2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练 考点8 平面解析几何中的定点与定值问题

考点8 平面解析几何中的定点与定值问题

一、选择题

1.已知过圆外一点作圆的切线交圆于A,B两点,则直线AB的方程为,该性质适用于所有圆锥曲线,直线上一动点M向椭圆作切线,切点为,则直线一定过定点为(   )
A. B. C. D.

二、解答题

2.已知椭圆，过点作斜率为的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.
 

（1）求实数k的取值范围；

（2）若M关于x轴的对称点为P，试问：直线NP是否过定点？请说明理由.

3.已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求动点M的轨迹E的方程.
（2）过点F作斜率为的直线与轨迹E交于点A,B,线段AB的垂直平分线交x轴于点N,证明:为定值.

4.双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A,B两点（A,B两点不与P点重合），设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.

5.已知椭圆的离心率为，且b,a,成等比数列.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N，点B为椭圆的下顶点,连接BM,BN，分别与x轴交于P,Q两点，求证：为定值.

6.已知点在椭圆上，点P是椭圆C上异于A,B的动点，直线PA,PB与x轴分别交于M,N两点，当点P为椭圆C的上顶点时，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：为定值.

7.已知抛物线与直线交于M,N两点，且线段MN的中点为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点P作直线m交抛物线于点A,B，证明：以弦AB为直径的圆恒过点.

8.已知椭圆的上顶点为M、右顶点为N.（点O为坐标原点）的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.
(1)椭圆C的标准方程;
(2)试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A,B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.

9.已知F为抛物线的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A,B两点，线段AB的中点到准线的距离为4.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于C,D两点和M,N两点，且CD与MN的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过定点.

10.已知椭圆的右顶点为M，上顶点为N，，椭圆C的离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点作两条互相垂直的直线.若与C交于A,B两点，与C交于D,E两点，试探究四边形ADBE的内切圆的面积是不是定值，若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

11.在平面直角坐标系中，，点P为平面内一个动点，若.
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O作，交轨迹C于E,G，过点O作，交轨迹C于F,H，依次连接EFGH得到平行四边形，判断此时平行四边形EFGH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

12.T为椭圆上顶点，正方形OMNT的边MN交椭圆C于点P.是椭圆右焦点.的面积分别为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过P点作两条倾斜角互补的直线与椭圆C分别交于点A,B时，直线AB的斜率k是否为定值？若是，求出斜率k；若不是，请说明理由.

13.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与重合）与AB连线的斜率的乘积恒为.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知圆，圆O上任意一点Q处的切线交椭圆于两点，在x轴上是否存在一定点D，使得以MN为直径的圆过该定点？若存在，请求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：设点，根据类比可得直线的方程为,即,可得解得直线过定点,故选B.

2.答案：（1）设直线的方程为.因为直线与椭圆C相交于不同的两点，所以联立消去y得，
则，解得，且，即实数k的取值范围是.
(2)直线NP过定点，理由如下：
设，，则，
由(1)有
所以.
因为，
所以，即，
则N，F，P三点共线，所以直线NP过定点.

解析：

3.答案：（1）解：由题意知，动点M到点的距离与到直线距离相等，
由抛物线的定义知，轨迹E是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
所以点M的轨迹E的方程为.
（2）证明：设直线，
联立得.
设，，G为线段AB的中点,
则,，
所以，
所以线段AB的垂直平分线的方程为，
则.
从而，
，
所以为定值.

解析：

4.答案：（1）【解】由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）【证明】当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.

解析：

5.答案：（1）由题意可得
解得
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，，
所以直线l的方程为.

设，.联立
消去y得，所以
所以,.
直线BM的方程为,令得,
即.同理可得.
所以,
即为定值.

解析：

6.答案：（1）当点P为椭圆C的上顶点时，，所以可设，因为，所以，所以直线AP的方程为，令，则，同理可求，，所以，所以，又因为，所以，则椭圆的方程为.
（2）设，因为，所以，所以直线AP的方程为，令，
则，所以，
因为，所以，所以直线BP的方程为，令，则，
所以，
所以，所以，因为，所以，则.

