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8、【全国百强校】辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题 （学生版）
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这是一份8、【全国百强校】辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题 （学生版），共9页。试卷主要包含了Ⅱ卷在答题纸上作答等内容，欢迎下载使用。
【全国百强校】辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题 13
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
2.Ⅱ卷在答题纸上作答.答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知集合A={x|-30},则A∩B= ( )
A.{x|x<5} B.{x|1
A.∀x∈Z,∉R B.∃x∈Z,x∈R
C.∀x∉Z,x∉R D.∃x∈Z,x∉R
3.(★★)若a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.1a<1b B.a5>b5 C.ac2>bc2 D.|a|>|b|
4.(★)函数f(x)=2x+1+3-x的定义域为 ( )
A.(-∞,-1)∪(-1,3] B.(-∞,3]
C.(-1,3] D.(-∞,-1)
5.(★★)已知函数f(x+1)=x2-x+3,则f(x)= ( )
A.x2+x+5 B.x2-3x+3
C.x2-3x+5 D.x2+x+3
6.(★)设甲为“0
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.(★★)函数f(x)=2x2-5x-6有两个零点x1,x2(x1
A.x1∈(0,1) B.x1∈(1,2)
C.x2∈(3,4) D.x2∈(4,5)
8.(★★)函数f(x)=ex-e-x-1x的部分图像大致为 ( )
9.(★)已知集合A={x|-3≤x-1<1},B={-3,-2,-1,0,1,2},若C⊆(A∩B),则满足条件的集合C的个数是 ( )
A.7 B.8 C.15 D.16
10.(★★)已知函数f(x)=-x2-1,x≤0,ax-a,x>0是R上的单调函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1] B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.[1,+∞)
11.(★★)已知a>2,b>0,若a+b=3,则1a-2+1b的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(★★)已知函数f(x+3)为奇函数,且对任意不相等的实数a,b,都有f(a)-f(b)a-b<0成立,则不等式f(3x+1)+f(-x+6)>0的解集为 ( )
A.-∞,-12 B.-12,+∞
C.-∞,-72 D.-72,+∞
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中横线上)
13.(★)设全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,3,5},B={0,2,3,4},则A∩(∁UB)= .
14.(★)已知函数f(x)=ax2-2是定义在[-2a,a+2]上的偶函数,则f(-2)= .
15.(★★)不等式x2-4x-3≥0的解集为 .
16.(★★)若函数f(x)=1kx2-2x-8在[1,2]上单调递减,则正数k的取值范围为 .
三、解答题(本大题共4小题,共44分,解答需写清主要解题过程)
17.(★★)已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+ax+2a-3=0}≠⌀.
(1)当a=0时,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值集合.
18.(★★)已知函数f(x)=mx+nx,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图像上的两点.
(1)求实数m,n的值;
(2)用定义法证明f(x)是[2,+∞)上的增函数.
19.(★★)(1)已知a
(1)当a=1时,求原不等式的解集;
(2)当a≥0时,求原不等式的解集.
21.(★)2019年,随着中国第一款5G手机投入市场,5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析,得到如下规律:每生产手机x(0≤x≤10)万台,其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为800万元,并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-400x2+4200x,0≤x≤5,2000x-3800,5
(2)当产量x为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?
22.(★★)已知二次函数f(x)=x2-(2m+1)x+m.
(1)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且-1
【全国百强校】辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题 13
答案全解全析
1.考向 集合的运算
分析 分别解出集合A和集合B,根据交集的概念求得结果.
解析 ∵A={x|-30}={x|x<1},∴A∩B={x|-2
点评 本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答集合题目的关键.
2.考向 全称量词命题的否定
分析 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题,写出命题的否定即可.
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“∀x∈Z,x∈R”的否定是命题“∃x∈Z,x∉R”.
故选D.
答案 D
点评 本题易错点在于误认为全称量词命题与存在量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时要注意结论的否定形式,“∈”的否定就是“∉”,“>”的否定就是“≤”,“<”的否定就是“≥”.
3.考向 不等式性质的应用
分析 通过取特殊值举反例或利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论.
解析 若a>b,则1a与1b的大小关系不确定,取a=2,b=-1,则A不成立;∵函数y=x5在R上单调递增,∴a5>b5,则B成立;当c=0时,ac2=bc2,则C不成立;取a=-1,b=-2,则D不成立.因此只有B成立.
故选B.
答案 B
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确.
4.考向 函数的概念
分析 根据函数f(x)的解析式,由二次根式的被开方式大于或等于0,分式的分母不等于0联立得不等式组,求x的取值范围即可.
解析 由3-x≥0,x+1≠0,解得x≤3且x≠-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,3].故选A.
答案 A
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式的被开方式大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂的底数不等于零,然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
5.考向 函数的概念 换元法的应用
分析 利用换元法或者凑配法直接求解即可.
解析 解法一:换元法,令x+1=t,t∈R,则x=t-1,t∈R,
代入得f(t)=(t-1)2-(t-1)+3=t2-2t+1-t+1+3=t2-3t+5,所以f(x)=x2-3x+5,故选C.
解法二:凑配法,f(x+1)=x2-x+3=(x+1)2-3(x+1)+5,所以f(x)=x2-3x+5.
答案 C
点评 本题考查利用换元法或凑配法求函数解析式,虽然本题比较简单,但是换元法或凑配法却是要求我们必须掌握的方法,在其他的问题中会经常用到.
6.考向 充分条件与必要条件的判断 解绝对值不等式
分析 先通过解绝对值不等式对命题乙中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析 解法一:命题甲:0
点评 对于有关不等式充分、必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件P表示的不等式记为集合A,条件Q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,那么P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗的说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立”,如果A=B,那么P是Q的充要条件.
7.考向 函数零点的概念
分析 直接求解f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的函数值,利用函数零点存在定理即可推出结果.
解析 函数f(x)=2x2-5x-6,其图象的对称轴为直线x=54,
∵函数f(x)=2x2-5x-6有两个零点x1,x2,∴x1<54
∴f(3)·f(4)<0,
根据函数零点存在定理可得函数f(x)=2x2-5x-6的零点x2所在的区间是(3,4),
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
8.考向 函数的概念 函数性质的应用
分析 先求得函数的定义域,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.
解析 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除C和D.当x=1时,f(1)=e-1e-1>0,所以A正确,B错误.故选A.
答案 A
点评 本题考查函数的图像,可以代入特殊值进行判断,考查逻辑推理能力.
9.考向 子集的概念
分析 推导出A∩B={-2,-1,0,1},由此能求出满足条件的集合C的个数.
解析 ∵集合A={x|-3≤x-1<1}={x|-2≤x<2},
B={-3,-2,-1,0,1,2},∴A∩B={-2,-1,0,1},
∴满足条件的集合C的个数是24=16.故选D.
答案 D
点评 本题考查子集个数、交集的概念,考查数学运算能力.一个集合中含有n个元素,则集合的子集的个数为2n,集合的真子集、非空子集的个数均为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
10.考向 函数的单调性 分段函数的性质
分析 根据题意,函数f(x)=-x2-1,x≤0,ax-a,x>0是R上的单调函数,则分段函数在每一段上都是单调的,且在分界点处也是单调的,由此得到关于a的不等式组,求得a的取值范围.
解析 ∵函数f(x)=-x2-1,x≤0,ax-a,x>0是R上的单调函数,当x≤0时,f(x)=-x2-1单调递增,
∴当x>0时,f(x)=ax-a单调递增,∴a>0,
又函数f(x)在R上是增函数,
∴f(0)≤-a,即-1≤-a,解得a≤1,
综上可得0
点评 本题主要考查了分段函数的单调性,既要保证分段函数在每一段上的单调性相同,还要保证分段函数在分界点处也是单调的,这也是同学们容易错的地方.
11.考向 基本不等式的应用
分析 根据题意,分析可得(a-2)+b=1,进而可得1a-2+1b=1a-2+1b×[(a-2)+b]=2+ba-2+a-2b,结合基本不等式的性质分析可得答案.
解析 根据题意,若a+b=3,则(a-2)+b=1,
则1a-2+1b=1a-2+1b×[(a-2)+b]=2+ba-2+a-2b,
又a>2,b>0,则ba-2+a-2b≥2×ba-2×a-2b=2,当且仅当ba-2=a-2b,即a=152,b=12时,等号成立.
则1a-2+1b=2+ba-2+a-2b≥4,即1a-2+1b的最小值为4,
当且仅当ba-2=a-2b,即a=52,b=12时,等号成立.
故选C.
答案 C
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正”(即条件要求中字母为正数)、“二定”(不等式的另一边必须为定值)、“三等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
12.考向 函数的图像和性质 函数的奇偶性 函数的单调性
分析 根据题意可知f(x)在R上单调递减,再根据f(x+3)是奇函数可将原不等式化成f(3x+1)>f(x),从而得出3x+1
∴f(x)在R上单调递减,
又∵f(x+3)为奇函数,∴f(-x+3)=-f(x+3),
∴f(-x+6)=f[-(x-3)+3]=-f[(x-3)+3]=-f(x),
∴原不等式可化成f(3x+1)-f(x)>0,∴f(3x+1)>f(x),
∴3x+1
答案 A
点评 本题考查抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,除了掌握单调性的概念外,还经常会用到变式,设x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,则f(x)在[a,b]上是减函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1<0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0.本题还涉及函数奇偶性概念的推广应用,若f(x+a)是奇函数,则有f(-x+a)=-f(x+a),若f(x+a)是偶函数,则有f(-x+a)=f(x+a),掌握这些常用的结论,有助于快速解决一些较难的问题.本题主要通过逻辑推理能力进行分析解答,体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养.
13.考向 集合的运算
分析 根据补集的概念求出∁UB,再根据交集的概念求出A∩(∁UB)即可.
答案 {1,5}
解析 由题意知∁UB={1,5,6},所以A∩(∁UB)={1,5}.
点评 本题考查集合的补集、交集的运算,在求补集时要掌握好补集的性质A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
10.考向 函数的概念 函数的奇偶性
分析 根据偶函数定义域的对称性可得-2a+a+2=0,从而求出a=2,进而求出f(-2)的值.
答案 6
解析 ∵f(x)是定义在[-2a,a+2]上的偶函数,∴-2a+a+2=0,∴a=2,∴f(x)=2x2-2,∴f(-2)=8-2=6.
点评 本题考查了偶函数的概念,偶函数定义域的对称性,考查了数学运算能力.
15.考向 解分式不等式
分析 由x2-4x-3≥0可得(x-2)(x+2)(x-3)≥0,x-3≠0,结合高次不等式的求解可求得答案.
答案 {x|x>3或-2≤x≤2}
解析 由x2-4x-3≥0可得(x-2)(x+2)(x-3)≥0,x-3≠0,
由高次不等式的求解方法可知,{x|x>3或-2≤x≤2}.
故答案为{x|x>3或-2≤x≤2}.
点评 本题主要考查分式不等式和高次不等式的解法,解分式不等式需要将分式不等式f(x)g(x)≤0或f(x)g(x)≥0进行同解变形转化为整式不等式f(x)·g(x)≤0,g(x)≠0或f(x)·g(x)≥0,g(x)≠0,再求出x的解集即可,在转化过程中不要忽略分母g(x)≠0的情况,体现了转化与化归的思想方法.
16.考向 函数的单调性
分析 要使f(x)=1kx2-2x-8在[1,2]上单调递减,则需g(x)=kx2-2x-8在[1,2]上单调递增且不变号,结合k>0,转化为关于k的不等式组求解.
答案 [1,3)∪(10,+∞)
解析 要使f(x)=1kx2-2x-8在[1,2]上单调递减,
则需g(x)=kx2-2x-8在[1,2]上单调递增且不变号,
所以k>0,1k≤1,g(1)g(2)=(k-10)(4k-12)>0,
解得1≤k<3或k>10.
综上,正数k的取值范围为[1,3)∪(10,+∞).
点评 本题考查复合函数的单调性,复合函数单调性的规律是“同增异减”,考查转化与化归思想方法.本题易错点是只注意到分式的分母g(x)=kx2-2x-8的单调性与原函数的单调性相反,而忽略分母必须不变号而导致错误.
17.考向 集合的运算 解一元二次方程
分析 解方程求得集合A.(1)求得集合B后,根据并集的概念求得结果.(2)根据交集的性质可知B⊆A,从而可得B所有可能的结果,分别当-1∈B,2∈B,-1∈B和2∈B时,求得a的值和集合B,验证是否符合题意.
解析 A={x|x2-x-2=0}={-1,2}.
(1)当a=0时,B={x|x2-3=0}={-3,3}.
∴A∪B={-3,-1,3,2}.
