四川省成都市武侯区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份四川省成都市武侯区2021届九年级（上）期末数学试卷（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（　　）

A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=﹣的图象分布在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
5．如图所示，在⊙O中，OB⊥OC于点O，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
6．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）
A．300条 B．380条 C．400条 D．420条
7．二次函数y=（x+1）（x﹣3）的图象的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=3 D．直线x=﹣1
8．如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（　　）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
9．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸展开，一定可以得到一个（　　）

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
10．下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，函数值y随x值的增大而增大的函数是（　　）
A．y=﹣x B．y=3﹣2x C．y=（x＞0） D．y=x2（x＞0）
　
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．方程x2=2x的根为　　．
12．如图，某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角的大小是　　度．

13．二次函数y=2（x+3）2的图象向　　平移　　个单位长度就可以得到二次函数y=2x2的图象．
14．如图，在△ABC中，AB=5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，那么AD•BC=　　．

　
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（1）计算：|﹣2|﹣2sin30°+（﹣）2+（tan45°）﹣1
（2）解方程：2x2﹣5x﹣3=0．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+1=0有两个相等的实数根，求k的值．
17．如图，甲、乙两楼的距离AC=30cm，甲楼高AB=40m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，求乙楼的高CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

18．如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色）小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．
（1）请用列表或画树状图的方法求两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率；
（2）两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，2），B（2，m）两点，连接OA，OB．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）直接写出使得一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=的值的x的取值范围，并求出△OAB的面积．

20．如图，在⊙O中，直径AB=4，点C在⊙O上，且∠AOC=60°，连接BC，点P在BC上（点P不与点B，C重合），连接OP并延长交⊙O于点M，过P作PQ⊥OM交于点Q．
（1）求BC的长；
（2）当PQ∥AB时，求PQ的长；
（3）点P在BC上移动，当PQ的长取最大值时，试判断四边形OBMC的形状，并说明理由．

　
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m，n，则代数式4m+2（n﹣m）﹣1的值为　　．
22．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②b2＞4ac；③b=﹣2a；④a+b+c=0，其中正确结论的番号是　　．

23．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为函数y=ax2+bx中a，b的值，那么所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是　　．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=20，AH=16，⊙O的半径为15，则AB=　　．

25．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，AC=5，BC=4．
①AB的长为　　；
②若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为　　．

　
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于100m2，求x的取值范围，并求这个种植园的面积的最大值．

27．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D，E分别在边BC，AB上，连接AD，ED，且∠BDE=∠ADC，过E作EF⊥AD交边AC于点F，连接DF．
（1）求证：∠AEF=∠BED；
（2）过A作AG∥ED交BC的延长线于点G，设CD=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求CD的长．

28．如图，直线y=2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为．
①求点D的坐标；
②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

　

2017-2018学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1，
故选：D．
　
2．在平面直角坐标系中，反比例函数y=﹣的图象分布在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【考点】反比例函数的性质．
【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣3＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二四象限．
故选C．
　
3．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴，
解得：x=4，
故选：B．
　
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．
　
5．如图所示，在⊙O中，OB⊥OC于点O，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵ON⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠BAC=∠BOC=×90°=45°．
故选B．
　
6．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）
A．300条 B．380条 C．400条 D．420条
【考点】用样本估计总体．
【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【解答】解：∵×100%=5%，
∴20÷5%=400（条）．
故选C
　
7．二次函数y=（x+1）（x﹣3）的图象的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=2 C．直线x=3 D．直线x=﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】先根据二次函数的解析式求出函数图象与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=（x+1）（x﹣3），
∴此抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x==1．
故选A．
　
8．如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（　　）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．
【解答】解：∵sinA=cosB=，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选C．
　
9．如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸展开，一定可以得到一个（　　）

A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
【考点】剪纸问题；菱形的判定．
【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以进行从题后的答案中选择．
【解答】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件．
故选：A．
　
10．下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，函数值y随x值的增大而增大的函数是（　　）
A．y=﹣x B．y=3﹣2x C．y=（x＞0） D．y=x2（x＞0）
【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；二次函数的性质．
【分析】画出函数的图象即可判断．
【解答】解：函数y=x2（x＞0）的图象如图所示，
图象从左到右是上升的，y随x值的增大而增大，故选D．

　
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．方程x2=2x的根为　x1=0，x2=2　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
　
12．如图，某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角的大小是　30　度．

