【名校试卷】苏州市相城区2019~2020学年8年级数学下册阳光指标学业水平调研测试 参考答案

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2019-2020学年苏州市相城区八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．了解卫星“嫦娥一号”零部件的质量情况
B．了解一批灯泡的使用寿命
C．了解江苏省中学生观看电影《厉害了，我的国》的情况
D．了解苏州市中小学生的课外阅读时间
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．使式子÷有意义的x值是（　　）
A．x≠3且x≠﹣5 B．x≠3且x≠4
C．x≠4且 x≠﹣5 D．x≠3且x≠4且x≠﹣5
5．下列整数中，与1+最接近的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）

A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C′，则点A与点B′之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
8．函数y＝（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
9．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OB＝6，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，将Rt△OAB沿着x轴向右平移6个单位，得到Rt△CDE，反比例函数图象恰好经过CE的中点F，则k的值为（　　）

A． B．2 C．4 D．8
二．填空题（共8小题）
11．化简：＝　 　．
12．在一幅比例尺为1：400000的地图上，某条道路的长度为1.5cm，则这条道路的实际长度为　 　km．
13．一个不透明的袋子里有5个红球和3个白球，每个球除颜色以外都相等，从袋中任意摸出一个球，是红球的可能性　 　（填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
14．如果反比例函数y＝（k为常数）的图象在二、四象限，那么k的取值范围是　 　．
15．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　 　．

16．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则BD＝　 　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当AD平分∠BAC时，AP的长为　 　．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC的中点，以点D为顶点作∠MDN＝∠B，当△DEF的面积等于△ABC面积的时，线段EF＝　 　．
三．解答题
19．计算：|﹣|﹣（）2．
20.解方程：＝1﹣．
21.（1）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
（2）已知m是的小数部分，求的值．
22.某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：

成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　　，b＝　　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，第5段成绩对应的圆心角度数是　°；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？

23.正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数y2＝的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；
（2）直接写出y1＜y2的解集　　．

24.如图，在△ABC中，AB＝AC，若AB2＝BD•BC．求证：△ABD是等腰三角形．

25.码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图．
（1）这批货物的质量是多少？
（2）写出y与x之间的函数表达式；
（3）轮船到达目的地后开始卸货，如果以5t/min的速度卸货，那么需要多少时间才能卸完货物？

26.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是线段BC、AD、OB、OD的中点，连接EH、HF、FG、GE．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当EF和BD满足条件　EF＝BD　时，四边形GEHF是矩形；
（3）当EF和BD满足条件　EF⊥BD　时，四边形GEHF是菱形．

27.如图，在平面直角坐标xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图形交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图形于点D，连接AD、CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

28.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．
①求证：△ABC∽△DCA；②求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求出的值．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：B．
2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）
A．了解卫星“嫦娥一号”零部件的质量情况
B．了解一批灯泡的使用寿命
C．了解江苏省中学生观看电影《厉害了，我的国》的情况
D．了解苏州市中小学生的课外阅读时间
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、了解卫星“嫦娥一号”零部件的质量情况，适合普查方式，故A选项正确；
B、了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故B选项错误；
C、了解江苏省中学生观看电影《厉害了，我的国》的情况，适合抽样调查，故C选项错误；
D、了解苏州市中小学生的课外阅读时间，适合抽样调查，故D选项错误；
故选：A．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第1个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
第2个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
第3个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
第4个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：C．
4．使式子÷有意义的x值是（　　）
A．x≠3且x≠﹣5 B．x≠3且x≠4
C．x≠4且 x≠﹣5 D．x≠3且x≠4且x≠﹣5
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，x﹣4≠0，根据除数不能为零可得x+5≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，x﹣4≠0，x+5≠0，
解得：x≠3，4，﹣5，
故选：D．
5．下列整数中，与1+最接近的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先确定的范围和最接近的整数，再确定与1+最接近的整数．
【解答】解：因为3.12＝9.61，3.22＝10.24，
所以3.1＜＜3.2．
所以接近整数3．
所以1+最接近4．
故选：B．
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）

