则在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，可得，所以当时，，则单调递减，
当，时，，则单调递增，又（1），
所以当，即时，有唯一的零点，故符合题意；
当，即时，（1），
当，即时，在上有唯一的零点，，
设（a），，则（a），所以（a）在上单调递减，
则（a），即，又，所以在，上有唯一的零点，此时有两个零点，符合题意；
当，即时，在，上有唯一的零点，而，，
所以在上有唯一的两点，此时有两个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为，，；
（2）证明：由（1）可知，当时，有两个极值点，，不妨设，则，，
因为，所以，设，，
则，设，，则，
所以在上单调递减，，即，所以在上单调递减，
因为，，所以，，故．
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：（b）．
【解答】
解：（1），令得：，，；
令得：；在，上为增函数；在，上为减函数．
（2）由（1）知：当时，有（b），
，即：，．
（3）将（a）（b），变形为：（a）（b），
即只证：（a），设函数，
，，，
令，得：．
在，上单调递增；在，上单调递减；的最小值为：，即总有：．
，
，即：，令，，则，
（a）（b），（a）（b）成立．
【针对训练】
1．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式，并证明：．
（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）.
2．已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，证明：．
（2023秋•和平区校级月考）
3．已知函数在点(，)处的切线方程为．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．
4．设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
专题9：双变量问题
专题9：双变量问题
专题阐述：双变量问题主要表现为双变量不等式问题，一般包括中点型、极值和差商积问题、剪刀模型及主元法.
[规律方法] 破解双变量不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果.
例题
1．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；
（3）函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．
【解答】
解：（1）函数的定义域为，，
当时，则由，得，
当时，，当，时，，在单调递增，在，上单调递减；
当时，恒成立，在单调递增；
（2）设函数，
则，
，
当时，，而，，故当时，；
（3）由（1）可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为，且，
不妨设，，，，，则，
由（2）得，，又在，上单调递减，
，于是，由（1）知，．
2．已知函数，.
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，，
且当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以；
（2）由，是的不同极值点，知，是的两根，
即，所以①，
联立可得：②，
要证，由①代入即证，即，
由②代入可得③，
因为，则③等价于，
令，问题转化为证明④成立，
而，
在上单调递增，当，④成立，即得证.
3．已知有两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）当时，证明：．
【解答】
（1）解：由题意可知，函数的定义域为，则，
令，因为函数有两个极值点，，
则函数有两个零点，，又，
当时，，则在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，可得，所以当时，，则单调递减，
当，时，，则单调递增，又（1），
所以当，即时，有唯一的零点，故符合题意；
当，即时，（1），
当，即时，在上有唯一的零点，，
设（a），，则（a），所以（a）在上单调递减，
则（a），即，又，所以在，上有唯一的零点，此时有两个零点，符合题意；
当，即时，在，上有唯一的零点，而，，
所以在上有唯一的两点，此时有两个零点，符合题意．
综上所述，的取值范围为，，；
（2）证明：由（1）可知，当时，有两个极值点，，不妨设，则，，
因为，所以，设，，
则，设，，则，
所以在上单调递减，，即，所以在上单调递减，
因为，，所以，，故．
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
（3）若，求证：（b）．
【解答】
解：（1），令得：，，；
令得：；在，上为增函数；在，上为减函数．
（2）由（1）知：当时，有（b），
，即：，．
（3）将（a）（b），变形为：（a）（b），
即只证：（a），设函数，
，，，
令，得：．
在，上单调递增；在，上单调递减；的最小值为：，即总有：．
，
，即：，令，，则，
（a）（b），（a）（b）成立．
【针对训练】
1．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式，并证明：．
（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）.
2．已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，证明：．
（2023秋•和平区校级月考）
3．已知函数在点(，)处的切线方程为．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．
4．设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
参考答案：
1．（1）；证明见解析；（2）证明见解析；
分析：（1）根据题意，对求导得，利用导数的几何意义和切线方程求出和，即可求出的解析式，令，利用导数研究函数得单调性和最值得出，即可证明不等式；
（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明，设，进而转化为只需证：，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出（1）.
【详解】解：（1）由题可知，，则，
由于在点，（1）处的切线方程为，
所以（1），即，
即（1），则，解得：，
则．
令，，
令，即，解得：，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，则．
（2）由题可知，，且，
则，，
要证（1）成立，
只需证：，
即证：，即证：，
只需证：，
不妨设，即证：，
要证，只需证：，
令，则，
在上为增函数，
，即成立；
要证，只需证：，
令，则，
在上为减函数，
，即成立．
，成立，
（1）成立．
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．
2．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
分析：（1）将代入，求出恒成立，得到函数的单调性，结合可得结果；
（2）根据在极值点处导数为0可得且，将所需不等式化简即可转化为，记，转化为以为变量的函数不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得结果.
【详解】解析：（1）当时，，定义域为，
在定义域上恒成立，
所以在上单调递减，当时，；当时，．原命题得证．
（2），若存在两个极值点，则，解得．由韦达定理可知，
原命题即证：．
不妨设，原命题即证：，由（*）知，
齐次化，即证：，不放令，
原命题即证：，记，
则，
当时，在上单调递减，．
原命题得证．
【点睛】关键点点睛：由极值点的概念得到的关系，将所证不等式进行齐次化处理，引入新的变量是解题的关键.
3．(1)1，1；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析﹒
分析：(1)根据切线求出f(－1)，再根据，进而得出、．
(2)令，求出P，求出在P处切线y＝h(x)．构造函数，利用导数研究其单调性证明其最小值大于或等于零即可．
(3)根据(2)得，令可得，根据h(x)单调性可得；同理可求出f(x)在(0，0)处切线，得出相同结论，求出的范围，从而可求的范围.
(1)
将代入切线方程中，有，
∴，即，
又，
∴．
若，则，与矛盾，
故．
(2)
由(1)可知，，，
令，有或，
故为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，
则，
∴，
令g(x)＝，则，∴在R上单调递增，
∵，
∴当时，，单调递减，
当x＞－1时，，单调递增．
∴，即成立．
(3)
由(2)知在处的切线方程为，且f(x)≥h(x)，
则，
设，则，
故，∵单调递减，∴，
设在处的切线方程为，易得，
令，
则，
令，则，
∴在R上单调递增，∵，
∴当时，，T(x)单调递减，
当时，，T(x)单调递增，
∴，即，∴，
设，则，
故，∵单调递增，故，
又，
则.
【点睛】本题关键是利用切线进行放缩，通过求出的值，通过得到的范围，同理通过求出(0，0)处的切线t(x)，求出的值，通过得到的范围，从而求得的范围.
4．(1)的极小值为
(2)
(3)证明见解析
分析：（1）求导研究函数单调性，求出极值；（2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性；（3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式.
(1)
函数，则，
令，解得：，且当时，，时，
因此：的极小值为，无极大值.
(2)
令，则，
注意到：，若要，必须要求，即，亦即
另一方面：当时，因为单调递增，则当时，恒成立，所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：；
(3)
构造函数，，，
，，，在上是单调递增的；
故即：
另一方面，构造函数，
，
在上是单调递减的
故即：
综上，.
【点睛】函数单调性是非常重要的，有些题目通过构造新函数，研究其单调性和极值，最值，可以很快的得到解决，本题中的第三问要证明不等式，看起来很繁琐，只要我们把换成就可以得到新函数，利用导函数研究其单调性和极值，就可以得到解决.