(2)∵A∩B=B,∴B⊆A,
又B≠⌀,∴B={-1}或B={2}或B={-1,2}.
当-1∈B时,1+a-3=0,解得a=2,
此时B={x|x2+2x+1=0}={-1},满足题意;
当2∈B时,4+4a-3=0,解得a=-14,
此时B=xx2-x4-72=0=-74,2,不满足题意;
当B={-1,2}时,-a=-1+2=1,2a-3=-2,无实数解.
综上所述,a=2,∴a的取值集合为{2}.
点评 本题考查集合运算中的交集和并集运算,根据交集运算结果求解参数值,其关键是能够通过交集运算的结果,得到两集合之间的包含关系,当B={-1,2},解题中用到了根与系数的关系,也可以将两根直接代入方程,通过解方程组求解.
18.考向 函数的单调性的应用
分析 (1)把点A(1,5),B(2,4)代入f(x),解方程组可求出实数m,n的值.
(2)由(1)可求出f(x),任取x1,x2∈.[2+∞),且x1
解方程可得,m=1,n=4.
(2)证明:由(1)可得,f(x)=x+4x,
任取x1,x2∈[2+∞),且x14,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2<0,
因此,所以f(x1)
19.考向 综合法与分析法证明不等式
分析 (1)由题意得出a<0,且a-c
解析 证明:(1)由a0,所以a-c(a-c)(b-c)aa-c,即aa-c
即证a(a-3)<(a-1)(a-2),
即证a(a-3)<(a-1)(a-2),
即证0<2,显然成立,
所以a-a-2
20.考向 解一元二次不等式
分析 (1)a=1时,原不等式可化为x2-3x+2<0,解不等式即可;
(2)a≥0时,对a分类讨论,结合二次不等式的解集规律求解即可.
解析 (1)当a=1时,原不等式可化为x2-3x+2<0,可得
{x|1
①若a=0,则原不等式可化为-x+2<0,可得{x|x>2}.
②若a>0,则(ax-1)(x-2)<0,即x-1a(x-2)<0,
(ⅰ)当1a>2,即0
综上所述,
当012时,解集为x1a
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式问题,体现了分类讨论思想的应用,在进行分类讨论时,不要忽略二次项系数为零的情况,也就是“真假二次”的问题,这也是易错点.
21.考向 函数的实际应用问题 二次函数的性质
分析 (1)先求得函数G(x)的解析式,然后用f(x)=R(x)-G(x)求得利润f(x)的函数解析式.
(2)用二次函数最值的求法,一次函数最值的求法,求得当产量x为何值时,公司所获利润最大,且求得最大利润.
解析 (1)由题意得G(x)=800+1000x.
因为R(x)=-400x2+4200x,0≤x≤5,2000x-3800,5
所以当x=4时,f(x)max=5600(万元).
当5
综上,当x=4时,f(x)max=5600(万元),
所以当产量为4万台时,公司所获利润最大,最大利润为5600万元.
点评 本题主要考查分段函数在实际生活中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
22.考向 函数的概念 函数的单调性
分析 (1)方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且-1
解析 (1)由方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且-1
(2)对任意的x∈[1,2],f(x)x≤2恒成立,即对任意的x∈[1,2],x2-(2m+1)x+m≤2x恒成立,
∴对任意的x∈[1,2],x2-(2m+3)x+m≤0恒成立,
则1-2m-3+m≤0,4-2(2m+3)+m≤0,解得m≥-23,
∴实数m的取值范围是-23,+∞.
点评 本题主要考查了二次函数的图像与性质,合理利用二次函数的图像与性质是解题的关键,二次式恒成立问题的关键是找到等价条件,着重考查了分析问题和解决问题的能力,以及逻辑推理与数学运算能力.
【全国百强校】辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题 13
2019~2020学年度高一年级模块检测试题
高一数学
注意事项:
1.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
2.Ⅱ卷在答题纸上作答.答题前,考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知集合A={x|-3
A.{x|x<5} B.{x|1
A.∀x∈Z,∉R B.∃x∈Z,x∈R
C.∀x∉Z,x∉R D.∃x∈Z,x∉R
3.(★★)若a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.1a<1b B.a5>b5 C.ac2>bc2 D.|a|>|b|
4.(★)函数f(x)=2x+1+3-x的定义域为 ( )
A.(-∞,-1)∪(-1,3] B.(-∞,3]
C.(-1,3] D.(-∞,-1)
5.(★★)已知函数f(x+1)=x2-x+3,则f(x)= ( )
A.x2+x+5 B.x2-3x+3
C.x2-3x+5 D.x2+x+3
6.(★)设甲为“0
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.(★★)函数f(x)=2x2-5x-6有两个零点x1,x2(x1
A.x1∈(0,1) B.x1∈(1,2)
C.x2∈(3,4) D.x2∈(4,5)
8.(★★)函数f(x)=ex-e-x-1x的部分图像大致为 ( )
9.(★)已知集合A={x|-3≤x-1<1},B={-3,-2,-1,0,1,2},若C⊆(A∩B),则满足条件的集合C的个数是 ( )
A.7 B.8 C.15 D.16
10.(★★)已知函数f(x)=-x2-1,x≤0,ax-a,x>0是R上的单调函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1] B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.[1,+∞)
11.(★★)已知a>2,b>0,若a+b=3,则1a-2+1b的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(★★)已知函数f(x+3)为奇函数,且对任意不相等的实数a,b,都有f(a)-f(b)a-b<0成立,则不等式f(3x+1)+f(-x+6)>0的解集为 ( )
A.-∞,-12 B.-12,+∞
C.-∞,-72 D.-72,+∞
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中横线上)
13.(★)设全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,3,5},B={0,2,3,4},则A∩(∁UB)= .
14.(★)已知函数f(x)=ax2-2是定义在[-2a,a+2]上的偶函数,则f(-2)= .
15.(★★)不等式x2-4x-3≥0的解集为 .
16.(★★)若函数f(x)=1kx2-2x-8在[1,2]上单调递减,则正数k的取值范围为 .
三、解答题(本大题共4小题,共44分,解答需写清主要解题过程)
17.(★★)已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+ax+2a-3=0}≠⌀.
(1)当a=0时,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值集合.
18.(★★)已知函数f(x)=mx+nx,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图像上的两点.
(1)求实数m,n的值;
(2)用定义法证明f(x)是[2,+∞)上的增函数.
19.(★★)(1)已知a
(1)当a=1时,求原不等式的解集;
(2)当a≥0时,求原不等式的解集.
21.(★)2019年,随着中国第一款5G手机投入市场,5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析,得到如下规律:每生产手机x(0≤x≤10)万台,其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为800万元,并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-400x2+4200x,0≤x≤5,2000x-3800,5
(2)当产量x为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?
22.(★★)已知二次函数f(x)=x2-(2m+1)x+m.
(1)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且-1
【全国百强校】辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题 13
答案全解全析
1.考向 集合的运算
分析 分别解出集合A和集合B,根据交集的概念求得结果.
解析 ∵A={x|-3
点评 本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答集合题目的关键.
2.考向 全称量词命题的否定
分析 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题,写出命题的否定即可.
解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“∀x∈Z,x∈R”的否定是命题“∃x∈Z,x∉R”.
故选D.
答案 D
点评 本题易错点在于误认为全称量词命题与存在量词命题的否定只改变命题量词,或只否定结论.全称量词命题与存在量词命题的否定,可以将条件和结论看成两部分,分别进行处理,同时在否定结论时要注意结论的否定形式,“∈”的否定就是“∉”,“>”的否定就是“≤”,“<”的否定就是“≥”.
3.考向 不等式性质的应用
分析 通过取特殊值举反例或利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论.
解析 若a>b,则1a与1b的大小关系不确定,取a=2,b=-1,则A不成立;∵函数y=x5在R上单调递增,∴a5>b5,则B成立;当c=0时,ac2=bc2,则C不成立;取a=-1,b=-2,则D不成立.因此只有B成立.
故选B.
答案 B
点评 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确.
4.考向 函数的概念
分析 根据函数f(x)的解析式,由二次根式的被开方式大于或等于0,分式的分母不等于0联立得不等式组,求x的取值范围即可.
解析 由3-x≥0,x+1≠0,解得x≤3且x≠-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,3].故选A.
答案 A
点评 本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则:分式(分母不为零)、二次根式(二次根式的被开方式大于或等于零)、对数(对数的底数大于零且不等于1、真数大于零)、零指数幂的底数不等于零,然后对每一部分所满足的条件求交集即可.