A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到＝，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝3；1，
∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝，
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．
故选：B．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C′，则点A与点B′之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，可得AC⊥BD，所以∠BOC＝90°，根据△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，所以∠CO′B′＝∠BOC＝90°，AO′＝6，OB′＝8，再根据勾股定理即可求出点A与点B′之间的距离．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，
∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，
∴AO′＝6，
∵OB＝OD＝OB′＝BD＝8，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得
AB′＝＝10．
则点A与点B′之间的距离为10．
故选：C．
8．函数y＝（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k为常数）中，则﹣k2﹣1＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＞0、y2＞0，y3＜0，
∵x1＜x2，
∴y1＜y2，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
9．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，进行计算即可．
【解答】解：如图，设AB＝1，

∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF＝，
∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，
∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）
＝（×）：（1×）
＝．
故选：A．
10．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OB＝6，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，将Rt△OAB沿着x轴向右平移6个单位，得到Rt△CDE，反比例函数图象恰好经过CE的中点F，则k的值为（　　）

A． B．2 C．4 D．8
【分析】设B（a，b），根据平移性质用a、b表示E、C点，进而由中点公式求得E点坐标，再将B、E坐标代入反比例函数解析式中，求得a的值，再用k表示B点坐标，进而由两点距离公式列出k的方程解得k便可．
【解答】解：设B（a，b），
由平移知，E（a+6，b），C（6，0），
∵F是CE的中点，
∴F（a+6，b），
∵B、F点在双曲线y＝上，
∴k＝ab＝（a+6），
∴a＝4，
∵B（4，），
∴OB＝
∵OB＝6，
∴，
∵k＞0，
∴k＝
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．化简：＝　　．
【分析】直接利用分式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
12．在一幅比例尺为1：400000的地图上，某条道路的长度为1.5cm，则这条道路的实际长度为　6　km．
【分析】设这条道路的实际长度是xcm，利用比例尺的意义得到1.5：x＝1：400000，然后利用比例性质求出x，再把单位化为km即可．
【解答】解：设这条道路的实际长度是xcm，
根据题意得1.5：x＝1：400000，
解得x＝600000．
600000cm＝6km．
所以这条道路的实际长度是6km．
故答案为：6．
13．一个不透明的袋子里有5个红球和3个白球，每个球除颜色以外都相等，从袋中任意摸出一个球，是红球的可能性　大于　（填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
【分析】根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”直接确定答案即可．
【解答】解：∵袋子里有5个红球，3个白球，
∴红球的数量大于白球的数量，
∴从中任意摸出1只球，是红球的可能性大于白球的可能性．
故答案为：大于．
14．如果反比例函数y＝（k为常数）的图象在二、四象限，那么k的取值范围是　k＞2　．
【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出2﹣k＜0，即可得出结果．
【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
15．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　7　．

【分析】根据数轴得到a的范围，从而得到a﹣4与a﹣11的符号，然后利用二次根式的性质即可求解．
【解答】解：根据数轴得：5＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝a﹣4+11﹣a＝7．
故答案是：7．
16．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则BD＝　　．

【分析】连接OC，因为四边形OBCD是矩形，所以OC＝BD，C的坐标为（1，3），就可求出OC的长度，那么就可求出BD的长度．
【解答】解：连接OC，
∵顶点C的坐标为（1，3）．
∴OC＝＝
∵四边形OBCD是矩形．
∴BD＝OC＝．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当AD平分∠BAC时，AP的长为　　．

【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ADP＝∠PAD，得到PA＝PD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠ADP，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠PAD，
∴∠ADP＝∠PAD，
∴PA＝PD，
∴QP＝2PA，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得PA＝．
故答案为：．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC的中点，以点D为顶点作∠MDN＝∠B，当△DEF的面积等于△ABC面积的时，线段EF＝　5　．

