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8、辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版）
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这是一份8、辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试题（教师版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 11
2019-2020学年高一上学期期末检测
高一数学
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★)已知集合M={x|-1
A.{x|1
答案 B
分析 化简集合N,根据交集的定义直接求出M∩N即可.
解析 因为M={x|-1
故选:B.
点评 本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.
2.(★)已知p:x=-5,q:x2+2x-15=0,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考向 充分条件与必要条件的判断 解一元二次方程
答案 A
分析 先通过解一元二次方程对条件进行化简,然后利用充分性和必要性的定义来判断即可.
解析 因为x2+2x-15=(x-3)(x+5)=0,所以x=3或x=-5.
由x=-5可以推出(x-3)(x+5)=0;反之,不成立.
故选:A.
点评 本题主要考查充分必要条件的判断,如果P⇒Q且Q⇒P,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗地说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立.”
3.(★★)函数f(x)=2x-1x的零点所在区间为 ( )
A.0,13 B.13,12
C.12,1 D.(1,2)
考向 函数零点的概念 二分法的应用
答案 C
分析 方法一:首先分析函数在定义域上的单调性,然后根据零点存在性定理可判断出该函数零点所在的区间;方法二:令函数f(x)=0得到2x=1x,转化为两个简单基本函数g(x)=2x,h(x)=1x,然后在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,进而可得答案.
解析 方法一:因为函数f(x)=2x-1x在(0,+∞)上为增函数,
所以,函数f(x)=2x-1x在(0,+∞)上至多有一个零点,
因为f13=213-3=32-3<0,f12=212-2=2-2<0,f(1)=21-1>0,
所以由零点存在性定理可知,在区间12,1内函数f(x)=2x-1x存在一个零点.
方法二:令f(x)=2x-1x=0,可得2x=1x,
再令g(x)=2x,h(x)=1x,
在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,
可知g(x)图象与h(x)图象的交点横坐标在12,1内,
从而函数f(x)的零点在12,1内,
故选C.
点评 本题主要考查函数零点的存在性定理的应用:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根;也可以将求函数零点问题转化为求两个函数图象的交点问题,一般转化的原则是将已知函数转化为两个基本初等函数,考查数形结合思想.
4.(★★)若幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm2-2m在(0,+∞)上为减函数,则m= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
考向 幂函数的图象和性质
答案 C
分析 根据幂函数的定义可得m2+2m-2=1,求出m的值,然后验证f(x)在(0,+∞)上是否为减函数,即m2-2m<0是否成立,即可求解.
解析 由已知m2+2m-2=1,解得m=-3或m=1.
当m=-3时,f(x)=x15在(0,+∞)上为增函数,不符合题意;
当m=1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,符合题意.
故选:C.
点评 本题主要考查幂函数的定义和幂函数的性质,熟练掌握常用基本初等函数的一般表达式是正确解题的关键.
5.(★★)已知a1b-c
考向 不等式性质的应用
答案 D
分析 通过取特殊值举反例或利用不等式的基本性质,逐一分析每个选项即可得出结论.
解析 对于选项A,当c=0时,ac2=bc2,故错误;
对于选项B,若b=3,c=4,则b2>c,故错误;
对于选项C,虽有b1b-c,故正确.
故选D.
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,最好能举出反例或者能证明一定不成立,以培养思维的严谨性.
6.(★★)甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则( )
A.甲得分的平均数比乙的大
B.乙的成绩更稳定
C.甲得分的中位数比乙的大
D.甲的成绩更稳定
考向 均值和方差的计算
答案 B
分析 根据图形中的数据,可求出甲乙的平均数、中位数,分析数据的离散程度,确定方差大小,然后对选项进行判断即可.
解析 根据平均数的计算公式得,甲、乙得分的平均数均为13,中位数均为13,
根据五次某项测试成绩结果可以看出,甲的五次某项测试成绩比较分散,而乙五次某项测试成绩比较集中,由方差计算公式可知,甲得分的方差明显比乙大,所以乙的成绩更稳定,或者直接由图得乙的成绩更稳定.
故选:B.
点评 本题主要考查了方差、平均数的概念,准确理解这些概念并熟记这些公式,掌握数据的处理以及数据的分析.
7.(★★)已知a=log52,b=log0.91.1,c=20.9,则 ( )
A.a
答案 B
分析 根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的图象和性质知,因为0
点评 本题考查函数值大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质.对于底数不同、指数不同,真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性,则可以借助中间量比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较, 渗透了直观想象和数学运算的核心素养.
8.(★)为了检验某厂生产的取暖器是否合格,先从500台取暖器中取50台进行检验,用随机数表抽取样本,将500台取暖器编号为001,002,…,500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据:
8242175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据,则抽出第4台取暖器的编号为 ( )
A.217 B.206 C.245 D.212
考向 随机数表抽样
答案 B
分析 根据随机数表抽样方法,从第7行第4列开始向右依次读取3个数据,重复的去掉后可得.
解析 由题意,根据简单随机抽样的方法,利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取,依次为217,157,245,217,206,由于217重复,所以第4台取暖器的编号为206.
故选B.
点评 本题考查简单随机抽样方法中的随机数表,要准确理解和掌握这种方法.
9.(★★)函数f(x)=(x3+2x)ln|x|的部分图象大致为 ( )
考向 函数的概念 函数性质的应用
答案 C
分析 先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B选项,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.
解析 因为函数f(x)=(x3+2x)ln|x|,则函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=[(-x)3+2(-x)]ln|-x|=-(x3+2x)ln|x|=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A和B,当01时,f(x)>0,排除D,只有C选项适合,所以C正确.
故选C.
点评 本题考查函数的图象与性质,可以利用具有奇偶性的函数图象的性质,还可以代入特殊点进行判断,考查推理论证能力.
10.(★★)已知函数f(x)=-43x2+ax+53,若f(x)≥0在[-1,1]上恒成立,则a的取值范围是 ( )
A.-13,13 B.-1,-13
C.[-1,1] D.-1,13
考向 函数的概念 函数的性质
答案 A
分析 根据二次函数的图象和性质可得,函数f(x)=-43x2+ax+53的图象开口向下,f(x)≥0在[-1,1]上恒成立,则抛物线在[-1,1]间的部分都在x轴上方或在x轴上,只需最低点,即区间的两个端点满足即可,可得f(-1)≥0,f(1)≥0,求解即可得出结论.
解析 根据二次函数的图象和性质可得,函数f(x)=-43x2+ax+53的图象开口向下,
因为f(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
所以f(1)=-43+a+53≥0,f(-1)=-43-a+53≥0,解得-13≤a≤13.
故选:A.
点评 不等式在给定区间内恒成立,转为为二次函数图象特征,合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键,本题着重考查了分析问题、解决问题的能力,以及数形结合思想.
11.(★★★)在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,满足BE=4EA,AF=3FD,连接EF交AC于点M,若AM=2λAB-3μAC,则5λ-192μ= ( )
A.-32 B.1 C.12 D.-3
考向 平面向量的线性运算 平面向量基本定理
答案 C
分析 由AC=AB+AD,AM=2λAB-3μAC,将AM用向量AB,AD表示,再由BE=4EA,AF=3FD,把向量AM用向量AE,AF表示,根据E,F,M三点共线的关系式特征,即可求得结论.
解析 因为AC=AB+AD,所以AM=2λAB-3μAC=2λAB-3μ(AB+AD)=(2λ-3μ)AB-3μAD.
又因为BE=4EA,AF=3FD,得AB=5AE,AD=43AF,
所以AM=5(2λ-3μ)AE-4μAF.
因为E,F,M三点共线,所以5(2λ-3μ)-4μ=1,10λ-19μ=1,
所以5λ-192μ=12.
故选C.
点评 本题考查向量的线性运算和向量基本定理的应用,考查三点共线的向量结构特征:①直线的向量式参数方程,A,P,B三点共线⇔OP=(1-t)OA+tOB(O为平面内任一点,t∈R);②OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C,三点共线,则λ+μ=1,注意体会并掌握.
12.(★★★)已知函数f(x),g(x)的图象分别如图1,2所示,方程f(g(x))=1,g(f(x))=-1,g(g(x))=-12的实根个数分别为a,b,c,则 ( )
A.a+b=c B.b+c=a
C.ab=c D.ab=c
考向 函数的概念 函数与方程的应用
答案 A
分析 结合函数图象可知方程根的个数,根据方程根的个数确定a,b,c的值,即可求解.
解析 由方程f(g(x))=1,可得g(x)=m(-1
所以方程f(g(x))=1有4个实根,则a=4.
由方程g(f(x))=-1,可得f(x)=1或f(x)=-1.
所以方程g(f(x))=-1有2个实根,则b=2.
由方程g(g(x))=-12,可得g(x)=x1-32
所以方程g(g(x))=-12有6个实根,则c=6.
故a+b=c,
故选:A.
点评 本题主要考查了函数概念的应用以及函数与方程的关系,把求方程的根的个数问题转化为研究函数图象交点的个数问题,体现了数形结合的思想方法,通过数形结合增强了解题的直观性,降低了试题的难度,可以培养学生直观想象的核心素养.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)若x>0,则f(x)=4x+19x的最小值为 .
考向 基本不等式的应用
答案 43
分析 根据题意,直接利用基本不等式求函数的最小值即可.
解析 ∵x>0,∴f(x)=4x+19x≥24x·19x=43当且仅当4x=19x即x=16时,取“=”号,
∴当x=16时,f(x)最小值为43.
故答案为43.
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
14.(★★)抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),事件A为“正面朝上的点数为3”,事件B为“正面朝上的点数为偶数”,则P(A+B)= .
考向 古典概型
答案 23
分析 根据古典概型的概率公式,分别求出事件A,B发生的概率,再根据事件A与事件B互斥,由互斥事件概率公式,即可求解.
解析 根据古典概型的概率公式可得P(A)=16,P(B)=12,
因为事件A与事件B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=23.
故答案为:23.
点评 本题主要考查古典概型的概率公式以及互斥事件发生的概率公式,对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数,解题的关键是判断出事件间的关系,正确运用所学公式.
