山东省栖霞市2021-2022学年上学期九年级数学期中质量检测【试卷+答案】教案

这是一份山东省栖霞市2021-2022学年上学期九年级数学期中质量检测【试卷+答案】教案，共28页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省烟台市栖霞市九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（　　）
A．小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系
B．菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系
C．一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D．压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系
2．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度i为（　　）

A．2 B．1：2 C．1： D．1：
3．若函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
4．已知反比例函数y＝﹣，则下列结论正确的是（　　）
A．点（1，2）在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
5．在△ABC中，（2sinA﹣1）2+＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
6．已知二次函数y＝x2+2x+4，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．当x＞3时，y随x的增大而减小
C．二次函数的最小值是2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
7．函数y＝ax与y＝（ab≠0）的图象的两个交点的坐标分别为（3，m），（n，﹣2），则m，n的值分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．﹣2，3 D．2，3
8．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．2
9．如图，小明以抛物线y＝x2﹣2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，△ABO的面积为6，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12
11．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为（　　）

A．4米 B．（2+2）米 C．（4﹣4）米 D．（4﹣4）米
12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本题共6个小题，满分18分。只要求填写最后结果.）
13．如图，B（2，﹣2），C（3，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　 　．

14．计算：2sin245°+tan60°•tan30°﹣cos60°＝　 　．
15．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是　 　．
16．如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 　 　．

17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　s．

18．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则cos∠BAC等于 　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，满分0分。要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？

20．如图，一轮船在海上以每小时30海里的速度向西方向航行，上午8时，在B处测得小岛A在北偏东30°方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C处，这时测得小岛A在北偏东60°方向．如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午11时到达D处，这时轮船与小岛A相距多远？

21．新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出另一个交点B的坐标，并直接写出当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集；
（3）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c是由y＝x2平移得到的，且经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式并求出点M的坐标；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落在点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．

24．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）

25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（　　）
A．小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系
B．菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系
C．一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D．压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系
【分析】此题可先对各选项列出函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断．
解：A、根据速度和时间的关系式得，t＝；
B、因为菱形的对角线互相垂直平分，所以xy＝48，即y＝；
C、根据题意得，m＝ρV；
D、根据压强公式，p＝；
可见，m＝ρV中，m和V不是反比例关系．
故选：C．
2．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度i为（　　）

A．2 B．1：2 C．1： D．1：
【分析】过B作BC⊥桌面于C，由题意得AB＝10cm，BC＝5cm，再由勾股定理得AC＝5，然后由坡度的定义即可得出答案．
解：如图，过B作BC⊥桌面于C，
由题意得：AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC＝＝＝5，
∴这个斜坡的坡度i＝＝＝1：，
故选：D．

3．若函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【分析】根据抛物线的性质及二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
解：∵函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，
∴
解得m＝﹣3．
故选：B．
4．已知反比例函数y＝﹣，则下列结论正确的是（　　）
A．点（1，2）在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．
解：A、将x＝1代入y＝﹣，得到y＝﹣2≠2，
∴点（1，2）不在反比例函数y＝﹣的图象上，故本选项错误，不符合题意；
B、因为比例系数为﹣2，则函数图象过二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、由于函数图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
D、如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
5．在△ABC中，（2sinA﹣1）2+＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状．
解：∵（2sinA﹣1）2+＝0，
∴2sinA﹣1＝0，cosB﹣＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：C．
6．已知二次函数y＝x2+2x+4，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．当x＞3时，y随x的增大而减小
C．二次函数的最小值是2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1
【分析】根据二次函数的性质即可得出答案．
解：∵二次函数y＝x2+2x+4的二次项系数大于0，
∴该函数的图象开口向上，
∴A选项不合题意，
∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＞﹣1时，y随着x的增大而增大，
∴B选项不合题意，
∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴该抛物线的顶点为（﹣1，3），
∴该二次函数的最小值为3，
∴C选项不合题意，
∵y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴D选项符合题意，
故选：D．
7．函数y＝ax与y＝（ab≠0）的图象的两个交点的坐标分别为（3，m），（n，﹣2），则m，n的值分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．﹣2，3 D．2，3
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求得m、n的值．
解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∴m＝2，n＝﹣3，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，根据已知求出AD＝2DC，AB＝3AD，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
9．如图，小明以抛物线y＝x2﹣2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先求得抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标，再根据AB＝4，得出点B的横坐标，代入抛物线解析式得出点B的纵坐标，从而可求得CD的值，则利用CE＝CD+DE计算即可得出答案．
解：∵y＝x2﹣2x+4
＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），
∵AB＝4，
∴BC＝2，
∴点B的横坐标为x＝3，
把x＝3代入y＝x2﹣2x+4得y＝7，
∴CD＝7﹣3＝4，
∴CE＝CE+DE＝4+2＝6，
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有A、B两点，它们的横坐标分别为2和4，△ABO的面积为6，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12
【分析】过A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，利用反比例函数系数k的几何意义，易证S△AOM＝S△BON＝|k|，从而得到△AOB的面积等于四边形AMNB的面积，用k表示出M，N两点坐标，利用四边形AMNB的面积为6列出方程，即可解决．
解：如图，过A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，
∵A，B两点在反比例函数图象上，且A，B两点的横坐标为2和4，
∴A点坐标为（2，），B点坐标为（4，），
∴S△AOM＝，
同理，S△BON＝＝，
∵S△ABO＝6，
∴6+S△OBN＝S△AOM+S四边形AMNB，
∴S四边形AMNB＝6，
∴＝6，
∴k＝8，
故选：B．