【分析】利用已知首先求出∠BFD＝∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF． 利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，进而利用S△DEF的值求出EF即可．
【解答】解：连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
∴AD＝8，
∴S△ABC＝BC•AD＝×12×8＝48．
S△DEF＝S△ABC＝×48＝12．
又∵AD•BD＝AB•DH，
∴DH＝，
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，
∠EDF+∠BDF+∠CDE＝180°，
又∵∠EDF＝∠B，
∴∠BFD＝∠CDE，
由AB＝AC，得∠B＝∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴．
∵BD＝CD，
∴．
又∵∠C＝∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF，
∴∠DFB＝∠EFD
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH＝DG＝．
∵S△DEF＝×EF×DG＝12，
∴EF＝5．
故答案为：5．
三．解答题
19．计算：|﹣|﹣（）2．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝+2﹣
＝2．
20.解方程：＝1﹣．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】把分式方程化为整式方程，再求解．
【解答】解：原方程即
去分母得x＝2x﹣1+2
x＝﹣1
经检验：x＝﹣1
是原方程的解．
所以原方程的解是x＝﹣1
21.（1）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
（2）已知m是的小数部分，求的值．
【考点】2B：估算无理数的大小；6D：分式的化简求值；73：二次根式的性质与化简．
【专题】513：分式；514：二次根式；66：运算能力．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得；
（2）先根据题意得出m＝﹣1，继而知＝﹣1，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简，最后将m、的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝（﹣）÷
＝•
＝x+1，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+1＝．
（2）由题意知，m＝﹣1，
则＝＝+1，
∴m＜，
则原式＝
＝|m﹣|
＝﹣m
＝+1﹣（﹣1）
＝+1﹣+1
＝2．
22.某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：

成绩x/分
频数
频率
第1段
x＜60
2
0.04
第2段
60≤x＜70
6
0.12
第3段
70≤x＜80
9
b
第4段
80≤x＜90
a
0.36
第5段
90≤x≤100
15
0.30
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　18　，b＝　0.18　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，第5段成绩对应的圆心角度数是　108　°；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图；W2：加权平均数．
【专题】541：数据的收集与整理；542：统计的应用；65：数据分析观念；68：模型思想；69：应用意识．
【分析】（1）第1段的频数是2，对应的频率为0.04，可求出调查人数，进而求出a、b的值；
（2）求出a、b的值，即可补全频数分布直方图；
（3）样本中“第5段”的人数占调查人数的，因此相应的圆心角的度数占360°的，
（4）样本估计总体，样本中，成绩优秀的占调查人数的，因此估计总体400名的是成绩优秀的人数．
【解答】解：（1）2÷0.04＝50（人），a＝50×0.36＝18（人），b＝9÷50＝0.18，
故答案为：18，0.18；
（2）补全频数分布直方图如图所示：

（3）360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）400×＝264（人），
答：该年级400名学生中成绩在80分以上（含80分）的有264人．
23.正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数y2＝的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；
（2）直接写出y1＜y2的解集　x＜﹣2或0＜x＜2　．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用；68：模型思想；69：应用意识；6A：创新意识．
【分析】（1）把x＝2代入数y1＝2x可求出交点坐标为（2，4），代入y＝求得k的值，再根据反比例函数和正比例函数的对称性可得另一个交点坐标；
（2）画出两个函数的图象，根据图象和交点坐标可得y1＜y2的解集．
【解答】解：（1）把x＝2代入y＝2x得，y＝4，
∴交点坐标为（2，4），代入数y＝得，
k＝2×4＝8，
由反比例函数和正比例函数的对称性可得另一个交点坐标为（﹣2，﹣4），
答：k的值为8，另一个交点坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数y2＝的图象如图所示：
从图象可知，y1＜y2的解集为x＜﹣2或0＜x＜2；
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．

24.如图，在△ABC中，AB＝AC，若AB2＝BD•BC．求证：△ABD是等腰三角形．

【考点】KH：等腰三角形的性质；KI：等腰三角形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55D：图形的相似；67：推理能力．
【分析】由两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，证明△BAD∽△BCA，得∠BAD＝∠C，进而由等腰三角形的性质得∠B＝∠BAD，再由等腰三角形的判定得结论．
【解答】解：∵AB2＝BD•BC，
∴，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAD＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形．
25.码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图．
（1）这批货物的质量是多少？
（2）写出y与x之间的函数表达式；
（3）轮船到达目的地后开始卸货，如果以5t/min的速度卸货，那么需要多少时间才能卸完货物？