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】设坡角为α，根据坡度的定义求出坡角的正切值，根据特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：设坡角为α，
∵斜坡的坡度为i=1：，
∴tanα==，
∴α=30°，
故答案为：30．
　
13．二次函数y=2（x+3）2的图象向　右　平移　3　个单位长度就可以得到二次函数y=2x2的图象．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减，上加下减”平移规律即可解决．
【解答】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，可知：
二次函数y=2（x+3）2的图象向右平移3个单位长度就可以得到二次函数y=2x2的图象．
故答案为：右，3．
　
14．如图，在△ABC中，AB=5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，那么AD•BC=　10　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由条件可证明△ADE∽△ABC，可得=，即得到AD•BC=DE•AB，代入可求得答案．
【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴AD•BC=DE•AB，且DE=2，AB=5，
∴AD•BC=10，
故答案为：10．
　
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（1）计算：|﹣2|﹣2sin30°+（﹣）2+（tan45°）﹣1
（2）解方程：2x2﹣5x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值得到原式=2﹣2×+3+1﹣1，然后根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；
（2）利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）原式=2﹣2×+3+1﹣1
=2﹣2+3+1
=4；
（2）（2x+1）（x﹣3）=0，
2x+1=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣，x2=3
　
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+1=0有两个相等的实数根，求k的值．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+1=0有两个相等的实数根，
∴△=[2（k﹣1）]2﹣4=4k2﹣8k=0，
解得：k1=0，k2=2．
答：k的值为0或2．
　
17．如图，甲、乙两楼的距离AC=30cm，甲楼高AB=40m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，求乙楼的高CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据题意可以得到CD的长就是甲楼的高加上BE•tan28°的和，从而可以解答本题．
【解答】解：作BE⊥CD，如右图所示，
∴∠BED=90°，
由题意可得，AC=BE，
∴BE=30m，
在Rt△BDE中，∠DBE=28°，
∴，
∴DE=30×tan28°，
∵AB=40，AB=CE，
∴CD=DE+CE=30×tan28°+40≈30×0.53+40=55.9m，
即乙楼的高CD的长是55.9m．

　
18．如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色）小明转动的A盘被等分成4个扇形，小亮转动的B盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．
（1）请用列表或画树状图的方法求两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率；
（2）两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案；
（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到结论不公平．
【解答】解：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．

红
蓝
黄
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（黄，蓝）
红
（红，红）
（蓝，红）
（黄，红）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）
红
（红，红）
（蓝，红）
（黄，红）
则两人转动转盘得到的两种颜色能配成紫色的概率为=；

（2）不公平．
上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是；
小亮获胜的概率为1﹣=，
而＞，即小亮获胜的概率大，
∴这个“配色”游戏对双方是不公平的．
　
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，2），B（2，m）两点，连接OA，OB．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）直接写出使得一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=的值的x的取值范围，并求出△OAB的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函数y=求出n的值即可得出其函数解析式，再把B（2，m）代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把AB两点的坐标代入一次函数y=kx+b，求出k、b的值即可得出其解析式；
（2）直接根据函数图象可得出x的取值范围，求出一次函数与x轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y=的图象上，
∴n=2×（﹣1）=﹣2，
∴其函数解析式为y=﹣；
∵B（2，m）在反比例函数的图象上，
∴m=﹣=﹣1，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x+1；

（2）∵A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴一次函数y=kx+b的值大于反比例函数y=的值时，0＜x＜2或x＜﹣1．
∵一次函数的解析式为：y=﹣x+1，
∴D（1，0），
∴OD=1，
∴S△OAB=S△OAD+S△OBD=×1×2+×1×1=1+=．

　
20．如图，在⊙O中，直径AB=4，点C在⊙O上，且∠AOC=60°，连接BC，点P在BC上（点P不与点B，C重合），连接OP并延长交⊙O于点M，过P作PQ⊥OM交于点Q．
（1）求BC的长；
（2）当PQ∥AB时，求PQ的长；
（3）点P在BC上移动，当PQ的长取最大值时，试判断四边形OBMC的形状，并说明理由．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据BC=AB•sin60°计算即可．
（2）在Rt△POB中，求出OP，再根据勾股定理即可计算．
（3）因为PQ=，OQ是定值，所以OP最小时，PQ最长，所以当OM⊥BC时，OP最短，此时PQ最长，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接AC．

∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=4，
∴BC=AB•sin60°=4×=2．

（2）如图2中，连接OQ．

∵PQ∥AB，PQ⊥OM，
∴OM⊥AB，
∴∠POB=90°，∵∠B=30°，
∴OP=OB•tan30°=，
在Rt△OPQ中，PQ===．

（3）如图3中，

∵PQ=，OQ是定值，
∴OP最小时，PQ最长，
∴当OM⊥BC时，OP最短，此时PQ最长，PQ=BC=，
∴PQ的最大值为．
此时四边形OBMC为菱形．
理由：连接BM、CM．
∵OM⊥BC，OC=OB，
∴∠POB=∠POC=60°，
∵OB=OM=OC，
∴△OMB，△OCM是等边三角形，
∴OC=OB=BM=CM，
∴四边形OBMC是菱形．
　
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m，n，则代数式4m+2（n﹣m）﹣1的值为　3　．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由韦达定理可得m+n=2．将其代入原式=4m+2n﹣2m﹣1=2m+2n﹣1=2（m+n）﹣1可得答案．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=2，
则原式=4m+2n﹣2m﹣1
=2m+2n﹣1
=2（m+n）﹣1
=4﹣1
=3，
故答案为：3．
　
22．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②b2＞4ac；③b=﹣2a；④a+b+c=0，其中正确结论的番号是　①②④　．

【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线与x轴的交点在y轴正半轴可得出c＞0，①正确；②由抛物线与x轴有两个不相同的交点可得出b2﹣4ac＞0，②正确；③由抛物线的对称轴为x=﹣1可得出b=2a，③错误；④由抛物线的对称轴结合点A的坐标即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0），进而可得出a+b+c=0，④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a，③错误；
④∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，且点A的坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一交点的坐标为（1，0），
∴当x=1时，y=a+b+c=0，④正确．
综上所述：正确结论的番号是①②④．
故答案为：①②④．
　
23．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为函数y=ax2+bx中a，b的值，那么所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法；二次函数的性质．
【分析】根据题意可以所有的可能性，根据所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率．
【解答】解：由题意可得，
所有的可能性是：（1，2）、（1，﹣1）、（1，﹣3）、（2，1）、（2，﹣1）、（2，﹣3）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（﹣1，﹣3）、（﹣3，1）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣1），
∵所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴所得抛物线中，满足开口向下且对称轴在y轴左侧的抛物线的概率是：，
故答案为：．
　
24．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=20，AH=16，⊙O的半径为15，则AB=　24　．

【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD=∠AHC，
有圆周角定理得，∠D=∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴=，即=，
解得，AB=24，
故答案为：24．

　
25．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，AC=5，BC=4．
①AB的长为　4+　；
②若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【分析】①如图作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，由∠AMB=90°，∠B=45°，推出BM=AM，AB=AM，设AM=BM=x，在Rt△AMC中，根据AC2=AM2+CM2，
可得方程52=x2+（4﹣x）2，求出x即可解决问题．
②如图作FN⊥BC于N．由△ACF∽△ABC，得到AC2=AF•AB，推出AF=，BF=AB﹣AF=，求出FN、CN，根据tan∠BCD=计算即可．
【解答】解：①如图作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=45°，
∴BM=AM，AB=AM，设AM=BM=x，
在Rt△AMC中，∵AC2=AM2+CM2，
∴52=x2+（4﹣x）2，
解得x=或（舍弃），
∴AB=x=7，
故答案为7．

②如图作FN⊥BC于N．
∵DE∥AC，
∴∠ACF=∠D=∠B，∵∠CAF=∠CAB，
∴△ACF∽△ABC，
∴AC2=AF•AB，
∴AF=，
∴BF=AB﹣AF=7﹣=，
∴BN=FN=，
∴CN=BC﹣BN=4﹣=，
∴tan∠BCD===，
故答案为．

　
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．成都市某学校计划建一个长方形种植园，如图所示，种植园的一边靠墙，另三边用周长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（m），种植园面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）根据实际需要，要求这个种植园的面积不小于100m2，求x的取值范围，并求这个种植园的面积的最大值．

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=（30﹣2x）x；
（2）根据“种植园的面积不小于100m2”列出一元二次不等式，解之可得，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值．
【解答】解：（1）根据题意得：y=（30﹣2x）x=﹣2x2+30x，

（2）由题意得：﹣2x2+30x≥100，
解得：5≤x≤10，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴6≤x≤10，
∵y=﹣2x2+30x=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x=7.5时，这个种植园的面积的最大值，最大面积为112.5m2．
　
27．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D，E分别在边BC，AB上，连接AD，ED，且∠BDE=∠ADC，过E作EF⊥AD交边AC于点F，连接DF．
（1）求证：∠AEF=∠BED；
（2）过A作AG∥ED交BC的延长线于点G，设CD=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求CD的长．

【考点】三角形综合题．
【分析】（1）如图1中，设AD与EF交于点O．首先证明∠AFE=∠EDB，∠FAE=∠B，由∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，即可证明．
（2）如图2中，过A作AG∥ED交BC的延长线于点G．是怎么CG=CD，由DE∥AG，推出=，由△AEF∽△BED，推出=，推出=，推出DG=AF即可解决问题．
（3）分两种情形求解即可①如图3中，当DE=DF时，易知AD垂直平分线段EF，作DH⊥AB于H．列出方程求解．②当DE=EF时，由△AEF∽△BED，推出AF=BD，CF=CD，即x=y，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，设AD与EF交于点O．

∵AD⊥EF，
∴∠FOD=∠C=90°，
∴∠CDA+∠CFO=180°，∵∠CFO+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ADC=∠ADB，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，
∴∠AEF=∠BED．

（2）如图2中，过A作AG∥ED交BC的延长线于点G．

∵DE∥AG，
∴∠G=∠BDE，∵∠BDE=∠ADG，
∴∠G=∠ADG，
∴AG=AD，∵AC⊥DG，
∴GC=CD=x，
∴=，
∵∠FAE=∠B，∠AEF=∠DEB，
∴△AEF∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DG=AF，
∴2x=2﹣y，
∴y=﹣2x+2．（0＜x≤1）．

（3）①如图3中，当DE=DF时，易知AD垂直平分线段EF，作DH⊥AB于H．

∵DA平分∠CAB，DC⊥CA，DH⊥AB，
∴DC=DH=x，
∵∠B=∠HDB=45°，
∴BD=x，
∴x+x=2，
∴x=2﹣2，
∴CD=2﹣2．
②当DE=EF时，∵△AEF∽△BED，
∴AF=BD，CF=CD，
∴x=y，
∴x=﹣2x+2，
∴x=，
∴CD=．
∴当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，CD的长2﹣2或．
　
28．如图，直线y=2x﹣10分别与x轴，y轴交于点A，B，点C为OB的中点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为．
①求点D的坐标；
②点P为抛物线上一点，若△APD是以PD为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后得出C点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）①过D作DE∥y轴交AB于E，则S△ABD=S△BDE+S△ADE=，设出D点的横标，纵坐标用横坐标表示，同时表示出E点坐标，从而得出△ABD的面积表达式，再根据△ABD的面积为，列出方程解之即可；
②分两种情况：第一种，D为直角顶点；第二种，P为直角顶点．对于第一种情况，可以验证抛物线的顶点与D、A一起刚好构成直角三角形，即P点就是抛物线的顶点；对于第二种情况，过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，由△DGP∽△PHA列出相似比例关系求解．
【解答】解：（1）当y=0时，2x﹣10=0，解得x=5，则A（5，0），
当x=0时，y=2x﹣10=﹣10，则B（0，﹣10）
∵点C为OB的中点，
∴C（0，﹣5），
把A（5，0），C（0，﹣5）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①过D作DE∥y轴交AB于E，如图，

设D（x，﹣x2+6x﹣5），则E（x，2x﹣10），
∵S△ABD=S△BDE+S△ADE=×5×DE=（﹣x2+6x﹣5﹣2x+10）
∴（﹣x2+6x﹣5﹣2x+10）=，
整理得x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，
∴D（2，3）；
②∵抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5，
∴抛物线的顶点为M（3，4），
∴MD=，AD=3，AM=2，
∴MD2+AD2=AM2，
∴MD⊥AD，
若D为直角顶点，则P与M点重合，即P（3，4），如图，

此时P点到抛物线对称轴的距离为0；
若P为直角顶点，如图，

过点P作GH∥x轴，DG⊥GH于G，AH⊥GH于H，
∵∠APD=90°，
∴△DGP∽△PHA，
∴，
设P（t，﹣t2+6t﹣5），则：
GP=t﹣2，DG=﹣t2+6t﹣5﹣3，PH=5﹣t，AH=﹣t2+6t﹣5，
∴，
∴，
∴，
∴t2﹣5t+5=0，
∴t=，
∴P点坐标为（，）或（，）；
若P点坐标为（，），则P点到抛物线对称轴的距离为，
若P点坐标为（，），则P点到抛物线对称轴的距离为．