【名校试卷】苏州市吴江区2019-2020学年8年级数学下册期末调研试题（含解析）

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苏州市吴江区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28题，满分130分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考号填写在答题卡相应的位置上；
2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域
内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
3．考生答题必须在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 完成以下任务，适合用抽样调查的是（ ）
A. 为订购校服，了解学生衣服的尺寸
B. 调查你班同学家庭垃圾分类开展情况
C. 对北斗导航卫星上的零部件进行检查
D. 考察一批LED灯泡的使用寿命
3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. 菱形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 直角三角形
4. 已知平行四边形，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）
A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0
7. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.
8. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
10. 如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）

A －6 B. －12 C. －18 D. －24
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卡相应横线上）
11. 二次根式中，字母的取值范围是__________．
12. 一元二次方程x（x+3）=0的解是_____________________．
13. 一个不透明的盒子内装有大小、形状相同的六个球，其中红球1个、绿球2个、白球3个，小明摸出一个球是绿球的概率是________.
14. a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
15. 已知，则的值等于________.
16. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．

17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为_____．

18. 如图，在正方形中，点将对角线三等分，且．点在正方形的边上，则满足的点的个数是________个．

三、解答题（本大题共10题，共76分，请写出必要的计算过程或推演步骤）
19. 计算：
20. 解下列方程：
（1）
（2）
21. 先化简，再求值：，其中
22. 按下列要求如图格点中作图：

（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．
23. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）=______，=_______，该调查统计数据的样本容量是_______；
（2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估算该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
24. 今年6月25日是我国的传统节日端午节，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A，B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．求A，B两种粽子的单价各是多少？
25. 在矩形中，于点，点是边上一点，已知，

（1）求证：
（2）若，求的长．
26. 平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点．

（1）设，点在函数的图象上．
①分别求函数的表达式；
②直接写出使成立的范围；
（2）如图，设函数的图象相交于点，点的横坐标为，的面积为16，求的值．
27. 在矩形中，连结，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）．以为边在矩形的内部作正方形．

（1）如图，当为正方形且点在的内部，连结，求证：；
（2）经过点且把矩形面积平分的直线有______条；
（3）当时，若直线将矩形的面积分成1：3两部分，求的值．




28. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点．

（1）当点是中点时，的面积是________；
（2）连接，若平分，求此时点的坐标；
（3）设点是轴上方坐标平面内一点，若以点为顶点的四边形是菱形，求点的坐标及此时的长





苏州市吴江区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共28题，满分130分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考号填写在答题卡相应的位置上；
2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域
内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
3．考生答题必须在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 完成以下任务，适合用抽样调查的是（ ）
A. 为订购校服，了解学生衣服的尺寸
B. 调查你班同学家庭垃圾分类的开展情况
C. 对北斗导航卫星上的零部件进行检查
D. 考察一批LED灯泡的使用寿命
【答案】D
【解析】
【分析】
根据普查和抽样调查的概念结合具体选项进行判断即可．
【详解】A．为订购校服，了解学生衣服的尺寸是要求精确度高的调查，适合全面调查；
B．人数不多，容易调查，宜采用全面调查；
C．对北斗导航卫星上的零部件进行检查，因为调查的对象比较重要，应采用全面调查；
D．考查一批灯泡的使用寿命适合抽样调查．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查的区别，根据具体情况分析是解题的关键．
3. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. 菱形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【详解】A. 菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；
B. 等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；
C. 平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；
D. 直角三角形不是轴对称（等腰直角三角形是），也不是中心对称图形，故本选项错误.
故选A.
【点睛】本题主要考查图形的中心对称和图形的轴对称概念，熟悉掌握概念是关键.
4. 已知平行四边形，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD矩形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的判定定理、矩形的判定定理以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．
5. 下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：A、，故A正确；
B、不能合并，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
6. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）
A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0
【答案】A
【解析】
【分析】
把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得．
【详解】、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
则，即，
解得或（舍），
故选．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
8. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据反比例函数的性质，可得答案．
【详解】反比例函数中，＝－2020＜0，图象位于二、四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0．
∴n＜0＜m，
即m＞n，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜0时，图象位于二四象限是解题关键．
9. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
10. 如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）

A. －6 B. －12 C. －18 D. －24
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．
【详解】如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，

∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AE，OF＝2OE，
又∵AE•OE＝3，
∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12，
∴k＝±12，
∵点C在第二象限，
∴k＝−12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卡相应横线上）
11. 二次根式中，字母的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【详解】根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．
故答案为x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12. 一元二次方程x（x+3）=0的解是_____________________．
【答案】x1=0，x2=﹣3
【解析】
【详解】∵，
∴或，
解得：.
故答案是：x1=0，x2=﹣3
13. 一个不透明的盒子内装有大小、形状相同的六个球，其中红球1个、绿球2个、白球3个，小明摸出一个球是绿球的概率是________.
【答案】
【解析】
【分析】
绿球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【详解】解：∵一个盒子内装有大小、形状相同的六个球，其中红球1个、绿球2个、白球3个，
∴小明摸出一个球是绿球的概率是：.
故答案为
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
15. 已知，则的值等于________.
【答案】3
【解析】
【分析】
将通分后，再取倒数可得结果；或将分子分母同除，代入条件即可得结果.
【详解】方法一：
∵
∴
方法二:

故答案为3.
【点睛】本题考查分式的求值，从条件入手或从问题入手，都可以得出结果，将分式变形是解题的关键.
16. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．

【答案】（﹣5，4）．
【解析】
【分析】
首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.
【详解】由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，
由菱形邻边相等可得AD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4，
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，
所以C（-5,4）.
故答案为（﹣5，4）．
【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，运用勾股定理求出OD的长是解答本题的关键.
17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据已知求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解；
【详解】解：∵，，点．
∴，，
将向下平移个单位长度，
∴，，
∵两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
∴；
故答案为；
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是解题的关键．
18. 如图，在正方形中，点将对角线三等分，且．点在正方形的边上，则满足的点的个数是________个．

【答案】个
【解析】
【分析】
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】如图，作点F关于BC对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，
∴EC＝4，FC＝2＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM＝，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为＜5，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE＋PF＝4＋2＝6，
∴点P在CH上时，＜PE＋PF≤6，
在点H左侧，当点P与点B重合时，
∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，
∴FN∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴，
∵AB＝BC＝AC＝，
∴FN＝AB＝，
CN＝BC＝，
∴BN＝BC－CN＝2，
BF＝ ，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝，
∴PE＋PF＝，
∴点P在BH上时，＜PE＋PF＜，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．

【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共76分，请写出必要的计算过程或推演步骤）
19. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】
首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】原式=6.
【点睛】此题主要考查了实数运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
20. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；；（2）无解
【解析】
【分析】
（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）方程两边都乘以x−2得出1−x＋2（x−2）＝−1，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1），
，
，
；；
（2）方程两边都乘以x−2，得：1−x＋2（x−2）＝−1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x−2=0，
所以x＝2是增根，即原方程无解．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
21. 先化简，再求值：，其中
【答案】
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【详解】原式＝

=，
当时，
原式.
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22. 按下列要求在如图格点中作图：

（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用关于原点对称图形的性质即可画出对应图形；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出对应图形．
【详解】解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求；
（2）如图所示：△BA″C″，即为所求．

【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
23. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）=______，=_______，该调查统计数据的样本容量是_______；
（2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估算该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
【答案】（1），，；（2）；（3）人
【解析】
【分析】
（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数总人数求得b的值．
（2）用乘以3次对应的百分比即可求得；
（3）用总人数乘以样本中4次及以上的人数所占比即可；
【详解】（1）∵被调查的总人数为人，
∴，，
故答案是：17，20，50；
（2）扇形的统计图3次所对应的圆心角的度数为：．
（3）借阅4次及以上的人数所占百分比为：，
∴总人数为人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图的知识点，准确计算是解题的关键．
24. 今年6月25日是我国的传统节日端午节，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A，B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．求A，B两种粽子的单价各是多少？
【答案】种粽子单价为元，种粽子单价为元
【解析】
【分析】
设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量=总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，根据题意得：
，
解之，得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：种粽子单价为元，种粽子单价为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
25. 在矩形中，于点，点是边上一点，已知，