【考点】GA：反比例函数的应用．
【专题】534：反比例函数及其应用；67：推理能力．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得这批货的质量；
（2）设y与x的函数关系式是y＝，代入函数图象中的数据即可得出结果；
（3）利用函数关系式，当卸货速度x＝5时，得到y＝120即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
这批货物的质量是：1.5×400＝600（t），
答：这批货物的质量是600t；
（2）设y与x的函数关系式是y＝，
把（1.5，400）代入得：400＝，
解得：k＝600，
即y与x的函数关系式是y＝；
（3）当x＝5时，y＝＝120（min）．
答：需要120min才能卸完货物．
26.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是线段BC、AD、OB、OD的中点，连接EH、HF、FG、GE．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当EF和BD满足条件　EF＝BD　时，四边形GEHF是矩形；
（3）当EF和BD满足条件　EF⊥BD　时，四边形GEHF是菱形．

【考点】KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质；L9：菱形的判定；LD：矩形的判定与性质；LN：中点四边形．
【专题】552：三角形；556：矩形 菱形 正方形；69：应用意识．
【分析】（1）证明FH＝EG，FH∥EG即可．
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断．
（3）根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AF＝DF，DH＝OH，
∴FH∥AC，FH＝OA，
∵BG＝GO，BE＝EC，
∴EG∥AC，EG＝OC，
∴FH∥EG．FH＝EG，
∴四边形GEHF是平行四边形．
（2）解：当EF＝BD时，四边形GEHF是矩形．
理由：∵EF＝BD．BG＝OG，OH＝DH，
∴GH＝EF，
∵四边形GEHF是平行四边形，
∴四边形GEHF是矩形．
故答案为：EF＝BD．
（3）解：当EF⊥BD时，四边形EGHF是菱形．
理由：∵四边形GEHF是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形GEHF是菱形．
故答案为EF⊥BD．
27.如图，在平面直角坐标xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图形交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图形于点D，连接AD、CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式中求得b，把C点坐标代入求得的一次函数解析式求得m，得出C点坐标，再把求得的C点坐标代入反比例函数解析式中求得k；
（2）由一次函数解析式求得其函数图象与y轴的交点B的坐标，再根据BD⊥y轴，得D点的纵坐标与B点纵坐标相等，将其纵坐标代入反比例函数解析式求得D点坐标，再根据三角形的面积公式求得△ABD和△BCD的面积，再求其和便可为△ACD的面积；
（3）分两种情况：∠BAE＝90°；∠ABE＝90°．利用相似三角形的知识进行解答．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴直线y＝2x+b为y＝2x+4，
把C（m，6）代入y＝2x+4中，得6＝2m+4，
解得，m＝1，
∴C（1，6），
把C（1，6）代入反比例函数y＝中，得k＝6；
（2）令x＝0，得y＝2x+4＝4，
∴B（0，4），
∵BD⊥y轴于B，
∴D点的纵坐标为4，
把y＝4代入反比例函数y＝＝中，得x＝，
∴D（，4），
∴，
∴4+×（6﹣4）＝4.5；
（3）当∠BAE＝90°时，如图1，

∵∠BAE＝∠BOA＝90°，∠ABE＝∠OBA，
∴此时△AOB∽△EAB，
∴，即，
∴BE＝5，
∴OE＝1，
∴E（0，﹣1），
当∠ABE＝90°时，如图2，

∵∠ABE＝∠AOB＝90°，∠OAB＝∠BAE，
∴△AOB∽△ABE，
∴，
∴，
∴OE＝AE﹣AO＝10﹣2＝8，
∴E（8，0），
故存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，其坐标为E（8，0）或（0，﹣1）．
28.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．
①求证：△ABC∽△DCA；②求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求出的值．

【考点】SO：相似形综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；
（2）①先判断出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA；
②由△ABC∽△DCA得出CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；
（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知，BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，结合AB•BC＝AC2推出BD2＝AC2，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，
①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；
②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；
③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；
所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；
（2）①∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
②由①知，△ABC∽△DCA，
∴，即CA2＝BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC•AB，
∴△ABC是比例三角形；
（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB＝AD，
∴BH＝BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴，即AB•BC＝BH•DB，
∴AB•BC＝BD2，
又∵AB•BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴＝．