9、【全国百强校】辽宁省重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版）

这是一份9、【全国百强校】辽宁省重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

【全国百强校】辽宁省重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期末数学试题 12
2019-2020学年度上学期期末考试高一试题

高一数学

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★)设集合U=R,A={x||x|<1},B={x|x2-2x>0}.则阴影部分表示的集合为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.[1,2]
C.(-1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
考向　集合的运算
答案　B
分析　根据Venn图可判断,阴影部分表示的是∁U(A∪B),首先化简解出集合A、B,再求出A∪B,最后根据补集的定义计算可得.
解析　根据Venn图可判断,阴影部分表示的是∁U(A∪B),
∵A={x||x|<1},∴A={x|-1 ∵B={x|x2-2x>0},∴B={x|x>2或x<0},
∴A∪B={x|x>2或x<1},
∴∁U(A∪B)={x|1≤x≤2}=[1,2].
故选B.
点评　本题考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法,集合运算中的并集、补集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.
2.(★)假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标,现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表法抽取样本时,先将500袋牛奶按000,001,…,499进行编号,如果从随机数表第8行第4列的数开始,按三位数连续向右读取.到达行末后,接着从下一行第一个数继续,则最先检验的5袋牛奶的号码是 (　　)
(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)
84421　75331　57245　50688　77047　44767　21763
35025　83921　20676　63016　47859　16955　56719
98105　07185　12867　35807　44395　23879　33211
A.206301169105071
B.164199105071286
C.478169071128358
D.258392120164199
考向　随机数表抽样
答案　D
分析　根据随机数表抽样方法,从第8行第4列开始向右依次读取3个数据,重复的、大于499的去掉后可得.
解析　由题意,根据简单随机抽样的方法,利用随机数表从第8行第4列的数字2开始,则第一个数是258≤499,符合;依次是:392,120,676(剔除),630(剔除),164,785(剔除),916(剔除),955(剔除),567(剔除),199.故最先检验的5袋牛奶的号码是258,392,120,164,199.
故选:D.
点评　本题考查简单随机抽样方法中的随机数表法,关键是会读取随机数表,要准确理解和掌握这种方法.
3.(★★)已知a,b为实数,则“a3 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
考向　充分条件与必要条件的判断　不等式的性质
答案　B
分析　根据充分条件与必要条件的定义,结合不等式的性质、对数函数的性质来判断即可.
解析　∵a3 ∵lga 由a 由0 所以“a3 故选:B.
点评　本题主要考查充分、必要条件的判断,如果P⇒Q且Q⇒P,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗地说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立.”
4.(★★)下列三个不等式中 (　　)
①a+mb+m>ab(a,b,m>0,b>a);②x+3x≥23(x≠0);③ac>bd(a>b>0,d>c>0)
恒成立的个数为 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
考向　不等式性质的应用　基本不等式
答案　B
分析　利用作差法可判断①,利用基本不等式或取特殊值可判断②,根据不等式的性质及作差法可判断③.
解析　对于①,由a,b,m>0,a0,可知a+mb+m>ab恒成立,故①正确.
对于②,当x>0时,x+3x≥2x·3x=23,当且仅当x=3x即x=3时取等号,
当x<0时,x+3x=-(-x)+3-x≤-2(-x)·3-x=-23,当且仅当-x=3-x即x=-3时取等号;
另解:取特殊值法,令x=-1,则x+3x≥23(x≠0)显然不成立,故②错误.
对于③,∵a>b>0,d>c>0,根据正数不等式的同向可乘性得ad>bc,
∴ac-bd=adcd-cbcd=ad-cbcd>0,故③正确.
故正确的有①③.
故选:B.
点评　判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,最好能举出反例或者能证明一定不成立,以培养思维的严谨性.
5.(★★)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是 (　　)
A.45 B.35 C.25 D.15
考向　古典概型
答案　D
分析　根据古典概型的概率公式,列出从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b的所有基本事件,确定满足条件b>a的基本事件的个数,由古典概型的概率公式,即可求解.
解析　据题意从两个集合中各随机选取一个数,共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),15种可能,其中满足b>a的为(1,2),(1,3),(2,3),共3种,由古典概型,可知所求概率为315=15.
故选D.
点评　本题主要考查古典概型的概率公式,对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数,解题的关键是正确列举出所求事件含有的基本事件数和已知事件含有的基本事件总数,正确运用所学公式.
6.(★★)已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)·xm+1为奇函数,则m= (　　)
A.1 B.4 C.1或4 D.2
考向　幂函数的图象和性质
答案　B
分析　根据幂函数的定义可得m2-5m+5=1,求出m的值,然后验证f(x)是否为奇函数,即m+1为奇数是否成立,即可求解.
解析　因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)·xm+1为奇函数,
所以m2-5m+5=1且m+1为奇数,
所以m=4.
故选:B.
点评　本题主要考查幂函数的定义和幂函数的性质,需要注意的是熟练掌握常用基本初等函数的一般表达式是正确解题的关键.
7.(★★)某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图,则该样本的中位数和众数分别是 (　　)
2　　123368
3 124486
4 55577889
5 0011234579
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.46,45 B.45,46 C.46,47 D.47,45
考向　中位数和众数的概念
答案　A
分析　由题目所给茎叶图,根据样本的中位数和众数定义求解即可.
解析　由茎叶图可知,出现次数最多的是数45,将所有数从小到大排列后,中间两数为45,47,故中位数为46,故选A.
点评　本题主要考查众数、中位数求法.要解答本题首先要弄清众数、中位数的定义,然后根据定义和公式求解,(1)中位数,如果样本容量是奇数,中间的数即是中位数,如果样本容量为偶数,中间两个数的平均数即是中位数;(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据.
8.(★★)函数f(x)=xln|x|的大致图象是 (　　)

考向　函数的概念　函数性质的应用
答案　C
分析　先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,图象关于原点对称,排除B选项,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.
解析　因为f(x)=xln|x|,则函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
又因为f(-x)=-xln|-x|=-xln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B项,当0 故选C项.
点评　本题考查函数的图象与性质,可以利用具有奇偶性的函数图象的性质,还可以代入特殊点进行判断,考查推理论证能力.
9.(★★)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是 (　　)
A.7+43 B.7+23
C.6+43 D.6+23
考向　基本不等式的应用
答案　A
分析　根据题意,直接利用基本不等式求a+b的最小值即可.
解析　∵3a+4b>0,ab>0,∴a>0,b>0,
∵log4(3a+4b)=log2ab,∴log4(3a+4b)=log4(ab),
∴3a+4b=ab,a≠4,a>0,b>0,
∴b=3aa-4>0,
∴a>4,
则a+b=a+3aa-4=a+3(a-4)+12a-4=(a-4)+12a-4+7≥2(a-4)·12a-4+7=43+7,
当且仅当a-4=12a-4,即a=4+23时取等号.
所以A选项是正确的.
点评　本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
10.(★★)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考向　函数零点的概念
答案　B
分析　函数的零点个数转化为方程3x|log2x|-1=0的解的个数,转化为函数y=|log2x|与y=13x图象的交点个数,数形结合即可解得.
解析　函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数,即方程3x|log2x|-1=0的解的个数,
即|log2x|=13x的解的个数,转化为函数y=|log2x|与y=13x图象的交点的个数,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=|log2x|与y=13x的图象,如下所示:

从函数图象可知,y=|log2x|与y=13x有两个交点,即方程3x|log2x|-1=0有两个实数根,即函数f(x)=3x|log2x|-1有两个零点,
故选:B.
点评　本题考查函数与方程的应用,题中把一个函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题,转化为研究两个函数图象交点的问题,注意转化的原则是尽可能转化后的两个函数都是基本初等函数或者由基本初等函数经过简单的变换可以得到,体现了函数与方程思想及数形结合思想的运用.
11.(★★★)已知在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,若BC=3CD,点O在线段CD上,若AO=tAB+(1-t)AC,则实数t的取值范围为 (　　)
A.-13≤t≤0 B.1≤t≤43
C.-13≤t≤13 D.0≤t≤13
考向　平面向量的线性运算　平面向量基本定理
答案　A
分析　如图设CO=λCD,λ∈[0,1],则AO=-λ3AB+1+λ3AC,即可得到t=-λ3,从而求出参数t的取值范围.
解析　如图设CO=λCD,λ∈[0,1],

∵BC=3CD,
∴CO=λ3BC,
则AO=AB+BO=AB+1+λ3(AC-AB)
=-λ3AB+1+λ3AC.
又∵AO=tAB+(1-t)AC,
∴t=-λ3,
∵λ∈[0,1],
∴t∈-13,0.
故选:A.
点评　本题考查向量的线性运算和向量基本定理的应用.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
12.(★★★)设f(x)=||x-1|-1|,关于x的方程[f(x)]2+k·f(x)+1=0,给出下列四个命题,其中假命题的个数是 (　　)
①存在实数k,使得方程恰有3个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数k,使得方程恰有6个不同的实根.
A.0 B.1 C.2 D.3
考向　函数的概念　函数与方程的应用
答案　C
分析　先作出函数f(x)=||x-1|-1|的图象,令x2+kx+1=0,对根的判别式分类讨论结合图象即可得解.
解析　由f(x)=||x-1|-1|,可作函数f(x)的图象如下图所示:

令x2+kx+1=0,则Δ=k2-4.
(1)当Δ=k2-4=0时,解得k=2或k=-2.
当k=-2时,由x2+kx+1=0解得x=1,由图可知,存在3个不同的实数使得f(x)=1,
即方程[f(x)]2+k·f(x)+1=0有3个不同的实数根;
当k=2时,由x2+kx+1=0解得x=-1,由图可知,不存在实数使得f(x)=-1,即方程[f(x)]2+k·f(x)+1=0无实数根.
(2)当Δ=k2-4>0时,解得k>2或k<-2,
当k>2时,方程x2+kx+1=0有两不相等的实数根,设为x1,x2,
则x1+x2=-k<0,x1x2=1,
∴x1,x2均为负数,由函数图象知f(x)≥0,故不存在实数使得f(x)<0,即方程[f(x)]2+k·f(x)+1=0无实数根;
当k<-2时,方程x2+kx+1=0有两不相等的实数根,设为x1,x2,
则x1+x2=-k>0,x1x2=1,
∴x1,x2均为正数且x1=1x2,
设x2>1则01,
存在4个不同的实数使得0 即方程[f(x)]2+k·f(x)+1=0有6个不同的实数根.
(3)当Δ=k2-4<0时,方程无解,则方程[f(x)]2+k·f(x)+1=0无实数根.
综上可得正确的命题有①④,错误的命题有②③.
故选:C.
点评　本题主要考查了函数概念的应用以及函数与方程的关系,把求方程的根的个数问题转化为研究函数图象交点的个数,体现了数形结合的思想方法,通过数形结合增强了解题的直观性,降低了试题的难度,可以培养学生直观想象的核心素养.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(★★)已知5a=3,log54=b,用a,b表示log12536=　　　　. 
考向　对数的运算性质
答案　b+2a3
分析　根据对数的运算性质,进行计算即可得结果.
解析　∵5a=3,∴log53=a,又∵log54=b,∴log52=b2,
∴log12536=log5362=23log56=23log5(2×3)=23(log52+log53)=23b2+a=b+2a3.
故答案为:b+2a3.
点评　本题考查对数的运算性质以及对数换底公式,要熟练掌握:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.对数的换底公式:logab=logcblogca,由对数的换底公式得到的性质:logab=1logba,logambn=nmlogab.
14.(★★)某次调查的200个数据的频率分布直方图如下图所示,则在[50,70)内的数据大约有　　　　个. 

考向　频率分布直方图
答案　140
分析　首先根据频率分布直方图计算出[50,70)的频率,再根据频数等于样本容量乘频率即可得解.
解析　[50,70)的频率为:(0.03+0.04)×10=0.7,
故在[50,70)内的频数为:0.7×200=140.
故答案为:140.
点评　本题考查频率分布直方图的相关知识,需要注意频率分布直方图的纵坐标为频率组距,这也是易错点.
15.(★★★)如图,已知|OA|=1,|OB|=2,|OC|=3,OC⊥OB,∠AOC=30°,若OC=xOA+yOB,则x+y=　　　　. 

考向　平面向量的数量积
答案　52
分析　根据已知条件以及数量积的定义,先求出OC·OA,OA·OB,OC·OB的值,将OC=xOA+yOB两边分别乘OB,OA得到关于x,y的方程组即可解得.
解析　∵OC⊥OB,∠AOC=30°,∴OC·OB=0,∠AOB=120°.
∵|OA|=1,|OB|=2,|OC|=3,
∴OC·OA=|OC||OA|cos∠AOC=1×3×32=32,
∴OB·OA=|OB||OA|cos∠AOB=1×2×-12=-1,
∵OC=xOA+yOB两边分别乘OB,OA得
OC·OB=(xOA+yOB)·OB,OC·OA=(xOA+yOB)·OA,
即0=xOA·OB+yOB2,OC·OA=xOA2+yOB·OA,
∴0=-x+4y,32=x-y,解得x=2,y=12,
∴x+y=12+2=52.
故答案为:52.
点评　本题考查向量垂直的充要条件,向量夹角的概念,向量的数量积的运算,以及方程思想的运用.
16.(★★★)已知实数a,b,c满足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b的取值范围是　　　　. 
考向　一元二次方程根的判断　基本不等式应用
答案　[1,5]
分析　解法一:利用基本不等式ac≤(a+c)24将题设中的条件转化为关于b的不等式,解不等式即可;
解法二:利用题设中的条件,消去参数a,得到关于c的一元二次方程(其中b为参数),根据方程有解得到关于b的不等式,解不等式即可.
解析　解法一:∵a+b+c=9,∴a+c=9-b,
又∵ab+bc+ca=(a+c)b+ac=24,∴ac=24-(a+c)b,
∵ac≤(a+c)24,∴24-(a+c)b≤(a+c)24,∴24-(9-b)b≤(9-b)24,
整理得b2-6b+5≤0,解得1≤b≤5.
解法二:依题意,a=9-b-c,代入ab+bc+ca=24得(9-b-c)b+bc+c(9-b-c)=24,
整理得c2+(b-9)c+b2-9b+24=0在实数范围内有解,即
Δ=(b-9)2-4(b2-9b+24)=-3b2+18b-15≥0,解得1≤b≤5.
故答案[1,5].
点评　本题考查基本不等式的应用以及一元二次方程根的判断,关键是能够利用基本不等式或者代数式变形转化为关于b的一元二次不等式;不等式中常考性质有a2+b2≥2ab,a+b≥2ab(a>0,b>0),ab≤a+b22≤a2+b22,体现了转化与化归的数学思想.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(★★)已知集合A={x|(x-a)(x-a+1)≤0},B={x|x2+x-2<0}.
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)设命题p:∃x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m>8,若命题p为假命题,求实数m的取值范围.
考向　集合的概念　充分条件与必要条件的应用　命题的否定
分析　(1)首先通过解一元二次不等式求出集合A、B,再根据集合的包含关系得到不等式组,解得;
(2)命题p为假命题,则¬p为真命题,再根据二次函数的性质即可得解.
解析　(1)∵A={x|(x-a)(x-a+1)≤0}={x|a-1≤x≤a},B={x|x2+x-2<0}={x|-2 ∵x∈A是x∈B的充分不必要条件,
∴A⫋B,
∴a-1>-2,a<1,解得-1 (2)因为命题p:∃x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m>8为假命题,
∴¬p:∀x∈B,x2+(2m+1)x+m2-m≤8为真命题,
设g(x)=x2+(2m+1)x+m2-m-8,
则g(-2)≤0,g(1)≤0,解得:-1≤m≤6,-3≤m≤2,
所以-1≤m≤2.
点评　本题考查集合的概念、充分必要条件的判断,把题中所给条件正确转化为集合之间的包含关系是解题的关键,对于有关不等式充分必要条件的判断与集合之间的包含关系转化:条件P表示的不等式记为集合A,条件Q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗地说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立”,如果A=B,则P是Q的充要条件;根据命题真假求参数的取值范围,当命题p为假命题的条件不容易使用时,可以转化为¬p为真命题使用.
18.(★★)地震是一种自然现象,地震的震级是由震波最大振幅来确定的,震级单位是“里氏”,通常用字母M表示,其计算公式为:M=lgAA0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差),例如:用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅.
(1)若一次地震中的最大振幅是50,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)2008年5月12日,我国汶川发生了8.0级地震;2011年3月11日在日本东北部太平洋海域发生了9.0级地震.试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍.(以下数据供参考:lg2≈0.3010)
考向　对数函数的运算性质
分析　(1)把最大振幅和标准振幅直接代入公式M=lgAA0,根据对数的运算性质,计算求解;
(2)利用对数式和指数式的互化由M=lgAA0得A=A0·10M,把M=8.0和M=9.0分别代入公式,作商比较后即可得到答案.
解析　(1)根据题意,M=lg500.001=lg50000=lg1000002=5-lg2≈4.7.
因此,这次地震的震级约为里氏4.7级.
(2)由M=lgAA0可得,A=A0·10M,
当M=8.0时,地震的最大振幅为A8.0=A0·108.0,
当M=9.0时,地震的最大振幅为A9.0=A0·109.0,
所以,两次地震的最大振幅之比是:A9.0A8.0=A0·109.0A0·108.0=10,
所以9.0级地震的最大振幅约为8.0级地震的最大振幅的10倍.
点评　本题考查了函数模型的选择与应用,训练了对数式和指数式的互化,解答的关键是对题意的理解,一定要熟练掌握对数的运算性质,如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM;(4)alogaN=N.
19.(★★)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足c=ma+nb的实数m,n;
(2)设d=(x,y),满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求向量d.
考向　平面向量的坐标运算
分析　(1)根据c=ma+nb即可得出(4,1)=(3m-n,2m+2n),从而得出3m-n=4,2m+2n=1,解出m,n即可;(2)根据(d-c)∥(a+b),|d-c|=1,得到关于x,y的方程组,解方程组即可.
解析　(1)∵a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),且c=ma+nb,
∴(4,1)=(3m-n,2m+2n),
∴3m-n=4,2m+2n=1,∴m=98,n=-58.
(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b),|d-c|=1,
∴4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1,解得x=4+55,y=1+255或x=4-55,y=1-255,
所以d=4+55,1+255或d=4-55,1-255.
点评　本题考查了向量坐标的加法和数乘运算,平行向量的坐标关系,根据向量的坐标求向量长度的方法,要熟记这些公式,考查了计算能力.
20.(★★)某中学为了丰富学生的业余生活,开展了一系列文体活动,其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛,现有甲乙两队进行比赛,甲队每场获胜的概率为25,且各场比赛互不影响.
(1)若采用三局两胜制进行比赛,求甲队获胜的概率;
(2)若采用五局三胜制进行比赛,求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.
考向　相互独立事件的概率计算
分析　(1)三局两胜制甲队获胜,则包括三个基本事件:甲胜前两场比赛;第一(或二)场比赛甲输了,其他两场比赛胜了.根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.
(2)五局三胜制,乙队在第四场比赛后即获得胜利,即第四场比赛乙胜,前三场比赛乙胜了两场比赛,根据相互独立事件的概率公式计算可得.
解析　设Ai(i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获胜.
(1)由题意,若采用三局两胜制进行比赛,甲队获胜的情况包括:2∶0获胜与2∶1获胜,
所求概率为:P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=252+35×252×2=44125.
(2)由题意,若采用五局三胜制进行比赛,乙队在第四场比赛后即获得胜利,即前三场比赛乙队获胜两场,第四场比赛乙队获胜,
所求概率为:P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=25×353×3=162625.
点评　本题考查相互独立事件的概率计算问题,体现了分类讨论数学思想的应用.
21.(★★)已知函数f(x)=2x-12|x|.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若f(2x)+mf(x)≥0对于x∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
考向　函数的单调性　指数幂的运算性质
分析　(1)根据函数f(x)=2x-12|x|,由f(x)=2直接计算可得;
(2)依题意可得(2x)2-12x2+m2x-12x≥0,化简整理得到2x+12x+m≥0,设g(x)=2x+12x,证明函数的单调性即可得到函数的最值,从而得到参数的取值范围.