15.(★★)已知向量a=(m,-6),b=(-4,3),若a∥b,则|a|= .
考向 平面向量的坐标运算
答案 10
分析 根据平面向量平行的坐标表示,求出m的值,再由模长的坐标公式,即可求解.
解析 因为a∥b,所以3m=24,即m=8,
所以|a|=64+36=10.
故答案为:10.
点评 本题主要考查向量的坐标运算,涉及平行向量、模长的坐标运算公式,一定要熟记这些公式.
16.(★★★)设函数f(x)=log2(1+x2-x),若对任意的x∈(-1,+∞),不等式f(x-lna)+f(2x+4)<0恒成立,则a的取值范围是 .
考向 函数的奇偶性 对数的运算性质 函数的单调性
答案 (0,e]
分析 先证明函数f(x)为奇函数,根据(1+x2-x)(1+x2+x)=1,结合对数运算法则可得f(x)=-log2(1+x2+x),根据复合函数的单调性,可判断f(x)=-log2(1+x2+x)在[0,+∞)上为减函数,再结合奇偶性和f(x)在x=0处连续,可得f(x)在R上为减函数,利用函数f(x)的奇偶性、单调性脱去“f”,于是f(x-lna)+f(2x+4)<0等价转化为f(x-lna)-2x-4,即对任意的x∈(-1,+∞),lna<3x+4恒成立, 从而有lna≤1,即可求解.
解析 由题可知,函数f(x)定义域为R,
又因为f(-x)=log2(1+x2+x)=log2(1+x2-x)-1=-f(x),
所以f(x)为奇函数,且f(x)=-log2(1+x2+x).
又因为函数g(x)=1+x2+x在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x)=-log2(1+x2+x)在[0,+∞)上为减函数,
又因为函数f(x)定义域为R,从而f(x)在R上为减函数.
于是f(x-lna)+f(2x+4)<0等价于
f(x-lna)<-f(2x+4)=f(-2x-4),
等价于x-lna>-2x-4,即lna<3x+4,所以lna<3x+4对任意的x∈(-1,+∞)恒成立.
因为x∈(-1,+∞),所以3x+4>1,所以lna≤1,
解得0
点评 本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性脱去“f”得到关于x的不等式,转化为不等式恒成立问题,不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.
三、解答题(本大题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)
17.(★★)设集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|2-a≤x≤2a+1,a∈R},C={x|-3
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
考向 集合的运算 一元二次不等式的解法
分析 (1)通过解一元二次不等式化简集合A,求出A的补集,再根据交集的定义运算即可;
(2)由A∪B=A得到B⊆A,由集合的包含关系列出关于a的不等式组可求解,注意讨论B为空集的情形.
解析 (1)∵x2-3x-10<0,∴(x-5)(x+2)<0,解得-2
(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.
当B=⌀时,2-a>2a+1,∴a<13.
当B≠⌀时,依题意得2-a≤2a+1,2a+1<5,2-a>-2,解得13≤a<2,
综上所述,a的取值范围是(-∞,2).
点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,将题设条件转化为含参数的不等式,体现了转化与化归的数学思想方法,解题过程中,注意对空集的讨论,这也是易错点.
18.(★★)在直角坐标系中,O为坐标原点,OA=(3,1),OB=(2,-1),OC=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;
(2)若AC=-3AB,求点C的坐标.
考向 平面向量的坐标运算
分析 (1)根据平面向量的坐标运算,求出AB,AC的坐标,再由共线向量的坐标关系,即可得出a,b关系;(2)根据向量相等的坐标关系,得到关于a,b的方程组,求解,即可得出结论.
解析 由题意知,AB=OB-OA=(2,-1)-(3,1)=(-1,-2),
AC=OC-OA=(a,b)-(3,1)=(a-3,b-1).
(1)因为A,B,C三点共线,所以AB∥AC,
所以-(b-1)-(-2)×(a-3)=0,
所以b=2a-5.
(2)因为AC=-3AB,
所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6),
所以a-3=3,b-1=6,解得a=6,b=7,
所以点C的坐标为(6,7).
点评 本题考查向量的坐标运算,涉及共线向量和相等向量的坐标关系,要熟记这些公式.
19.(★★)为了了解学生的学习情况,一次测试中,科任老师从本班中抽取了n个学生的成绩(满分100分,且抽取的学生成绩均在[40,100]内)进行统计分析.按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图和频数分布表.
频数分布表
[40,50)
x
[50,60)
4
[60,70)
10
[70,80)
12
[80,90)
8
[90,100]
4
(1)求n,a,x的值;
(2)在选取的样本中,从低于60分的学生中随机抽取两名学生,试问这两名学生在同一组的概率是多少?
考向 频率分布直方图 古典概型
分析 (1)根据频数和频率的关系,求出样本容量n,由频数分布表求出[50,60)的频率,即可求出a,再由样本容量n,求出x;
(2)[40,50),[50,60)两组中的学生人数分别为2,4,将6人按组编号,列出从6人中抽取2人的所有基本事件,确定满足条件的基本事件的个数,由古典概型的概率公式,即可求解.
解析 (1)由题意知,样本容量n=100.025×10=40,a=440×10=0.01,
又x+4+10+12+8+4=40,解得x=2.
(2)由频数分布表可知[40,50),[50,60)两组中的学生人数分别为2,4,
将[40,50)组中的学生标记为A,B,[50,60)组中的学生标记为a,b,c,d.
在这两组中的学生中随机抽2名学生有如下情形:
(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有15个基本事件.
其中两名学生在同一组的情形:(A,B),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有7个基本事件.
即这两名学生在同一组的概率为715.
点评 本题考查频率分布直方图、频数分布表的相关知识及古典概型的概率问题,需要注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距,这也是易错点.
20.(★★)已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).
(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;
(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.
考向 函数的奇偶性 对数函数的性质
分析 (1)根据偶函数的定义,求出a=0,得f(x)=ln(2x2+3),验证定义域是否关于原点对称,求出真数的范围,再由对数函数的单调性,即可求出值域;
(2)u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu,由复合函数单调性的规律可得,u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,根据二次函数的单调性,得出参数a的不等式,即可求解.
解析 (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(x)=f(-x),
又f(x)=ln(2x2+ax+3),
所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,
此时,f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.
令t=2x2+3,则t≥3,
所以lnt≥ln3,故f(x)的值域为[ln3,+∞).
(2)设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.
因为f(x)在[-3,1]上是减函数,g(u)=lnu在(0,+∞)上是增函数,
所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,
且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,
故-a4≥1且u(x)min=u(1)=5+a>0,
解得-5
21.(★★)某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个工艺品的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,需有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点)
考向 函数的应用 指数幂的运算
分析 (1)由日销售量m(单位:个)与10-x成正比,设m=k·10-x,x∈[26,32],根据条件求出k=1032,再由y=m(x-20-n),即可求出函数关系式;
(2)当n=5时,结合(1)中的函数关系可得x-25=10x-26,观察可得x=26是方程的解,再由条件可知方程在[26,32]上有且只有一个解,即可求得结论.
解析 (1)设m=k·10-x=k10x,x∈[26,32],
当x=29时,m=1000,则k=1032,
所以m=103210x=1032-x,x∈[26,32],
所以y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,x∈[26,32],x∈N.
(2)当n=5时,y=(x-25)1032-x=100×104=106,
整理得x-25=10x-26.
因为函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,
所以x=26是方程x-25=10x-26唯一的根,
所以销售单价为26元.
点评 本题考查函数的应用问题,利用待定系数法求函数解析式,需要掌握常用基本初等函数的一般表达式;考查函数与方程的关系,要注意解方程的特殊方法的应用.
22.(★★★)已知函数f(x)=(t2-2t-2)ex-1ex是定义域为R的奇函数.
(1)求t的值,并写出f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)若函数g(x)=e2x+1e2x-2kf(x)在[0,+∞)上的最小值为-2,求k的值.
考向 函数的单调性 函数的奇偶性 指数幂的运算性质
分析 (1)f(x)是定义域为R的奇函数,利用奇函数的必要条件f(0)=0,求出t的值,进而求出f(x),验证f(x)是否为奇函数;
(2)可判断f(x)在R上为增函数,用函数单调性的定义加以证明即可;
(3)由g(x)=e2x+1e2x-2kex-1ex=ex-1ex2-2kex-1ex+2,换元令u=f(x)=ex-1ex,x≥0,则h(u)=u2-2ku+2,由(2)得u≥f(0)=0,根据条件转化为h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值为-2,对二次函数h(u)配方,求出对称轴,分类讨论求出最小值,即可求解.
解析 (1)因为f(x)=(t2-2t-2)ex-1ex是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,即f(0)=t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1,
当t=3或t=-1时,可得f(x)=ex-1ex,此时满足f(-x)=-f(x),
所以t=3或t=-1,f(x)=ex-1ex.
(2)f(x)在R上单调递增.
证明如下:设任意的x1,x2∈R,x1
因为x1
(3)由(1)可知g(x)=e2x+1e2x-2kex-1ex=ex-1ex2-2kex-1ex+2,
令u=f(x)=ex-1ex,则h(u)=u2-2ku+2,
因为f(x)是增函数,且x≥0,所以u≥f(0)=0.
因为g(x)=e2x+1e2x-2kf(x)在x∈[0,+∞)上的最小值为-2,
所以h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值为-2.
因为h(u)=u2-2ku+2=(u-k)2+2-k2,
所以当k≥0时,h(u)min=h(k)=2-k2=-2,
解得k=2或k=-2(舍去);
当k<0时,h(u)min=h(0)=k2+2-k2=2≠-2,不合题意,舍去.
综上可知,k=2.
点评 本题考查利用函数的奇偶性求参数的值,需要注意的是定义在R上的奇函数,f(0)=0是函数为奇函数的必要条件,求得的参数需要经过验证;本题还考查应用单调性定义证明函数的单调性,考查复合函数的最值问题,使用换元方法,需要注意换元的等价性,通过换元将问题化归为二次函数的最值问题,再分类讨论,体现了转化与化归、分类讨论的数学思想.
辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 11
2019-2020学年高一上学期期末检测
高一数学
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(★)已知集合M={x|-1
A.{x|1
答案 B
分析 化简集合N,根据交集的定义直接求出M∩N即可.
解析 因为M={x|-1
故选:B.
点评 本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.
2.(★)已知p:x=-5,q:x2+2x-15=0,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考向 充分条件与必要条件的判断 解一元二次方程
答案 A
分析 先通过解一元二次方程对条件进行化简,然后利用充分性和必要性的定义来判断即可.
解析 因为x2+2x-15=(x-3)(x+5)=0,所以x=3或x=-5.
由x=-5可以推出(x-3)(x+5)=0;反之,不成立.
故选:A.
点评 本题主要考查充分必要条件的判断,如果P⇒Q且Q⇒P,则P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗地说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立.”
3.(★★)函数f(x)=2x-1x的零点所在区间为 ( )
A.0,13 B.13,12
C.12,1 D.(1,2)
考向 函数零点的概念 二分法的应用
答案 C
分析 方法一:首先分析函数在定义域上的单调性,然后根据零点存在性定理可判断出该函数零点所在的区间;方法二:令函数f(x)=0得到2x=1x,转化为两个简单基本函数g(x)=2x,h(x)=1x,然后在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,进而可得答案.
解析 方法一:因为函数f(x)=2x-1x在(0,+∞)上为增函数,
所以,函数f(x)=2x-1x在(0,+∞)上至多有一个零点,
因为f13=213-3=32-3<0,f12=212-2=2-2<0,f(1)=21-1>0,
所以由零点存在性定理可知,在区间12,1内函数f(x)=2x-1x存在一个零点.
方法二:令f(x)=2x-1x=0,可得2x=1x,
再令g(x)=2x,h(x)=1x,
在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,
可知g(x)图象与h(x)图象的交点横坐标在12,1内,
从而函数f(x)的零点在12,1内,
故选C.
点评 本题主要考查函数零点的存在性定理的应用:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根;也可以将求函数零点问题转化为求两个函数图象的交点问题,一般转化的原则是将已知函数转化为两个基本初等函数,考查数形结合思想.
4.(★★)若幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm2-2m在(0,+∞)上为减函数,则m= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
考向 幂函数的图象和性质
答案 C
分析 根据幂函数的定义可得m2+2m-2=1,求出m的值,然后验证f(x)在(0,+∞)上是否为减函数,即m2-2m<0是否成立,即可求解.
解析 由已知m2+2m-2=1,解得m=-3或m=1.
当m=-3时,f(x)=x15在(0,+∞)上为增函数,不符合题意;
当m=1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,符合题意.
故选:C.
点评 本题主要考查幂函数的定义和幂函数的性质,熟练掌握常用基本初等函数的一般表达式是正确解题的关键.
5.(★★)已知a
考向 不等式性质的应用
答案 D
分析 通过取特殊值举反例或利用不等式的基本性质,逐一分析每个选项即可得出结论.
解析 对于选项A,当c=0时,ac2=bc2,故错误;
对于选项B,若b=3,c=4,则b2>c,故错误;
对于选项C,虽有b
故选D.
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,最好能举出反例或者能证明一定不成立,以培养思维的严谨性.
6.(★★)甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则( )
A.甲得分的平均数比乙的大
B.乙的成绩更稳定
C.甲得分的中位数比乙的大
D.甲的成绩更稳定
考向 均值和方差的计算
答案 B
分析 根据图形中的数据,可求出甲乙的平均数、中位数,分析数据的离散程度,确定方差大小,然后对选项进行判断即可.
解析 根据平均数的计算公式得,甲、乙得分的平均数均为13,中位数均为13,
根据五次某项测试成绩结果可以看出,甲的五次某项测试成绩比较分散,而乙五次某项测试成绩比较集中,由方差计算公式可知,甲得分的方差明显比乙大,所以乙的成绩更稳定,或者直接由图得乙的成绩更稳定.
故选:B.
点评 本题主要考查了方差、平均数的概念,准确理解这些概念并熟记这些公式,掌握数据的处理以及数据的分析.
7.(★★)已知a=log52,b=log0.91.1,c=20.9,则 ( )
A.a
答案 B
分析 根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.
解析 由对数函数的图象和性质知,因为0
点评 本题考查函数值大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质.对于底数不同、指数不同,真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性,则可以借助中间量比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较, 渗透了直观想象和数学运算的核心素养.
8.(★)为了检验某厂生产的取暖器是否合格,先从500台取暖器中取50台进行检验,用随机数表抽取样本,将500台取暖器编号为001,002,…,500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据:
8242175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据,则抽出第4台取暖器的编号为 ( )
A.217 B.206 C.245 D.212
考向 随机数表抽样
答案 B
分析 根据随机数表抽样方法,从第7行第4列开始向右依次读取3个数据,重复的去掉后可得.
解析 由题意,根据简单随机抽样的方法,利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取,依次为217,157,245,217,206,由于217重复,所以第4台取暖器的编号为206.
故选B.
点评 本题考查简单随机抽样方法中的随机数表,要准确理解和掌握这种方法.
9.(★★)函数f(x)=(x3+2x)ln|x|的部分图象大致为 ( )
考向 函数的概念 函数性质的应用
答案 C
分析 先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B选项,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.
解析 因为函数f(x)=(x3+2x)ln|x|,则函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=[(-x)3+2(-x)]ln|-x|=-(x3+2x)ln|x|=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A和B,当0
故选C.
点评 本题考查函数的图象与性质,可以利用具有奇偶性的函数图象的性质,还可以代入特殊点进行判断,考查推理论证能力.
10.(★★)已知函数f(x)=-43x2+ax+53,若f(x)≥0在[-1,1]上恒成立,则a的取值范围是 ( )
A.-13,13 B.-1,-13
C.[-1,1] D.-1,13
考向 函数的概念 函数的性质
答案 A
分析 根据二次函数的图象和性质可得,函数f(x)=-43x2+ax+53的图象开口向下,f(x)≥0在[-1,1]上恒成立,则抛物线在[-1,1]间的部分都在x轴上方或在x轴上,只需最低点,即区间的两个端点满足即可,可得f(-1)≥0,f(1)≥0,求解即可得出结论.
解析 根据二次函数的图象和性质可得,函数f(x)=-43x2+ax+53的图象开口向下,
因为f(x)≥0在[-1,1]上恒成立,
所以f(1)=-43+a+53≥0,f(-1)=-43-a+53≥0,解得-13≤a≤13.
故选:A.
点评 不等式在给定区间内恒成立,转为为二次函数图象特征,合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键,本题着重考查了分析问题、解决问题的能力,以及数形结合思想.
11.(★★★)在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,满足BE=4EA,AF=3FD,连接EF交AC于点M,若AM=2λAB-3μAC,则5λ-192μ= ( )
A.-32 B.1 C.12 D.-3
考向 平面向量的线性运算 平面向量基本定理
答案 C
分析 由AC=AB+AD,AM=2λAB-3μAC,将AM用向量AB,AD表示,再由BE=4EA,AF=3FD,把向量AM用向量AE,AF表示,根据E,F,M三点共线的关系式特征,即可求得结论.
解析 因为AC=AB+AD,所以AM=2λAB-3μAC=2λAB-3μ(AB+AD)=(2λ-3μ)AB-3μAD.
又因为BE=4EA,AF=3FD,得AB=5AE,AD=43AF,
所以AM=5(2λ-3μ)AE-4μAF.
因为E,F,M三点共线,所以5(2λ-3μ)-4μ=1,10λ-19μ=1,
所以5λ-192μ=12.
故选C.
点评 本题考查向量的线性运算和向量基本定理的应用,考查三点共线的向量结构特征:①直线的向量式参数方程,A,P,B三点共线⇔OP=(1-t)OA+tOB(O为平面内任一点,t∈R);②OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C,三点共线,则λ+μ=1,注意体会并掌握.
12.(★★★)已知函数f(x),g(x)的图象分别如图1,2所示,方程f(g(x))=1,g(f(x))=-1,g(g(x))=-12的实根个数分别为a,b,c,则 ( )
A.a+b=c B.b+c=a
C.ab=c D.ab=c
考向 函数的概念 函数与方程的应用
答案 A
分析 结合函数图象可知方程根的个数,根据方程根的个数确定a,b,c的值,即可求解.
解析 由方程f(g(x))=1,可得g(x)=m(-1
所以方程f(g(x))=1有4个实根,则a=4.
由方程g(f(x))=-1,可得f(x)=1或f(x)=-1.
所以方程g(f(x))=-1有2个实根,则b=2.
由方程g(g(x))=-12,可得g(x)=x1-32
所以方程g(g(x))=-12有6个实根,则c=6.
故a+b=c,
故选:A.
点评 本题主要考查了函数概念的应用以及函数与方程的关系,把求方程的根的个数问题转化为研究函数图象交点的个数问题,体现了数形结合的思想方法,通过数形结合增强了解题的直观性,降低了试题的难度,可以培养学生直观想象的核心素养.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★★)若x>0,则f(x)=4x+19x的最小值为 .
考向 基本不等式的应用
答案 43
分析 根据题意,直接利用基本不等式求函数的最小值即可.
解析 ∵x>0,∴f(x)=4x+19x≥24x·19x=43当且仅当4x=19x即x=16时,取“=”号,
∴当x=16时,f(x)最小值为43.
故答案为43.
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
14.(★★)抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),事件A为“正面朝上的点数为3”,事件B为“正面朝上的点数为偶数”,则P(A+B)= .
考向 古典概型
答案 23
分析 根据古典概型的概率公式,分别求出事件A,B发生的概率,再根据事件A与事件B互斥,由互斥事件概率公式,即可求解.
解析 根据古典概型的概率公式可得P(A)=16,P(B)=12,
因为事件A与事件B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=23.
故答案为:23.
点评 本题主要考查古典概型的概率公式以及互斥事件发生的概率公式,对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数,解题的关键是判断出事件间的关系,正确运用所学公式.
15.(★★)已知向量a=(m,-6),b=(-4,3),若a∥b,则|a|= .
考向 平面向量的坐标运算
答案 10
分析 根据平面向量平行的坐标表示,求出m的值,再由模长的坐标公式,即可求解.
解析 因为a∥b,所以3m=24,即m=8,
所以|a|=64+36=10.
故答案为:10.
点评 本题主要考查向量的坐标运算,涉及平行向量、模长的坐标运算公式,一定要熟记这些公式.
16.(★★★)设函数f(x)=log2(1+x2-x),若对任意的x∈(-1,+∞),不等式f(x-lna)+f(2x+4)<0恒成立,则a的取值范围是 .
考向 函数的奇偶性 对数的运算性质 函数的单调性
答案 (0,e]
分析 先证明函数f(x)为奇函数,根据(1+x2-x)(1+x2+x)=1,结合对数运算法则可得f(x)=-log2(1+x2+x),根据复合函数的单调性,可判断f(x)=-log2(1+x2+x)在[0,+∞)上为减函数,再结合奇偶性和f(x)在x=0处连续,可得f(x)在R上为减函数,利用函数f(x)的奇偶性、单调性脱去“f”,于是f(x-lna)+f(2x+4)<0等价转化为f(x-lna)
解析 由题可知,函数f(x)定义域为R,
又因为f(-x)=log2(1+x2+x)=log2(1+x2-x)-1=-f(x),
所以f(x)为奇函数,且f(x)=-log2(1+x2+x).
又因为函数g(x)=1+x2+x在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x)=-log2(1+x2+x)在[0,+∞)上为减函数,
又因为函数f(x)定义域为R,从而f(x)在R上为减函数.
于是f(x-lna)+f(2x+4)<0等价于
f(x-lna)<-f(2x+4)=f(-2x-4),
等价于x-lna>-2x-4,即lna<3x+4,所以lna<3x+4对任意的x∈(-1,+∞)恒成立.
因为x∈(-1,+∞),所以3x+4>1,所以lna≤1,
解得0
点评 本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性脱去“f”得到关于x的不等式,转化为不等式恒成立问题,不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min≤b.体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.
三、解答题(本大题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)
17.(★★)设集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|2-a≤x≤2a+1,a∈R},C={x|-3
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
考向 集合的运算 一元二次不等式的解法
分析 (1)通过解一元二次不等式化简集合A,求出A的补集,再根据交集的定义运算即可;
(2)由A∪B=A得到B⊆A,由集合的包含关系列出关于a的不等式组可求解,注意讨论B为空集的情形.
解析 (1)∵x2-3x-10<0,∴(x-5)(x+2)<0,解得-2
(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.
当B=⌀时,2-a>2a+1,∴a<13.
当B≠⌀时,依题意得2-a≤2a+1,2a+1<5,2-a>-2,解得13≤a<2,
综上所述,a的取值范围是(-∞,2).
点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,将题设条件转化为含参数的不等式,体现了转化与化归的数学思想方法,解题过程中,注意对空集的讨论,这也是易错点.
18.(★★)在直角坐标系中,O为坐标原点,OA=(3,1),OB=(2,-1),OC=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;
(2)若AC=-3AB,求点C的坐标.
考向 平面向量的坐标运算
分析 (1)根据平面向量的坐标运算,求出AB,AC的坐标,再由共线向量的坐标关系,即可得出a,b关系;(2)根据向量相等的坐标关系,得到关于a,b的方程组,求解,即可得出结论.
解析 由题意知,AB=OB-OA=(2,-1)-(3,1)=(-1,-2),
AC=OC-OA=(a,b)-(3,1)=(a-3,b-1).
(1)因为A,B,C三点共线,所以AB∥AC,
所以-(b-1)-(-2)×(a-3)=0,
所以b=2a-5.
(2)因为AC=-3AB,
所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6),
所以a-3=3,b-1=6,解得a=6,b=7,
所以点C的坐标为(6,7).
点评 本题考查向量的坐标运算,涉及共线向量和相等向量的坐标关系,要熟记这些公式.
19.(★★)为了了解学生的学习情况,一次测试中,科任老师从本班中抽取了n个学生的成绩(满分100分,且抽取的学生成绩均在[40,100]内)进行统计分析.按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图和频数分布表.
频数分布表
[40,50)
x
[50,60)
4
[60,70)
10
[70,80)
12
[80,90)
8
[90,100]
4
(1)求n,a,x的值;
(2)在选取的样本中,从低于60分的学生中随机抽取两名学生,试问这两名学生在同一组的概率是多少?
考向 频率分布直方图 古典概型
分析 (1)根据频数和频率的关系,求出样本容量n,由频数分布表求出[50,60)的频率,即可求出a,再由样本容量n,求出x;
(2)[40,50),[50,60)两组中的学生人数分别为2,4,将6人按组编号,列出从6人中抽取2人的所有基本事件,确定满足条件的基本事件的个数,由古典概型的概率公式,即可求解.