（1）求证：
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠AED=∠PEC=90°，求得∠AEP=∠DEC，得到∠EAP=∠EDC，可得出结论；
（2）证明△AEB∽△DEA，可得出，则得出，可求出答案．
【详解】解：（1），，
，
，
又，，
，
．
（2）在和中，

又，，
，


由（2）知
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点．

（1）设，点在函数的图象上．
①分别求函数的表达式；
②直接写出使成立的的范围；
（2）如图，设函数的图象相交于点，点的横坐标为，的面积为16，求的值．
【答案】（1）①，；②；（2）k=6
【解析】
【分析】
（1）①先求出a的值，然后由待定系数法即可求出答案；②根据图像，即可得到不等式的解集；
（2）过点、作轴于点，轴于点，连，利用反比例函数的几何意义，即可求出答案
【详解】（1）①由已知，点在图象上
，
，

点坐标为，坐标为
把，代入
，
解得：；
；
②由图象可知，使y1＞y2＞0成立的x的范围是；
（2）分别过点、作轴于点，轴于点，连

为中点

点、在双曲线上


由已知点、坐标都表示为

解得：；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．有一定难度．
27. 在矩形中，连结，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒）．以为边在矩形的内部作正方形．

（1）如图，当为正方形且点在的内部，连结，求证：；
（2）经过点且把矩形面积平分的直线有______条；
（3）当时，若直线将矩形的面积分成1：3两部分，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1条；（3）或
【解析】
【分析】
(1)证△AEH≌△CGH（SAS），即可得出AH=CH；
(2)连接BD交AC于O，作直线OE即可；
(3)分两种情况：①连接AH交BC于M，证出BM=CM=BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GM=6-t，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
②连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，证出DM=CM=CD，证△KCM≌△ADM得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．
【详解】解：(1)四边形是正方形，
，，，
又，
，
又，
，
．
(2)解：连接BD交AC于O，如图1所示：

作直线OE，则直线OE矩形ABCD面积平分，
即经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有1条，
故答案为：1；
(3) 解：分两种情况：
①如图2所示：连接AH交BC于M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴△ABC的面积=△ADC的面积，
∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴△ABM的面积=△ACM的面积，
∴BM=CM=CD=6，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GM=6-t，
∵△ABM的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，
∴×6×9=t(9-t)+t²+t(6-t)，
解得：；
②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，
∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴△ADM的面积=△ACM的面积，
∴DM=CM=CD=，
在△KCM和△ADM中，，
∴△KCM≌△ADM(ASA)，
∴CK=DA=12，
∴BK=BC+CK=24，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，
∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，
∴×24×9=t(9-t)+t²+t(24-t)，
解得：，
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点．

（1）当点是中点时，的面积是________；
（2）连接，若平分，求此时点的坐标；
（3）设点是轴上方的坐标平面内一点，若以点为顶点的四边形是菱形，求点的坐标及此时的长
【答案】（1）；（2）；（3）符合条件的点，；点，
【解析】
【分析】
（1）连接BP，先求出点A（4，0），点B（0，3），可得AO=4，OB=3，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求PC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解；
（2）由“AAS”可证△BOP≌△BCP，可得BO=BC=3，OP=CP，由勾股定理可求OP的值，即可求点P坐标；
（3）分OB为边和OB为对角线两种情况讨论，利用菱形的性质两点距离公式先求出点C坐标，再求出CP解析式，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，连接BP，

∵直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A（4，0），点B（0，3），
∴AO=4，OB=3，
∴AB===5，
∵点P是OA中点，
∴AP=OP=2，
∵S△ABP=×AP×OB=×AB×CP，
∴CP=，
∴AC===，
∴S△APC=×AC×PC=；
（2）平分，又，，
设，则，
，，，
即：
，即
（3）①若四边形是菱形


，互相垂直平分

即：，

，关于轴对称

此时，是中点

，即



②若四边形是菱形

延长交轴于
轴
设
在中，，

或（舍去）





又

，即
．
③若四边形是菱形
，
此时，点第四象限，不合题意，舍去
综上所述，符合条件的点，此时；点，此时．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．