四川省成都市武侯区2023届九年级中考二模数学试卷(含解析)

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成都市武侯区2023年九年级诊断性检测试题

数   学

A卷（共100分）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题

1．下列各数中，倒数是它本身的数是（       ）

A．1 B．0 C．2 D．

2．近两年新能汽车比亚迪的销量实现了快速增长，2023年比亚迪计划冲击400万台的整车年度销量目标．将数据400万用科学记数法表示为（       ）

A． B． C． D．

3．若分式有意义，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．成都市武侯区“水韵园”综合教育基地设有民族危机档案、科技创想营地、匠心制作工坊、舒心交流空间、时尚体育时分五大教育功能区，某校组织学生分区体验种类丰富、课程新颖的综合实践活动．每个功能区的人数分别为：80，79，82，81，82．则这组数据的中位数和众数分别是（       ）．

A．80，81 B．81，81 C．79，82 D．81，82

5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（       ）

A． B．

C． D．

6．若m，n满足，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

7．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线MN交边AB于点．若，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题

9．因式分解：______．

10．如图，将绕着点A逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______．

11．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．

12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点在轴的正半轴上，顶点在轴上，若点的坐标是，则点的坐标是______．

13．在二次函数的图象上有，两点，若，则的取值范围是______．

三、解答题

14．（1）计算：．

（2）解方程组：

15．2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行（以下简称“成都大运会”），这是成都第一次举办世界性综合运动会．某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．

根据图表信息，解答下列问题：

(1)求本次调查的总人数及表中m的值；

(2)求扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数；

(3)“非常了解”的四名同学分别是，两名女生，，两名男生，若从中随机选取两名同学向全校作交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女姓的概率．

16．成都风凰山体育公园由“一场两馆”组成，其中“一场”指的是按照FIFA标准建设的专业足球场，配备专业的固草系统，能同时容纳6万名观众．某数学兴趣小组利用所学知识测量该足球场所在建筑物的高度．如图，他们先在地面C处测得建筑物的顶部A的仰角，又在与C相距43米的D处测得建筑物的顶部A的仰角（其中点B，C，D在同一条直线上），求建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）

17．如图，为的直径，C，D为上两点，连接，，，，线段与相交于点E，过点D作，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，，求的半径．

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)分别求一次函数及反比例函数的表达式；

(2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接且满足．

i）求点P的坐标；

ii）过点A作直线，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连接，试问：能否与相似？若能，求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由．

B卷

一、填空题

19．我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知，，则化简的结果为______．

20．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______．

21．已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为______．

22．在等边中（其中），点P在边上运动，点Q在边上运动，且满足（点P，Q都不与B重合），以为底边在左侧做等腰三角形，使得．则四边形的面积的最大值是______．

23．某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是______．

二、解答题

24．文明，是一座城市的幸福底色，是城市的内在气质．2023年是成都争创全国文明典范城市的关键之年．为积极推进创建工作，某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶共120个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半．根据市场调查，A型垃圾分装桶的价格为每个400元，B型垃圾分装桶的价格为每个100元．

(1)设购买A型垃圾分装桶个，求的取值范围；

(2)某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，试问：该企业最少需要花费多少元？

25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于A，B两点，抛物线经过点A，点C是抛物线的顶点，连接．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；

(2)求的度数；

(3)设直线与抛物线相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点Q的坐标．

26．如图1，在矩形中，（其中），点P是边上一动点（点P不与A重合），点E是边的中点，连接，将矩形沿直线进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接并延长，交边于点F（点F不与C重合），过点F作的平分线，交矩形的边于点G．

(1)求证：；

(2)如图2，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值；

(3)若，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，求的值．

1．A

解析：

解：倒数是它本身的数是1；

故选A．

2．C

解析：

解：将数据400万用科学记数法表示为；

故选C．

3．C

解析：

解：∵分式有意义，

∴，

∴．

故选C．

4．D

解析：

解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：79，80，81，82，82，

∴中位数为81；

∵82出现了2次，为最多，

∴众数为82．

故选D．

5．A

解析：

解：

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：，

在数轴上表示为：，

故选：A．

6．B

解析：

解：∵，且，

∴，

∴，

∴；

故选B．

7．B

解析：

解：，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是，即，

故选B．

8．D

解析：

解：连接，如图所示：

由作图可知垂直平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

故选D．

9．x(x-2)

解析：

解：，

故答案为：．

10．3

解析：

解：由旋转的性质可得，，

∴；

故答案为3．

11．4

解析：

解：根据题意得，

解得m=4．

故答案为：4．

12．

解析：

解：∵四边形是菱形，

∴，

∵点的坐标是，

∴，

∴，

∴点的坐标是，

故答案为：．

13．

解析：

解：由二次函数可知对称轴为直线，

∵点，在该二次函数的图象上，且在对称轴的右侧，

∴由可知当时，y随x的增大而减小，

∴；

故答案为．

14．（1）；（2）

解析：

解：（1）原式；

（2）

由①得③，

把③代入②得：，解得：，

把代入③得：，

∴原方程组的解为．

15．(1)40人，

(2)

