高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像课时练习

7.3.3　余弦函数的性质与图像

基础过关练

题组一　余弦(型)函数的图像与周期性

1.用五点法作y=2cos x-1在[0,2π]的图像时,应取的五点为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)

B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)

C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)

D.(0,1),,,,

2.下列函数中,最小正周期为π的是(　　)

A.y=sin x        B.y=cos x 

C.y=sin 2x        D.y=cosx

3.方程cos πx=x的解的个数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5       B.6       C.8        D.9

4.下列函数中,最小正周期为2π的是(　　)

A.y=cos          B.y=cos 2x   

C.y=       D.y=|cos 2x|

5.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)

6.函数f(x)=cos的最小正周期是　　　　. 

7.用五点法作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.

题组二　余弦(型)函数的单调性与值域

8.若函数f(x)=cos 2ωx(ω>0)在区间上为减函数,在区间上为增函数,则ω=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.3         B.2       C.       D.

9.函数y=sin x和y=cos x都单调递减的区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

10.函数y=-cos x,x∈(0,2π)的单调性是(　　)

A.在(0,π]上是增函数,在[π,2π)上是减函数

B.在,上是增函数,在上是减函数

C.在[π,2π)上是增函数,在(0,π]上是减函数

D.在上是增函数,在,上是减函数

11.下列结论正确的是(　　)

A.sin 400°>sin 50°     B.sin 220°<sin 310°

C.cos 130°>cos 200°     D.cos(-40°)<cos 310°

12.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是(　　)

A.2       B.3       C.-2      D.2-

13.函数f(x)=cos的单调递减区间是　　　　　　　. 

14.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是　　　　. 

15.cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　　　　　　.(用“>”连接) 

16.求函数y=2cos,x∈的值域.

17.已知函数y=a-bcos(b>0,x∈R)的最大值为,最小值为-.

(1)求a,b的值;

(2)求函数g(x)=-4asin的最小值,并求出对应的x的集合.

题组三　余弦(型)函数的奇偶性与对称性

18.若函数y=cos(ωx+φ)是奇函数,则(　　)

A.ω=0      B.φ=kπ(k∈Z)     C.ω=kπ(k∈Z)       D.φ=kπ+(k∈Z)

19.函数y=1+cos x的图像(　　)

A.关于x轴对称      B.关于y轴对称

C.关于原点对称      D.关于直线x=对称

20.把函数y=cos的图像向右平移φ(φ>0)个单位,所得到的函数图像正好关于y轴对称,则φ的最小值为(　　)

A.        B.      C.       D.

21.函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图像,则下列结论中不正确的是(　　)

A.函数y=g(x)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为

B.函数y=g(x)的图像关于直线x=对称

C.函数y=g(x)的图像关于点对称

D.函数y=g(x)在内为减函数

题组四　余弦(型)函数图像的变换

22.先把函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位,最后向下平移1个单位,得到的图像是(　　)

23.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位后,所得图像与原图像重合,则ω的最小值为(　　)

A.        B.3         C.6       D.9

24.把函数y=cos x的图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,然后将图像沿x轴负方向平移个单位,得到的图像对应的解析式为(　　)

A.y=sin 2x    B.y=-sin 2x   C.y=cos     D.y=cos

能力提升练

一、单项选择题

1.(2018云南玉溪民族中学高一下段考,疑难2,★★☆)已知函数f(x)=cos,则该函数的图像(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.关于点对称         B.关于点对称

C.关于直线x=对称         D.关于直线x=对称

2.(疑难1,★★☆)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图像如图所示,则f(2 019)=(　　)

A.-1       B.-      C.0          D.1

3.(2019辽宁沈阳育才学校高三期中,疑难2,★★☆)函数f(x)=cos(ω>0)在[0,π]内的值域为,则ω的取值范围为(　　)

A.    B.       C.        D.(0,1]

4.(疑难1,★★☆)要得到函数y=3cos的图像,可以将函数y=3cos的图像沿x轴(　　)

A.向左平移个单位     B.向左平移π个单位

C.向左平移个单位     D.向右平移π个单位

5.(2019湖北武汉部分市级示范高中高三联考,疑难3,★★☆)已知函数y=4cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是(　　)

