【新课标新高考】考点2 解三角形——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点2 解三角形—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

题型1：利用正、余弦定理解三角形

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

1.已知两角A，B与一边a，由及，可先求出角，再求出b，c.

2.已知两边b，c及其夹角，由，先求出，再由正弦定理求出角B，C.

3.已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.

4.已知两边a，b及其中一边的对角，由可求出另一边的对角，由可求出，再由可求出，而通过求时，可能有一解、两解或无解的情况.

题型2：利用正、余弦定理判断三角形的形状

要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两种途径：

（1）化角为边：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

（2）化边为角：利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用“中，”.

注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.

题型3：与面积、范围有关的问题

1.三角形面积问题有三类，类型1：求三角形的面积，一般要先利用正、余弦定理或两角和与差的三角函数公式等，沟通角与边；类型2：已知三角形的面积解三角形，常选用已知两边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；类型3：已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.

2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可.

【练习】

1.在中，若，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

2.已知非零向量与满足，且，则为(   )

A.等腰非等边三角形     B.直角三角形

C.等边三角形                 D.三边均不相等的三角形

3.仰望星空，时有流星划过天际.如图，有两个观察者在地球上A，B两地同时看到S处有颗流星，仰角分别是和(MA，MB表示当地的地平线)，假设O为地球中心，且点S，A，B，O共面，劣弧所对的圆心角为.若测算到，，则AS≈________km.（精确到1 km）
 

4.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金三角形ABC中，.根据这些信息，可得(   )
 

A. B. C. D.

5.（多选）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是(   )

A.

B.是钝角三角形

C.的最大内角是最小内角的2倍

D.若，则外接圆的半径为

6.在中角所对应的边分别为，已知且，则___________.若M为边的中点，则___________.

7.如图，将某圆形工件（厚度忽略不计）放置在水平面MN上，与MN交于点A，在圆周上取一点B，作的平分线AC，交圆周于点C，连接BC并延长交MN于点D.若，则该圆形工件的半径为___________.

8.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，则的最大值是___________.(仰角为直线与平面所成角)

9.如图所示，制作某回旋飞梭的飞行翅膀时，需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且对角为150°的三角形（图中的阴影部分）再加工而成.为游戏者安全考虑，具体制作尺寸为，，，则_________.

10.如图，在中，点E在边AB上，且将射线CB绕着点C逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点D，使得连接DE，则的面积为___________.

11.华表柱是一种中国传统建筑形式.相传华表是部落时代的一种图腾标志，古代常设在宫殿、陵墓等大建筑物前面作为装饰使用，柱身多雕刻龙风等图案，上部横插着雕花的石板，富有深厚的中华传统文化内涵.某广场（平地）在华表的南偏西74°方向的点A处，测得对华表的仰角为30°，从点A出发沿着南偏东76°方向前进16米行至点B处，此时仰角为45°，则此华表的高度为_________米.

12.如图，在四边形ABDC中，.
 

（1）求的值；

（2）若点D在平面ABC内运动，且与点A位于BC的异侧，求四边形ABDC面积的最大值.

13.在①，②，③的面积为12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知中，点M在边BC上，且，________，求AB的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为，所以，又为的内角，所以.由正弦定理，得.因为，所以，所以.设，则，所以，设，则，所以在上单调递增，所以.故的取值范围为，故选B.

2.答案：A

解析：设，则为平分线所在直线上的向量，且，所以，所以为等腰三角形.因为，所以由余弦定理得.又因为，所以，所以为等腰非等边三角形，故选A.

3.答案：382

解析：在中，易知，，所以.由正弦定理得，可得.

4.答案：D

解析：在中，由正弦定理可知，所以，所以故选D.

5.答案：ACD

解析：因为，所以可设(其中)，解得，所以，所以A正确；

因为最大，所以角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；

因为最小，所以角最小，又，所以，所以，由角最大且角为锐角可得，所以，所以C正确；

设外接圆的半径为，则由正弦定理得，又，所以，解得，所以D正确.故选ACD.

6.答案：

解析：本题考查解三角形.由已知得，即，.由得.

7.答案：

解析：由弦AC平分，可得，又因为，所以，则，则，故.因为，所以，因为圆形工件是的外接圆，所以由正弦定理得圆形工件的半径.

8.答案：

解析：过点作，垂足为，连接.设，则.

，.在中，由余弦定理得，，故当时，取得最大值，最大值为.

9.答案：

解析：由题意可得，.又，，所以.设，则.因为，且，所以.又，且，所以.在中，由正弦定理可得，即，解得.故.

10.答案：

解析：在中，由余弦定理得得解得在中，由正弦定理知所以又因为所以所以在中，由正弦定理知所以因为所以.

11.答案：8或16

解析：如图所示，设华表在点O处，柱顶为点P，设依题意得平面则因为OA为南偏西方向，AB为南偏东方向，所以
方法一：在中，由余弦定理得即化简得解得或所以此华表的高度为8或16米.
方法二：在中，由正弦定理得，即则所以或当时，所以当时，，所以所以此华表的高度为8或16米.
 

12.答案：(1)，
由正弦定理，得.
(2)由的面积为定值，知当的面积最大时，四边形ABDC的面积就最大.
设，则，四边形ABDC的面积，故四边形ABDC面积的最大值为.

13.答案：若选①，则，

所以由，可得，

所以，

故在中，，

则.

若选②，则，

则，所以，又，

故在中，，

则.

若选③的面积为12，则由可得的面积为6，即，

解得，则.

故在中，，

则.