(3)

解析：

（1）解：人，

∴本次调查的总人数为40人，

∴；

（2）解：，

∴扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数为；

（3）解：列表如下：

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中满足题意的结果数有8种，

∴恰好选到一名男生和一名女姓的概率为．

16．建筑物的高度约为65米．

解析：

解：由题意得：米，

设米，

在中，，

∴，则米，

∴米，

在中，，

∴，

解得：，

经检验：是原方程的根，

∴米，

∴建筑物的高度约为65米．

17．(1)见详解

(2)3

解析：

（1）解：连接并延长，交于点G，连接，如图所示：

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴，

∵是的半径，

∴是的切线；

（2）解：由（1）可知，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，即

∴，

即的半径为3．

18．(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为；

(2)i）；ii）当点Q的坐标为或时，与相似．

解析：

（1）解：∵点在反比例函数的图象上，

∴，解得：，

∴反比例函数解析式为．

∵点也在反比例函数的图象上，

∴，

∴．

∵点，在一次函数的图象上，

∴，解得：，

∴一次函数解析式为；

（2）解：i）如图，过点P作轴，交直线于点C．

设，则，

∴．

∵，

∴，

解得：，．

∵点P在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上，

∴，

∴，

∴点P的坐标；

ii）解：设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线解析式为．

∵，

∴可设直线的解析式为，

∴，解得：，

∴直线的解析式为．

设，

∵，

∴，

∵点Q位于点A的左侧，

∴．

∵，，

∴，．

∵，

∴，

∴可分类讨论：①当时，，如图，

∵，

∴，即，

解得：，

∴，

∴此时点Q坐标为；

②当时，，如图，

∵，

∴，即，

解得：，

∴，

∴此时点Q坐标为．

综上可知当点Q的坐标为或时，与相似．

19．##

解析：

解：∵，，

∴

故答案为：．

20．

解析：

解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，

∴估计点落入白色部分的概率为，

∴估计白色部分的总面积约为，

故答案为：．

这个固定的近似值就是这个事件的概率．

21．12

解析：

解：∵是内一点，

∴的直径为最小距离与最大距离的和，

∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，

∴的直径为，

故答案为：12．

22．

解析：

解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F．

∵为等边三角形，

∴．

∵，

∴．

∵为等腰三角形，且，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴当最大时，最大．

∵，

∴当最大时最大．

∵，

∴的最大值即为的长，此时B，E（F），D三点共线，如图，

.

∵在和中，，

∴，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴此时，即四边形的面积的最大值是．

故答案为：．

23．         

解析：

解：如图，

由题意可知，．

则，

解得：，

∴球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为；

由题意可知，

∵，

∴，

∴，即．

故答案为：，．

24．(1)

(2)24000元

解析：

（1）解：设购买A型垃圾分装桶个，则购买B型垃圾分装桶个，

由题意得，，

解得，

∴；

（2）解：设该企业需要花费w元，

由题意得，，

∵，

∴w随x增大而增大，

∴当时，w最小，最小为，

∴该企业最少需要花费24000元．

25．(1)，

(2)

(3)或

解析：

（1）解：∵直线与轴交于A，

∴，

∵抛物线经过点A，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为，

∴抛物线顶点C的坐标为；

（2）解：直线与轴相交于B，

∴，

如图所示，取点B关于x轴对称的点D，连接，则，

∴，

∴，

∵， ，，

∴，，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴；

（3）解： 由（2）得直线与直线相交所成的一个角为，直线与直线相交所成的一个角为，

∵直线与直线相交所成的一个角为，

∴直线与直线平行或直线与直线平行，

当直线与直线平行时，

设直线的解析式为，

∴，

∴，

∴直线的解析式为

∴直线的解析式为，

联立解得或（舍去），

∴点Q的坐标为；

当直线与直线平行时，

同理可得直线的解析式为，

联立解得或（舍去），

∴点Q的坐标为；

综上所述，点Q的坐标为或．

26．(1)见解析

(2)

(3)3或或

解析：

（1）证明∶由翻折可知，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：由翻折可知，，

∵E，O，D三点在同一条直线上，

∴，

又，，

∴，

∴，

∵E为中点，

∴设，

∴，

∴

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）解：设，

∵，

∴，

①若点G在上，当时，则，

∵，

∴四边形为矩形，

又，

∴矩形为正方形，

∴，

∴，

∴

；

②若点G在上，当时，此时E，O，G三点在同一条直线上，

过G作于点H，

由（2）可知，，

∴，

∴，

∴；

③若点G在上，显然不能为直角，当时，

∵平分，

∴，

又，，

∴，

连接，

∵，，，

∴，

∴，

设，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

解得，

当时，G在上，不符合题意，舍去，

∴，

∴，

∴，

∴，

综上，的值为3或或．