【新课标新高考】考点6 立体几何中与球有关的切、接问题——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点6 立体几何中与球有关的切、接问题—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

1.“切”“接”问题的处理规律

（1）“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点，通过作截面来解决.

（2）“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

2.当球的内接多面体为共顶点的棱两两垂直的三棱锥、共顶点的三个侧面两两垂直的三棱锥或三组对棱互相垂直的三棱锥时，常构造长方体或正方体以确定球的直径.

3.与球有关的组合体的常用结论

（1）长方体的外接球：

①球心：体对角线的交点；

②半径：为长方体的长、宽、高).

（2）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球：

①外接球：球心是正方体的中心，半径为正方体的棱长)；

②内切球：球心是正方体的中心，半径为正方体的棱长)；

③与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径(为正方体的棱长).

（3）正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：

①外接球：球心是正四面体的中心，半径为正四面体的棱长)；

②内切球：球心是正四面体的中心，半径为正四面体的棱长).

【练习】

1.已知在三棱锥中，是以A为直角的三角形，是正三角形，且与底面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的半径为(   )

A. B. C. D.

2.在平面四边形中，，现将沿折起，使二面角的大小为.若四点在同一个球的球面上，则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

3.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家等，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为(   )

A.30 B. C.33 D.

4.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，D，E分别是PA，AB上靠近点A的三等分点，，则三棱锥的内切球的表面积为(   )
 

A. B. C. D.

5.已知在菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥，且使得棱，则三棱锥的外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

6.已知正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，沿DE，DF，EF折起得到如图所示的空间几何体，若，则此几何体的内切球的体积为(   )

A. B. C. D.

7.如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则以为顶点的四面体的外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

8.（多选）已知三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(   )

A.球的表面积为

B.球的内接正方体的棱长为1

C.球的外切正方体的棱长为

D.球的内接正四面体的棱长为2

9.如图，在三棱锥A-BCD的平面展开图中，四边形BCED为菱形，，则三棱锥A-BCD外接球的体积为_________________.

10.设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，则___________.

11.在三棱锥中，平面.三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为__________；若点M是的重心，则过点M的平面截球O所得截面的面积的最小值为__________.

12.如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，沿DM把折起，使点C到达点N的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为_________.

13.已知有两个半径为2的球记为，两个半径为3的球记为，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球都相内切，则球O的半径为____________.

答案以及解析

1.答案：C

解析：如图，不妨令二面角为钝二面角，取的中点D，连接，因为，，所以，且D为外接圆的圆心.作平面于H，易知H在直线上，连接，则为与底面所成角，则，又，所以，又，则.设为的外心，O为三棱锥外接球的球心，连接，则平面平面，则，设外接球的半径为R，则，故选C.

2.答案：C

解析：本题考查三棱锥的外接球、球的表面积.如图所示，设M为的中点，连接，依题意，折起后是二面角的平面角，则.易知，四面体的外接球的球心O在平面上，于是点O在底面上的射影是正的中心，设为点Q，而点O在侧面上的射影是M，易得，又，因此，进而，所以球O的表面积为，故选C.

3.答案：B

解析：因为，所以.又底面BCD，所以，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论，可得，所以球O的表面积为.故选B.

4.答案：C

解析：本题考查三棱锥的内切球的表面积.因为，是边长为的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，由正棱锥对棱垂直可知.又D，E分别是PA，AB上靠近点A的三等分点，所以，所以.又，所以平面PAC，所以平面PAC，所以，所以，所以两两互相垂直.
设三棱锥的内切球的半径为r，则由等体积法可得，，即，解得，故三棱锥的内切球的表面积为.故选C.

5.答案：C

解析：由题意可知为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O，等边三角形BCD的中心为取BD的中点F，连接由，得又，所以平面AFC，且可求得而所以在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面AFC得又所以平面BCD.过点O作于点G，则四边形是矩形.又，所以.设外接球的半径为则由，得解得故三棱锥外接球的表面积故选C.

6.答案：C

解析：在等腰中，，设点D到EF的距离为h，则.令该几何体的内切球的球心为O，且球心O到三个面的距离均为半径r.又因为，且，所以平面PEF.由等体积法知，即，解得，则，故选C.

7.答案：A

解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为的正三棱锥，如图所示，取的中点，连接，作平面，交于，则是的重心，由题意知，.设为四面体的外接球的球心，球的半径为，则在直线上，连接，则，由，得，解得，所以以为顶点的四面体的外接球的体积.故选A.

8.答案：AD

解析：设球的半径为的外接圆圆心为，半径为.易得.因为球心到平面的距离等于球半径的，所以，得.所以球的表面积，选项A正确；球的内接正方体的棱长满足，显然选项B不正确；球的外切正方体的棱长满足，显然选项C不正确；球的内接正四面体的棱长满足，选项D正确.故选AD.

9.答案：

解析：将三棱锥A-BCD的直观图还原，如图所示，则，所以，则.取AB的中点O，连接OD，OC，因为均为直角三角形，所以，所以O为三棱锥A-BCD外接球的球心.设三棱锥A-BCD外接球的半径为R，所以，故三棱锥A-BCD外接球的体积.

10.答案：

解析：本题考查正四面体的外接球、内切球性质.

如图，在正四面体PABC中，D，E分别为BC，AC的中点，连接AD，BE交于点F，则点F为正三角形ABC的外心，连接PF，则底面ABC，且正四面体PABC的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF上，记作点O，如图所示.

不妨设正四面体PABC的棱长为a，则在中，.

底面底面，

.

正四面体PABC的外接球、内切球球心均为O，

.

，且在中有，

，

，

.

11.答案：

解析：（1）平面平面ABC，又，且平面平面，所以PC是两个直角三角形PAC和PBC的斜边，取PC的中点O，点O到四点P，A，B，C的距离相等，即点O是三棱锥的外接球的球心，

（2）当点M是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点N是AC的中点，M是的重心，，所以，截面圆的半径，所以
 

12.答案：

解析：因为，所以，又，所以平面，则.又，所以AM的中点O为三棱锥外接球的球心，于是球O的半径，故球O的表面积.

13.答案：6

解析：本题考查球的相切问题.由题意可得.
如图，取的中点的中点N，连接则
又平面同理可证平面
平面平面球心O在线段MN上.
设球O的半径为R，则.
即解得.
故球O的半径为6.