解析 (1)由题意知,样本容量n=100.025×10=40,a=440×10=0.01,
又x+4+10+12+8+4=40,解得x=2.
(2)由频数分布表可知[40,50),[50,60)两组中的学生人数分别为2,4,
将[40,50)组中的学生标记为A,B,[50,60)组中的学生标记为a,b,c,d.
在这两组中的学生中随机抽2名学生有如下情形:
(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有15个基本事件.
其中两名学生在同一组的情形:(A,B),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有7个基本事件.
即这两名学生在同一组的概率为715.
点评 本题考查频率分布直方图、频数分布表的相关知识及古典概型的概率问题,需要注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距,这也是易错点.
20.(★★)已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).
(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;
(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.
考向 函数的奇偶性 对数函数的性质
分析 (1)根据偶函数的定义,求出a=0,得f(x)=ln(2x2+3),验证定义域是否关于原点对称,求出真数的范围,再由对数函数的单调性,即可求出值域;
(2)u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu,由复合函数单调性的规律可得,u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,根据二次函数的单调性,得出参数a的不等式,即可求解.
解析 (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(x)=f(-x),
又f(x)=ln(2x2+ax+3),
所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,
此时,f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.
令t=2x2+3,则t≥3,
所以lnt≥ln3,故f(x)的值域为[ln3,+∞).
(2)设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.
因为f(x)在[-3,1]上是减函数,g(u)=lnu在(0,+∞)上是增函数,
所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,
且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,
故-a4≥1且u(x)min=u(1)=5+a>0,
解得-5
21.(★★)某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个工艺品的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,需有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点)
考向 函数的应用 指数幂的运算
分析 (1)由日销售量m(单位:个)与10-x成正比,设m=k·10-x,x∈[26,32],根据条件求出k=1032,再由y=m(x-20-n),即可求出函数关系式;
(2)当n=5时,结合(1)中的函数关系可得x-25=10x-26,观察可得x=26是方程的解,再由条件可知方程在[26,32]上有且只有一个解,即可求得结论.
解析 (1)设m=k·10-x=k10x,x∈[26,32],
当x=29时,m=1000,则k=1032,
所以m=103210x=1032-x,x∈[26,32],
所以y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,x∈[26,32],x∈N.
(2)当n=5时,y=(x-25)1032-x=100×104=106,
整理得x-25=10x-26.
因为函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,
所以x=26是方程x-25=10x-26唯一的根,
所以销售单价为26元.
点评 本题考查函数的应用问题,利用待定系数法求函数解析式,需要掌握常用基本初等函数的一般表达式;考查函数与方程的关系,要注意解方程的特殊方法的应用.
22.(★★★)已知函数f(x)=(t2-2t-2)ex-1ex是定义域为R的奇函数.
(1)求t的值,并写出f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)若函数g(x)=e2x+1e2x-2kf(x)在[0,+∞)上的最小值为-2,求k的值.
考向 函数的单调性 函数的奇偶性 指数幂的运算性质
分析 (1)f(x)是定义域为R的奇函数,利用奇函数的必要条件f(0)=0,求出t的值,进而求出f(x),验证f(x)是否为奇函数;
(2)可判断f(x)在R上为增函数,用函数单调性的定义加以证明即可;
(3)由g(x)=e2x+1e2x-2kex-1ex=ex-1ex2-2kex-1ex+2,换元令u=f(x)=ex-1ex,x≥0,则h(u)=u2-2ku+2,由(2)得u≥f(0)=0,根据条件转化为h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值为-2,对二次函数h(u)配方,求出对称轴,分类讨论求出最小值,即可求解.
解析 (1)因为f(x)=(t2-2t-2)ex-1ex是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,即f(0)=t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1,
当t=3或t=-1时,可得f(x)=ex-1ex,此时满足f(-x)=-f(x),
所以t=3或t=-1,f(x)=ex-1ex.
(2)f(x)在R上单调递增.
证明如下:设任意的x1,x2∈R,x1
因为x1
(3)由(1)可知g(x)=e2x+1e2x-2kex-1ex=ex-1ex2-2kex-1ex+2,
令u=f(x)=ex-1ex,则h(u)=u2-2ku+2,
因为f(x)是增函数,且x≥0,所以u≥f(0)=0.
因为g(x)=e2x+1e2x-2kf(x)在x∈[0,+∞)上的最小值为-2,
所以h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值为-2.
因为h(u)=u2-2ku+2=(u-k)2+2-k2,
所以当k≥0时,h(u)min=h(k)=2-k2=-2,
解得k=2或k=-2(舍去);
当k<0时,h(u)min=h(0)=k2+2-k2=2≠-2,不合题意,舍去.
综上可知,k=2.
点评 本题考查利用函数的奇偶性求参数的值,需要注意的是定义在R上的奇函数,f(0)=0是函数为奇函数的必要条件,求得的参数需要经过验证;本题还考查应用单调性定义证明函数的单调性,考查复合函数的最值问题,使用换元方法,需要注意换元的等价性,通过换元将问题化归为二次函数的最值问题,再分类讨论,体现了转化与化归、分类讨论的数学思想.
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