11．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为（　　）

A．4米 B．（2+2）米 C．（4﹣4）米 D．（4﹣4）米
【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题．
解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM+AB＝12米，∠MBC＝30°，
∴CM＝MB•tan30°＝12×＝4，
在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝45°，
∴∠MAD＝∠MDA＝45°，
∴MD＝AM＝4米，
∴CD＝CM﹣DM＝（4﹣4）米，
故选：D．

12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二、填空题（本题共6个小题，满分18分。只要求填写最后结果.）
13．如图，B（2，﹣2），C（3，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　y＝　．

【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．
解：设A坐标为（x，y），
∵B（2，﹣2），C（3，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+3＝0+2，y+0＝0﹣2，
解得：x＝﹣1，y＝﹣2，即A（﹣1，﹣2），
设过点A的反比例解析式为y＝，
把A（﹣1，﹣2）代入得：k＝2，
则过点A的反比例函数解析式为y＝，
故答案为：y＝．
14．计算：2sin245°+tan60°•tan30°﹣cos60°＝　　．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
解：2sin245°+tan60°•tan30°﹣cos60°
＝2×（）2+×﹣
＝2×+1﹣
＝1+1﹣
＝，
故答案为：．
15．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是　y＝﹣2（x﹣2）2+3　．
【分析】根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据抛物线经过点（3，1），从而可以求得抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
∵抛物线经过点（3，1），
∴1＝a（3﹣2）2+3，
解得，a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2+3．
16．如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 　4　．

【分析】连接OA，由于AB⊥y轴，根据三角形面积公式得到S△OMN＝S△PMN＝2，再根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OMN＝|k|，所以|k|＝2，然后解方程即可．
解：连接OM，如图，
∵MN⊥y轴，即MN∥x轴，
∴S△OMN＝S△PMN＝2，
∵S△OMN＝|k|，
∴|k|＝2，
而k＞0，
∴k＝4．
故答案为：4．

17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　4　s．

【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
18．如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则cos∠BAC等于 　　．

【分析】设小正方形的边长为1，过C作CD⊥AB于D，求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AB和AC，根据三角形的面积求出高CD长，根据勾股定理求出AD，再求出答案即可．
解：设小正方形的边长为1，
过C作CD⊥AB于D，

S△ABC＝＝2，
由勾股定理得：AB＝＝2，AC＝＝2，
∴2＝×CD，
解得：CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，满分0分。要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？

【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
解：（1）停止加热时，设y＝，
由题意得：50＝，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为（9，100），
∴B点坐标为（8，100），
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；

（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
20．如图，一轮船在海上以每小时30海里的速度向西方向航行，上午8时，在B处测得小岛A在北偏东30°方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C处，这时测得小岛A在北偏东60°方向．如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午11时到达D处，这时轮船与小岛A相距多远？

【分析】作AE⊥BD于点E，根据条件可以得到∠ACB＝∠CAB＝30°，因而AB＝BC＝30海里，在直角△ADE中根据勾股定理就可以求解．
解：作AE⊥BD于点E，
则∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABE＝∠ACB+∠CAB
∴∠CAB＝30°
∴∠ACB＝∠CAB
∴AB＝BC＝30海里，
在直角△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AE＝AB＝15海里，BE＝AB＝15海里，
∵上午11时到达D处，
∴DE＝3×30+15＝105（海里）
在直角△ADE中，
∵AD2＝AE2+DE2，
∴AD＝＝＝30（海里）．
答：这时轮船与小岛A相距30海里．

21．新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%求解即可得到答案；
（2）求出w关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
解：（1）∵销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%，
∴，
解得：10≤x≤28，
∴x的取值范围10≤x≤28；
（2）由题意，得w＝（x﹣10）[1000﹣40（x﹣25）]，
即w＝﹣40x2+2400x﹣20000＝﹣40（x﹣30）2+16000，
∵a＝﹣40＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∵10≤x≤28，当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值是﹣40×（28﹣30）2+16000＝15840，
答：销售单价定为每包28元时，每天的利润最大，最大利润是15840元．
22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出另一个交点B的坐标，并直接写出当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集；
（3）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

【分析】（1）先把点A（1，a）代入y＝﹣x+3中求出a得到A（1，2）然后把A点坐标代入y＝（k≠0）中求出k得到反比例函数的表达式；
（2）先求出直线y＝﹣x+3与x轴交点C的坐标，然后解析式联立，解方程组求得B的坐标，利用图象即可求得当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集；
（3）求得C的坐标，设P（m，0），则PC＝|m﹣3|，根据三角形面积公式求得m的值，进而即可求得P的坐标．
解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝（k≠0），
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）解得或，
∴B（2，1），
由图象可知，当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集0＜x＜1或x＞2；
（3）在直线y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
设P（m，0），
∴PC＝|m﹣3|，
∵△APC的面积为5，
∴|m﹣3|×2＝5，
∴|m﹣3|＝5，
∴m＝8或m＝﹣2，
∴P（8，0）或（﹣2，0）．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c是由y＝x2平移得到的，且经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式并求出点M的坐标；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落在点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．

【分析】（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），由OA＝1，OB＝2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），故可知将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．于是得到平移后的抛物线解析式．
解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2，
∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣；
∴点M的坐标为（，﹣）；

（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，
可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y＝x2﹣3x+1．

24．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）

【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC＝90，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝90×0.643≈57.87（mm），
∴AM＝AF+FM＝57.87+40≈127.2（mm），
答：点A到直线DE的距离约为127.2mm；

（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，
∴tan∠D＝＝＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．


25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【分析】（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y＝x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y＝x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3），再根据S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．
解：（1）∵点B（3，0），C（0，﹣3）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
∴将B、C两点的坐标代入得，
解得：
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x，x2﹣2x﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∴Q点的坐标为（x，x﹣3），
∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OE+QP•EB
＝×4×3+（3x﹣x2）×3
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积．