专题5 构造函数证明不等式（原卷版）+（解析版）

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专题5 构造函数证明不等式一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．二、解题秘籍(一) 把证明转化为证明此类问题一般是有最小值且比较容易求,或者有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围【例1】（2022届贵州省贵阳市高三摸底考试）已知函数,．（1）当时,求函数的单调区间和极值；（2）证明：对任意,都有．【分析】（1）由,得到,,再利用导数确定在区间单调递减,在区间单调递增,函数有极小值为,无极大值；（2）先利用导数法得到,,然后将对任意,都有,转化为证明,,即证明,.令,,只需证,,由在单调递增,可得 (二) 把证明 转化为证明此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.【例2】已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时,．【分析】（1）由题意可得,得,由得在上单调递减,在上单调递增；,无极大值．（2）令,,,即在上单调递减,,故∴当时,．(三) 把证明 转化为证明有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有.【例3】已知函数.（1）函数,求的单调区间和极值.（2）求证：对于,总有.【分析】（1）解：,在上单调递减,在和上单调递增；故有一个极小值,无极大值．（2）要证成立,只需证成立,即证成立,令,则,在上单调递增,在上单调递减,,,,故,即．(四) 把证明转化为证明 若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式.【例4】（2021届江苏省常州市高三下学期4月月考）已知函数.（1）当时,求的最小值；（2）若对任意恒有不等式成立,证明：.【分析】（1）,令,解得,令,在上为增函数,且,得到有唯一实根,得到,在上为减函数,在上为增函数,.（2）当时,单调递增,不适合题意；当时,由（1）知,设,时,,单调递增；时,,单调递减,所以,即.由恒成立,所以,所以,因此只需证：,因为,只需证,即,当时,结论成立,当时,设,,当时,显然单调递增.,故单调递减,,即. (五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；③两边同时除以,此方法适用于以下两类问题：(i)不等式为类型,且的符号确定；(ii)不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑此法.【例5】（2022届江苏省南京师大附中高三上学期检测）已知函数．（1）当时,求的单调区间；（2）当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）若,证明：．【分析】（1）由题意可知,当时,,,,在上单调递减,在上单调递增．（2）,令,则,①当,即时,在上,,即单调递增,所以,即,在上为增函数,,时满足条件．②当时,令,解得,在上,,单调递减,当时,有,即,则在上为减函数,,不合题意．综上,实数的取值范围为．（3）由（2）得,当且时,,即,要证不等式,只需证明,只需证明,只需证,设,则,所以当时,恒成立,故在上单调递增,又．恒成立,原不等式成立．(六) 通过减元法构造函数证明不等式对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.【例6】（2022届广东省广州市省四校2022届高三上学期8月联考）已知函数.（1）若函数为增函数,求实数的取值范围；（2）设有两个不同零点,.（i）证明：；（ii）若,证明：.【分析】（1）函数是上的增函数∵的定义域为, ,故.（2）（i）,由有两个不同零点,,即方程的两个根为,,不妨设,则,则,要证：,只需证,整理的得,令,,,在为增函数,∴（ii）由,则,再根据,得,整理得,令,,在为增函数,.所以,即,即,所以. (七) 与数列前n项和有关的不等式的证明此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,,n代换,然后用叠加法证明. 【例7】已知函数.（1）若,且,求的值；（2）证明：.【分析】（1）由题意知,当时,,所以在上递减,又,所以不符合题意；当时, 在上递减,上递增,,令,,而,所以.（2）证明：由（1）知,当时,,所以,令,则,即,所以,,…,,累加得,又,所以,所以,.三、典例展示【例1】（2022届江西省智学联盟体高三上学期第一次联考）已知函数有两个极值点x1,x2．（1）求实数m的取值范围；（2）证明：x1x2＜4．【解析】（1）有两个极值点x1,x2,在有两不等实根,,记,,单调递减,单调递增,最小值因为在有两根,所以；（2）由（1）,,,要证x1x2＜4,只需证明：即可,不妨设,则即证,即证,只需证明,令,记函数,所以单调递减,,所以成立,同理可证当时结论成立,所以原命题x1x2＜4得证.【例2】（2022届河南省高三入学考试）已知函数．（1）当时,求曲线在处的切线方程．（2）证明：当时,对一切,都有成立．【解析】（1）解：,,,则,所以曲线在处的切线方程为．（2）证明：因为,所以,又,所以,设,所以,所以函数在上单调递减,所以所以．令,,．当时,,单调递增；当时,,单调递减．所以．所以,所以,所以所以,当时,对一切,都有．【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期7月考试）已知函数,.（1）当时,讨论函数的单调性；（2）当时,求证：.