2023-2024学年四川省成都市武侯区棕北中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市武侯区棕北中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将分式方程化为整式方程，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，点，是的三等分点，且是等边三角形，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，正比例函数是常数，的图象与一次函数的图象相交于点，点的纵坐标为，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在▱中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接、，若，，则▱的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共8小题，共32分）

9.  因式分解：______．

10.  如果正边形的一个内角与一个外角的比是：，则的值为______ ．

11.  若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，小颖不小心将墨汁滴到点的坐标上，已知，，三点的坐标分别为，，，则点的坐标为______ ．

13.  如图，在中，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则线段的长为______ ．

14.  已知，则的值为______．

15.  已知不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．

16.  如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为______．

三、解答题（本题共6小题，共56分）

17.  解不等式组：．
计算：．

18.  如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于原点成中心对称的；
画出绕点按逆时针方向旋转所得到的；
根据画出的图形，求出的面积．

19.  在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图所示的三种卡片，其中卡片是边长为的正方形：卡片是长为，宽为的长方形：卡片是边长为的正方形．
卡片，卡片，卡片的面积之和为______；
小明制作了张卡片，张卡片，张卡片，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图所示的大长方形，请根据图的面积写一个多项式的因式分解为______；
小刚将自己制作的张卡片和张卡片送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形，若，，求正方形的边长．

 

20.  如图，在▱中，点，在对角线上，且，连接，，，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的度数．

21.  如图，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
求的度数；
连接，若，，求线段的长；
如图，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．

 

22.  在平行四边形中，，，将沿对角线翻折，点的对应点为点，线段与边交于点如图，，求的度数；
若是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
如图，连接，的延长线交于点，的延长线交于点，当点到的距离最小值时，求出此时的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转度后与原图重合，即可解题．
此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.，
，原变形正确，故此选项符合题意；
D.，
，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：．
直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．

3.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

4.【答案】 

【解析】解：点，是的三等分点，
，

是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故选：．
由等边三角形的性质可得，，，利用三角形外角的额性质可求解，，进而可求解．
本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，灵活利用等边三角形的性质解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．
由旋转性质知≌，据此得、，继而可得答案．
【解答】
解：由题意知≌，
则，，
，
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：原式

．
故选：．
直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，点的纵坐标是，
，
，即，
由图可得，不等式的解集是．
故选：．
先求得点的横坐标，再写出直线在直线下方时所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点的坐标是解决问题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
、分别是、的中点，
，，
▱的周长．
故选：．
根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧以及完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：设外角是度，则内角是度，根据题意得，
，
解得，
所以．
故答案为：．
正多边形的内角都相等，因而每个外角也分别相等，每个相邻的外角，与内角一定互补，又有内角等于一个外角的倍，就可以求出一个外角的度数．根据多边形的外角和是，就可以求出多边形的边数．
考查了邻补角的定义，多边形的外角和的特征，掌握多边形的外角和的特征是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．
根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向右平移个单位，向上平移个单位，
由到的平移规律为向左平移个单位，向下平移个单位，
点的坐标为，即．
故答案为：．
根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
连接，
由作图知垂直平分，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理得到，连接，由作图知垂直平分，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题主要考查了作图基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，用勾股定理求解．

14.【答案】解：，
由得：，
由得：，
；
原式

． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果．
本题考查了解一元一次不等式组以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15.【答案】解：如图，；即为所求；
如图，即为所求；
的面积．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用三角形面积公式求解．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．

16.【答案】解： 

根据题意得，正方形的面积为：，
正方形的边长为，
当，时，
，
故正方形的边长为． 

【解析】根据题意得卡片，卡片，卡片的面积之和为，
故答案为：；
由图知，矩形的长为，宽为，
所以矩形的面积可表示为，
小明制作了张卡片，张卡片，张卡片，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图所示的大长方形，
矩形的面积也可表示为，
根据图的面积可以写一个多项式的因式分解为，
故答案为：；
见答案．
根据矩形的面积公式列出代数式便可；
根据“矩形面积长宽，矩形面积等于各部分面积之和”列出因式分解的选题关系便可；
根据正方形的面积等于各部分面积之和，列出代数式进行因式分解化成完全平方式，便可得正方形的边长，最后代值计算便可．
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，关键是会用不同方法计算图形的面积．

17.【答案】证明：在▱中，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明≌，故可得出结论；
根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得出≌，再由全等三角形的性质得出结论．

18.【答案】解：，，
，
，
，
又，，
≌，
；
过点作于点，过点作于点，

由知，≌，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即的长为；
连接，过点做于，

，点为中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
即的长为． 

【解析】根据等腰三角形的性质得出的度数，证≌，即可得出的度数；
过点作于点，过点作于点，分别求出，，然后利用勾股定理求出即可；
连接，得出，，过点做于，设，根据等腰直角三角形的性质和含角直角三角形的性质列方程求解即可．
本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：，
，

．
故答案为：．
先利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题主要考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：．

20.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
分别把两个不等式解出来，根据解集为，即可求出的取值范围．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键．

21.【答案】 

【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
故答案为：．
由，可以假设，则，，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】解：在平行四边形中，，
，
，
，
即的度数为；
若，如图，

延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
即和都是等腰直角三角形，
，
，，
，
即；
当时，如图：

此时，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
综上所述，线段的长为或；
过点作于点，

，
是等腰直角三角形，
，
若要最小，则最小即可，
即当时，最小，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
时等腰三角形，是的角平分线，
的面积是面积的一半，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，再根据得出结论即可；
分和两种情况分别求出的长度即可；
先得出当时，点到的距离最小，求出此时的面积即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识是解题的关键．