专题19 解析几何多选题1（原卷版）+解析版

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专题19   解析几何多选题1.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点【答案】AC【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.故选AC。2.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是(     )A．离心率为 B．双曲线过点C．渐近线方程为 D．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；故选：ABC.3.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（    ）A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．的最小值为【答案】 BC【解析】 ，，则C的焦距为，.设（），则，所以圆D在C的内部，且的最小值为.故选：BC.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ）A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时， D．的最小值为4【答案】 ACD【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，，所，.故选:ACD.5.已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】 ABC【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则，，得，A选项正确；，又，为的中点，则，B选项正确；，，（抛物线定义），C选项正确；，，D选项错误.故选：ABC.6.已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）A． B． C． D．【答案】 AC【解析】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切，由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以，由两点间的距离公式得，整理得，解得或，因此，点的坐标为或.故选：AC.7.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ）A． B．离心率C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切【答案】 AD【解析】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为AD.8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（    ）A． B．为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为 D．的面积为4【答案】 AC【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设，如下图所示：A．因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B．假设为等腰直角三角形，所以，所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；C．设直线的方程为，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D．取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.9.已知到两定点，距离乘积为常数16的动点的轨迹为，则（    ）A．一定经过原点 B．关于轴、轴对称C．的面积的最大值为45 D．在一个面积为64的矩形内【答案】 BCD【解析】设点的坐标为，由题意可得.对于A，将原点坐标代入方程得，所以，A错误；对于B，点关于轴、轴的对称点分别为、，∵，∵，则点、都在曲线上，所以，曲线关于轴、轴对称，B正确；对于C，设，，，则，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，则，所以，则的面积为，C正确；对于D，，可得，得，解得，由C知，，得，曲线在一个面积为的矩形内，D正确.故选：BCD.10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ）A． B． C． D．【答案】 AD【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，，① 由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②由 ①②可得或 .故选:AD。