【解析】（1）,其定义域为,,当时,或,①当,即时,时,；,时；时,,所以在单调递增,在单调递减,在单调递增；②当,即时,时,；所以在单调递增；③当,时,时,；时,；时,,所以在单调递增,在单调递减,在单调递增；④当,即时,时,；时, ,所以在单调递减,在单调递增.（2）原式等价于,∵,∴只需证,即证明,而,记,则,∴在单调递减,又,,故存在,使得,即,,记在上单调递减,,故只需证：,即∵,∴在上单调增,成立,∴原不等式成立.【例4】已知函数.（1）若恒成立,求实数的取值范围；（2）求证：.【解析】（1）,,,为增函数,（1）,不恒成立,,,,,,在递增,在,递减,,；（2）证明：,,,即,设,,,令,解得：,令,解得：,故在递增,在递减,故（e）,而,故在递增,故,故,所以.【例5】已知函数.（1）当时,求的单调区间；（2）①若恒成立,求的值；②求证：对任意正整数,都有(其中为自然对数的底数)【解析】（1）的定义域为,令得或时,；时,；时,所以,的单调增区间是,单调减区间是,,（2）①解：由,得对恒成立.记其中（1）,,当时,恒成立,在上单调递减,时,（1）,不符合题意；当时,令,得,时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减,(a)记(a),(a).令(a)得,时(a)；时,(a),(a)在上单调递减,在上单调递增.(a)（1）,即(a),(a).又（1）,故②证明：由①可知：,(当且仅当时等号成立).令,则,.,.四、跟踪检测1.（2021届江苏省常州市高三下学期学情检测）已知函数.（）（1）令,讨论的单调性并求极值；（2）令,若方程有两个实根,,且,证明：【解析】（1）函数的定义域为,因为,所以,,则,x2-0+单调递减极小值单调递增所以单调递减区间为,单调递增区间为极小值为,无极大值.（2）有两个实根,令,有两个零点,,,所以,则,.. 要证,只需证,即证,所以只需证,只需证 设,令,则,所以只需证,即证令,,则,,即当时,成立.所以,即,即.2.（2021届湖南师大附中高三上学期月考）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设是函数的两个极值点,证明：恒成立.【解析】（1）的定义域为,.①当时,令,得,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减；②当时,令,得或,令,得,所以在上单调增,在上单调减；③当时,则,所以在上单调递增；④当时,令,得或,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减；综上,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增,在上单调遂减；当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减.（2）,则的定义域为,若有两个极值点,则方程的判别式,且,所以,因为,所以,得,所以,设,其中,令得,又,所以在区间内单调递增,在区间内单调递减,即的最大值为,而,∴,从而恒成立.3．已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）当时,证明：．【解析】（1） 的定义域为,.当时,,所以在上单调递增.当时,若,则；若,则.所以在上单调递增,在上单调递减.（2）当时,要证 ,即证,即证.令函数,则.令,得；令,得.所以在上单调递增,在上单调递减,所以,令函数,则.当时,；当时,.所以在上单调递减,在上单调递增,所以.因为,所以,即,从而 得证.4.（2021届福建省莆田市高三3月第二次教学质量检测）设函数．（1）若在上存在零点,求实数的取值范围；（2）证明：当时,．【解析】（1）解：设,因为当时,为增函数,当时,,,所以在上恒大于零,所以在上不存在零点,当时,在上为增函数,根据增函数的和为增函数,所以在上为单调函数,所以在上若有零点,则仅有1个,所以,即,解得,所以实数的取值范围（2）证明：设,则,则,所以 ,因为,所以,所以在上递增,在上恒成立,所以在上递增,而,因为,所以,所以恒成立,所以当时,5. 已知函数,且函数与有相同的极值点.（1）求实数的值；（2）若对,不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）求证：.【解析】（1）的定义域为,,由得,易知函数在单调递增,在单调递减,故函数的极大值点为,,依题意有,解得,经验证符合题意,故.（2）由（1）知,函数在单调递增,在单调递减,又,且,当时,,.① 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,则,,又,此时的取值范围为；② 当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,则,所以,又,此时的取值范围为.综上,实数的取值范围为.（3）证明：所证不等式即为,下证：,即证,设,则,令,则,易知函数在上单调递减,且,故存在唯一的,使得,即,,且当时,,即单调递增；当时,,即单调递减,,在单调递减,又时,,故,即；再证：,即证在上恒成立,设,,在单调递增,则,即,故,综上,.6. 已知.（1）求的单调区间；（2）,若有两个零点,,且.求证：(左边和右边两个不等式可只选一个证即可)【解析】（1）函数的定义域为 ,,当时,,在单调递增；当时,令,解得,令,解得,在单调递增,在单调递减；综上,当时,的单调递增区间为；当时,的单调递增区间为,单调递减区间为；（2）证明：,令,则,设,则,易知函数在单调递减,在单调递增,且时,,当时,,（1）,,又,则,①若证所证不等式的左边,即,即证,又(b),则,故即证,即证,设(b),,则,(b)在上单调递减,(b)（1）,即得证；②若证所证不等式的右边,即,即证,即证,又(a),即,故即证,即证,设(a),,则,(a)在单调递减,故(a)（1）,即得证.