A.4　　　 B.4-2　　　 C.6　　　 D.2+4

6.(2019吉林通榆一中高三期中,疑难1、2,★★☆)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

7.(2019江西新余高三联考,疑难2,★★★)函数y=cos的图像向左平移m(m>0)个单位后,得到的图像关于原点对称,则m的值可以是(　　)

A.           B.         C.         D.

二、多项选择题

8.(疑难2、3,★★☆)已知函数f(x)=cos,则下列结论中正确的是(　　)

A.函数f(x)是周期为π的偶函数

B.函数f(x)在区间上是减函数

C.若函数f(x)的定义域为,则值域为

D.函数f(x)的图像与g(x)=-sin的图像重合

三、填空题

9.(疑难1,★★☆)若常数m使方程cos x=m在区间上恰有三个解x1,x2,x3(x1<x2<x3),且=x1·x3,则实数m的值为　　　　. 

四、解答题

10.(2018河北冀州中学高一期中,疑难2、3,★★★)已知函数f(x)=cos,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)当x∈时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,求实数k的取值范围;

(3)将函数f(x)=cos的图像向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.

答案全解全析

基础过关练

1.B　当x=0时,y=1;当x=时,y=-1;当x=π时,y=-3;当x=π时,y=-1;当x=2π时,y=1.故选B.

2.C　对于A,y=sin x,最小正周期T==2π,不符合题意.

对于B,y=cos x,最小正周期T==2π,不符合题意.

对于C,y=sin 2x,最小正周期T==π,符合题意.对于D,y=cosx,最小正周期T==4π,不符合题意.故选C.

3.D　令y1=cos πx,y2=x,画出y1=cos πx,y2=x的图像(如图).

当x=4时,y1=cos 4π=1=y2.

由图像知当x>0时,两函数图像有5个交点;当x<0时,两函数图像有4个交点.故选D.

4.C　y=cos的最小正周期T==4π;y=cos 2x的最小正周期T==π;

y=的最小正周期T=2π;y=|cos 2x|的最小正周期T=.故选C.

5.B　由y=cos(-x)=cos x知,其图像和y=cos x的图像相同,故选B.

6.答案　6

解析　最小正周期T===6.

7.解析　列表:

描点,连线,如图.

8.C　由题意得当x=时,函数f(x)取得最小值,∴=π+2kπ,k∈Z,∴ω=+3k,k∈Z.又由条件得函数的最小正周期T=≥,解得0<ω≤2,∴ω=.

9.A　y=sin x在区间(k∈Z)上单调递减,y=cos x在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,

∴两个函数都在区间(k∈Z)上单调递减.故选A.

10.A　函数y=-cos x的单调递减区间是[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z),单调递增区间是[2kπ,π+2kπ](k∈Z).∵x∈(0,2π),∴y=-cos x在(0,π]上是增函数,在[π,2π)上是减函数.

11.C　cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°,cos 200°=cos(180°+20°)=-cos 20°,因为当0°<x<90°时,函数y=cos x是减函数,所以cos 50°<cos 20°,所以-cos 50°>-cos 20°,即cos 130°>cos 200°,易知其他选项均错误,故选C.

12.B　因为当≤x≤π时,y=2cos x是减函数,且当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cos π=-2,所以-2≤y≤1,即函数y=2cos x的值域是[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.故选B.

13.答案　(k∈Z)

解析　令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即f(x)的单调递减区间是(k∈Z).

14.答案　(-π,0]

解析　因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0].

15.答案　cos 1>cos 2>cos 3

解析　因为0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,所以cos 1>cos 2>cos 3.

16.解析　∵x∈,∴2x+∈,

∴cos∈.

∴函数y=2cos在上的值域为[-1,2].

17.解析　(1)由题意得解得

(2)由(1)知g(x)=-2sin,

∵sin∈[-1,1],∴g(x)∈[-2,2].∴g(x)的最小值为-2,

此时sin=1.故x-=2kπ+,k∈Z,

∴x=2kπ+π,k∈Z,∴对应的x的集合为.

18.D　由函数y=cos(ωx+φ)是奇函数,可知y=cos(ωx+φ)=sin ωx或y=cos(ωx+φ)=-sin ωx,由诱导公式,得φ=kπ+(k∈Z).

