人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试测试题，共25页。试卷主要包含了函数f=3+2的极值点是等内容，欢迎下载使用。
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对导数的定义理解不够准确致错
1.()若limΔx→0f(x0+mΔx)-f(x0)Δx=1(m为常数),则f'(x0)等于(　　)
A.-m B.1 C.m D.1m
2.()利用导数的定义,求f(x)=x2+1在x=1处的导数.





易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错
3.()已知函数f(x)=x3+2x-8,则曲线y=f(x)在点(0,-8)处的切线方程为　　　;若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-15x+1垂直,则切点坐标为　　　. 
4.()求曲线y=x3+2x过点(1,3)的切线方程.






易错点3　对复合函数的求导法则理解不透致错
5.()已知函数f(x)=ln(1-x),则f'(x)=　　　　. 
6.()求曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.






易错点4　忽视取极值的条件致错
7.()函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是(　　)
A.x=1 B.x=-1或x=1或x=0
C.x=0 D.x=-1或x=1
8.()设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.





易错点5　利用导数研究函数单调性时忽视定义域致错
9.()求函数y=xax-x2(a>0)的单调递减区间.




10.()已知函数f(x)=ax-ax-2ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的单调性.






易错点6　混淆极值与最值致错
11.()求函数f(x)=sin 2x-x在-π2,π2上的最大值和最小值.
易错




12.()已知函数f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
易错




易错点7　利用导数研究实际问题时忽视定义域致错
13.()某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.




思想方法练
一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用
1.(2020北京清华大学附属中学高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+1.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若存在非零实数a,使得f(x)≥ax-12ax2-12a在x∈[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.






2.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知函数f(x)=cos x+ax2-1.
(1)当a=12时,证明:f(x)≥0;
(2)若f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围.






二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用
3.()设函数f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,若f(x)-f(-x)=2x3,且当x>0时, f'(x)>3x2,则不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1的解集为(　　)
A.(-∞,2) B.12,+∞
C.-∞,12 D.(2,+∞)
4.()定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f'(x)< f(x),且f(x)f(x+2)=-1,若f(2 019)=-e,则不等式f(x)-1,求证: f(x)-g(x)>0.










三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用
6.(2020山东临沂高二上期末,)已知函数f(x)=|lnx|,00;当x∈(2,+∞)时, f'(x)0,a>0,得00且r>0,可得00时,h(x)>h(0)=0,即f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>f(0)=0.
所以f(x)在(0,+∞)上没有零点.
因为f(x)是偶函数,所以f(x)在R上有且只有一个零点.
(ii)若03x2,即F '(x)>0,
∴F(x)在(0,+∞)上为增函数.
不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1可化为f(x)-x3>f(x-1)-(x-1)3,
∴F(x)>F(x-1),
∴F(|x|)>F(|x-1|),
∴由函数的单调性可知|x|>|x-1|,解得x>12.故选B.
4.答案　(1,+∞)
解析　令g(x)=f(x)ex,
则g'(x)=f'(x)-f(x)ex0,故f(x)在-π2,0上单调递增,
所以当x=0时, f(x)max=f(0)=1.
又g'(x)=cos x-2ex,g″(x)=-sin x-2ex,当x∈0,π2时,g″(x)0,h(x)单调递增.
所以当且仅当x=0时,h(x)取得最小值,且最小值为1.
解法一:令k=sinxcosx+2,则kcos x+2k=sin x,即sin x-kcos x=2k,
即sin(x-φ)=2k1+k2(tan φ=k),
由三角函数的有界性,得2k1+k2≤1,即-1≤k≤1,所以kmax=1,
又当x=0时,k=01≥k,
所以exx+1min>sinxcosx+2max,
即exx+1>sinxcosx+2.
综上所述,当x>-1时, f(x)-g(x)>0成立.
解法二:令φ(x)=sinxcosx+2,则φ(x)可看作是点A(cos x,sin x)与点B(-2,0)连线的斜率k',
所以直线AB的方程为y=k'(x+2),
由于点A在圆x2+y2=1上,所以直线AB与圆x2+y2=1相交或相切,
当直线AB与圆x2+y2=1相切且切点在第二象限时,直线AB取得斜率k'的最大值,为1.
又当x=0时,φ(0)=01≥k',所以h(x)min>φ(x)max,即exx+1>sinxcosx+2.
综上所述,当x>-1时, f(x)-g(x)>0成立.
解法三:令φ(x)=sinxcosx+2,
则φ'(x)=1+2cosx(cosx+2)2,
当x=3π4+2kπ(k∈N)时,φ(x)取得最大值1,
又当x=0时,φ(0)=01≥φ(x),
所以h(x)min>φ(x)max,即exx+1>sinxcosx+2.
综上所述,当x>-1时, f(x)-g(x)>0成立.
6.A　根据函数f(x)的解析式可知,函数的图象如下:

要使方程F(x)=f(x)-ax有4个零点,
只需a小于y=ln x在区间[1,e]上的过坐标原点的切线的斜率即可.由y=ln x,得y'=1x,设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),又切线过(0,0),所以-ln x0=1x0(-x0),解得x0=e,
故此时切线的斜率为1x0=1e,故a∈0,1e,结合选项知,选A.
7.答案　{a|a5}
解析　f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)=0,
解得x=-1或x=3.
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘

所以当x=-1时, f(x)有极小值,且极小值为f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值,且极大值为f(3)=a+27.
画出大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),

所以a+270,解得a5.
故实数a的取值范围为{a|a5}.
8.解析　(1)设g(x)=xln x,x>0,则g'(x)=ln x+1.令g'(x)=0,得x=1e,
所以函数g(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,
所以g(x)min=g1e=-1e,所以m=1.
(2)f(x)-ax2=0,则xln x=ax2,因为x>0,所以lnxx=a,
设h(x)=lnxx,则h'(x)=1-lnxx2,令h'(x)=0,得x=e,
所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(e)=1e,由h(1)=0,且当x>e时,h(x)>0,当x→+∞时,h(x)→0,可画出函数y=h(x)的图象,如图,

所以当a>1e时,方程无解;当a=1e或a≤0时,方程有1个解;当0