解析　(1)因为f(x)=2x-12|x|=0,x≤0,2x-12x,x>0,
所以2x-12x=2(x>0),即(2x)2-2·2x-1=0.又当x>0时,2x>1,解得2x=1+2,
所以x=log2(1+2).
(2)当x∈[1,2]时,f(x)=2x-12x为增函数,所以f(x)≥f(1)=32>0.
因为f(2x)+mf(x)≥0,所以(2x)2-12x2+m2x-12x≥0,
即2x-12x2x+12x+m2x-12x≥0,整理得2x-12x·2x+12x+m≥0,
∵2x-12x>0,∴2x+12x+m≥0,
∴2x+12x≥-m,
设g(x)=2x+12x,
任取x1,x2∈[1,2],且x1 则g(x1)-g(x2)=2x1+12x1-2x2-12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)+2x2-2x12x1·2x2=(2x1-2x2)1-12x1·2x2=(2x1-2x2)·2x1·2x2-12x1·2x2=(2x1-2x2)·2x1+x2-12x1·2x2.
因为y=2x是增函数,所以2x1<2x2,所以2x1-2x2<0,
又因为x1,x2∈[1,2],所以2x2+x1-1>0,2x1·2x2>0,
所以(2x1-2x2)·2x1+x2-12x1·2x2<0,所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1) 所以g(x)=2x+12x在区间[1,2]上单调递增,所以g(x)≥g(1)=52,
又因为f(2x)+mf(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,所以52≥-m,
即m∈-52,+∞.
点评　本题考查已知函数值求自变量的值,利用函数单调性的定义证明函数单调性以及不等式恒成立问题.不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:常用“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.
22.(★★★)已知y=f(x)是y=2x的反函数.
(1)若在区间[1,2]上存在x0使得方程f(ax02-4x0)=2成立,求实数a的取值范围;
(2)设b>0,若对∀t∈12,32,函数g(x)=f(bx+1)-f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求b的取值范围.
考向　函数的单调性　二次函数的性质　对数的运算性质
分析　(1)根据反函数的定义求出f(x)的解析式,从而得到方程,参变分离,再根据二次函数的性质求出参数的取值范围;
(2)由题意g(t)-g(t+1)=log21t+b-log21t+1+b≤1,即bt2+(b+1)t-1≥0对任意t∈12,32恒成立,再根据二次函数的性质求出参数的取值范围.
解析　(1)由题知f(x)=log2x.
由f(ax02-4x0)=2得log2(ax02-4x0)=2=log24,即ax02-4x0=4,
∴a=4+4x0x02=4x02+4x0=41x0+122-1.
∵x0∈[1,2],
∴1x0∈12,1.
∴函数h(x)=4x+122-1在12,1上单调递增,h12=3,h(1)=8,
∴h(x)∈[3,8],
∴a∈[3,8].
(2)由题可知,g(x)=f(bx+1)-f(x)=log2(bx+1)-log2x=log2bx+1x=log21x+b.
当01x2+b,∴log21x1+b>log21x2+b,
∴y=g(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴g(t)-g(t+1)=log21t+b-log21t+1+b≤1,
∴log21t+b≤log21t+1+b+1=log221t+1+b,
∴1t+b≤21t+1+b对任意t∈12,32恒成立,
即bt2+(b+1)t-1≥0对任意t∈12,32恒成立.
∵b>0,y=bt2+(b+1)t-1的图象为开口向上,且对称轴为t=-b+12b<0的抛物线,
∴y=bt2+(b+1)t-1在区间12,32上单调递增.
∴t=12时,ymin=34b-12,
由34b-12≥0,得b≥23.
点评　本题主要考查了反函数的概念、函数恒成立问题以及二次函数性质的应用.恒成立问题多需要转化,常用的转化方法即“参变分离”,通过“参变分离”转化为求函数的最值问题,因为只有通过转化才能使恒成立问题得到简化.转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用,同时转化过程更体现了等价的意识和要求.