19.B　∵y=1+cos x=1+cos(-x),∴y=1+cos x是偶函数,即该函数的图像关于y轴对称.

20.C　由题意可得平移后所得图像对应的函数y=cos为偶函数,∴-φ+=kπ(k∈Z),∴φ=-kπ(k∈Z).∵φ>0,∴φmin=.

21.C　由题意得ω==2,所以将函数f(x)=sin的图像向左平移个单位后得到g(x)=cos的图像.

所以g(x)的最小正周期T=π,=,故A正确.

令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,取k=2,得x=,故B正确.

函数g(x)图像的对称中心的横坐标满足2x+=+kπ(k∈Z),即x=+(k∈Z),故C错误.

当x∈时,2x+∈⊆[0,π],故D正确.故选C.

22.A　函数y=cos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos x+1的图像,再向左平移1个单位,得到y=cos(x+1)+1的图像,再向下平移1个单位得到y=cos(x+1)的图像,故相应的图像为选项A中的图像.

23.C　将函数f(x)=cos ωx(ω>0)的图像向右平移个单位后,得函数y=cos=cos的图像.

∵所得图像与原图像重合,∴-=2kπ,k∈Z,∴ω=-6k,k∈Z.又ω>0,∴k<0,∴当k=-1时,ωmin=6.

24.B　函数y=cos x的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=cos 2x的图像,再把y=cos 2x的图像沿x轴负方向平移个单位,得到y=cos =cos=-sin 2x的图像.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,故函数f(x)的图像的对称轴方程为x=-,k∈Z,当k=1时,x=,故选C.

2.C　设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为T,由题图可知,=2,所以T=8,所以ω==.由点(1,1)在函数图像上可得f(1)=cos=1,所以+φ=2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ-(k∈Z).又φ∈[0,2π),所以φ=.故f(x)=cos,故f(2 019)=cos

=cos=cos=0.

3.A　函数f(x)=cos(ω>0),

当x∈[0,π]时, f(x)∈,

∴-1≤cos≤,ωx+∈,

则π≤ωπ+≤,解得≤ω≤,

故ω的取值范围为.

4.C　∵y=3cos

=3cos,

∴将函数y=3cos的图像上的所有点向左平移个单位,可得到函数y=3cos的图像.故选C.

5.D　当x∈时,

y=cos x∈,

所以函数y=4cos x的值域为[-4,2],

所以b-a=2+4.

6.D　由题图可得函数的周期为2×=2,∴=2,解得ω=π,∴f(x)=cos(πx+φ),再根据函数的图像以及五点法作图,可得+φ=,

解得φ=,故f(x)=cos,

令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,

可得2k-≤x≤2k+,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间为2k-,2k+,k∈Z.

7.A　函数y=cos的图像向左平移m(m>0)个单位得到y=cos=cos的图像,∵所得到的图像关于原点对称,∴2m+ =kπ+,k∈Z,解得m=+,k∈Z,当k=0时,m=.

二、多项选择题

8.BD　A错,函数f(x)是周期为π的函数,但不是偶函数;B正确,当x∈时,2x-∈⊆[0,π],所以函数f(x)在区间上是减函数;C错,若函数f(x)的定义域为,则2x-∈,其值域为;

D正确,g(x)=-sin=-sin-+2x-=sin=cos2x-,故D正确.故选BD.

三、填空题

9.答案　-

解析　作出y=cos x,x∈的图像,如图所示.

由方程cos x=m在区间上恰有三个解知-1<m<0,由图像可知x2=2π-x1,x3=2π+x1,又=x1·x3,所以4π2-4πx1+=x1(2π+x1),解得x1=π,从而m=cosπ=-.

四、解答题

10.解析　(1)因为f(x)=cos,

所以函数f(x)的最小正周期T==π,

由-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)因为f(x)=cos在区间上为增函数,在区间上为减函数,

又f=0, f=, f=-1,

∴当k∈[0,)时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.

(3)∵f(x)=cos=×sin

=sin

=sin=sin,

∴g(x)=sin

=sin,

由题意得-2m=kπ,k∈Z,

∴m=-π+,k∈Z.

∵m>0,∴当k=0时,mmin=,此时g(x)=sin 2x的图像关于原点中心对称.