解析：

7.答案：(1)【解】由题知，.
设M，N两点的坐标分别为，，显然，
所以.
又，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)【证明】当直线m的斜率存在时，
设直线，，.
联立
整理得，，
，，
所以，
.
令，
则

，
所以，故以弦AB为直径的圆恒过点.
当直线m的斜率不存在时，直线，
此时直线m与抛物线的两个交点分别为，，
不妨令，，
此时，，
则，
所以，故以弦AB为直径的圆过点.
综上所述，以弦AB为直径的圆恒过点.

解析：

8.答案：（1）由题意知，，由，得.
设直线与椭圆C交于点，，则.
把代入椭圆方程，得，
故，即.
由①②，解得或（舍去），
所以椭圆C的标准方程为.
（2）假设存在这样的圆O，设.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为.
由,得.
设，，则，.
故
.
由，得.
由③④,得，当与k无关时，，，即圆O的半径为.
当直线AB的斜率不存在时，若直线AB的方程为,
将其代入椭圆C的方程，得,,
此时.
若直线AB的方程为，同理可得.
综上，存在满足题意的圆O，其方程为.
解析：

9.答案：（1）由题意得，可设直线l的方程为.
与联立并消去y，得，
即.
设，，
则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）设，，直线CD的方程为.
将直线CD的方程与联立并消去x,得，
所以，所以，则.
因为直线CD与直线MN垂直，所以直线MN的方程为,
同理可得.
当时，直线PQ的斜率,
所以直线PQ的方程为，即，
则直线PQ过定点.
当时，，所以直线PQ的方程为，过定点.
综上可知，直线PQ恒过定点.

解析：

10.答案：（1）由题意知①，
椭圆C的离心率为②，
由①②得，
椭圆C的标准方程为.
(2)当直线的斜率为时，四边形ADBE为正方形，
不妨令直线的斜率为1，则的方程为
联立解得，
内切圆的半径，内切圆的面积.
当直线的斜率不等于时，直线AD的斜率存在且不为0，设直线AD的方程，
联立得，
，即，
，
，即，
，解得，符合题意.
设原点到直线AD的距离为d，
则内切圆的半径，
内切圆的面积为定值.
综上，四边形ADBE的内切圆的面积是定值，为.

解析：

11.答案：（Ⅰ）设点，
则,
所以,
整理得，
即点P的轨迹C的方程为.
（Ⅱ）设直线，
联立
消去y并整理得，
所以.
由得
,
即,
所以，化简得,
且.
又点O到直线EF的距离,
所以,
由平行四边形的面积等于4个面积之和得平行四边形EFGH的面积为定值4.

解析：

12.答案：（Ⅰ）由已知条件可得，
，
则，
解得或（舍去），
所以椭圆C的方程为，
椭圆C的离心率.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点.
设直线，
同理得直线.
联立
可得点，
同理可得点，
则直线的斜率，
所以直线AB的斜率k是定值.

解析：

13.答案：(1)由题意知，且，
设，则点P与点A连线的斜率，
点P与点B连线的斜率，
由题意知，即，①
因为点P在椭圆C上，所以，②
联立①②，解得，所以椭圆C的标准方程为.
(2)假设满足条件的点存在，
当过点Q且与圆O相切的直线斜率存在时，设切线方程为，将其代入椭圆C的方程，得，
，即，
设，
所以，
因为直线与圆O相切，所以圆心O到直线的距离
，所以，符合题意，
因为以MN为直径的圆过定点D，所以，
所以


，
因为不恒成立，所以，则，故以MN为直径的圆经过定点.
当过点Q且与圆O相切的直线斜率不存在时，不妨设切线方程为，将其代入椭圆C的方程，得，则交点坐标为，故以MN为直径的圆经过点
综上，在x轴上存在一定点，使得以MN为直径的圆经过该定点.