5.考向 函数的概念 换元法的应用
分析 利用换元法或者凑配法直接求解即可.
解析 解法一:换元法,令x+1=t,t∈R,则x=t-1,t∈R,
代入得f(t)=(t-1)2-(t-1)+3=t2-2t+1-t+1+3=t2-3t+5,所以f(x)=x2-3x+5,故选C.
解法二:凑配法,f(x+1)=x2-x+3=(x+1)2-3(x+1)+5,所以f(x)=x2-3x+5.
答案 C
点评 本题考查利用换元法或凑配法求函数解析式,虽然本题比较简单,但是换元法或凑配法却是要求我们必须掌握的方法,在其他的问题中会经常用到.
6.考向 充分条件与必要条件的判断 解绝对值不等式
分析 先通过解绝对值不等式对命题乙中的不等式进行化简,然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可.
解析 解法一:命题甲:0
点评 对于有关不等式充分、必要条件的判断可以转化为集合之间的包含关系:条件P表示的不等式记为集合A,条件Q表示的不等式记为集合B,如果A⫋B,那么P是Q的充分不必要条件,Q是P的必要不充分条件,通俗的说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立”,如果A=B,那么P是Q的充要条件.
7.考向 函数零点的概念
分析 直接求解f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的函数值,利用函数零点存在定理即可推出结果.
解析 函数f(x)=2x2-5x-6,其图象的对称轴为直线x=54,
∵函数f(x)=2x2-5x-6有两个零点x1,x2,∴x1<54
∴f(3)·f(4)<0,
根据函数零点存在定理可得函数f(x)=2x2-5x-6的零点x2所在的区间是(3,4),
故选C.
答案 C
点评 本题主要考查函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
8.考向 函数的概念 函数性质的应用
分析 先求得函数的定义域,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.
解析 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除C和D.当x=1时,f(1)=e-1e-1>0,所以A正确,B错误.故选A.
答案 A
点评 本题考查函数的图像,可以代入特殊值进行判断,考查逻辑推理能力.
9.考向 子集的概念
分析 推导出A∩B={-2,-1,0,1},由此能求出满足条件的集合C的个数.
解析 ∵集合A={x|-3≤x-1<1}={x|-2≤x<2},
B={-3,-2,-1,0,1,2},∴A∩B={-2,-1,0,1},
∴满足条件的集合C的个数是24=16.故选D.
答案 D
点评 本题考查子集个数、交集的概念,考查数学运算能力.一个集合中含有n个元素,则集合的子集的个数为2n,集合的真子集、非空子集的个数均为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
10.考向 函数的单调性 分段函数的性质
分析 根据题意,函数f(x)=-x2-1,x≤0,ax-a,x>0是R上的单调函数,则分段函数在每一段上都是单调的,且在分界点处也是单调的,由此得到关于a的不等式组,求得a的取值范围.
解析 ∵函数f(x)=-x2-1,x≤0,ax-a,x>0是R上的单调函数,当x≤0时,f(x)=-x2-1单调递增,
∴当x>0时,f(x)=ax-a单调递增,∴a>0,
又函数f(x)在R上是增函数,
∴f(0)≤-a,即-1≤-a,解得a≤1,
综上可得0
点评 本题主要考查了分段函数的单调性,既要保证分段函数在每一段上的单调性相同,还要保证分段函数在分界点处也是单调的,这也是同学们容易错的地方.
11.考向 基本不等式的应用
分析 根据题意,分析可得(a-2)+b=1,进而可得1a-2+1b=1a-2+1b×[(a-2)+b]=2+ba-2+a-2b,结合基本不等式的性质分析可得答案.
解析 根据题意,若a+b=3,则(a-2)+b=1,
则1a-2+1b=1a-2+1b×[(a-2)+b]=2+ba-2+a-2b,
又a>2,b>0,则ba-2+a-2b≥2×ba-2×a-2b=2,当且仅当ba-2=a-2b,即a=152,b=12时,等号成立.
则1a-2+1b=2+ba-2+a-2b≥4,即1a-2+1b的最小值为4,
当且仅当ba-2=a-2b,即a=52,b=12时,等号成立.
故选C.
答案 C
点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正”(即条件要求中字母为正数)、“二定”(不等式的另一边必须为定值)、“三等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
12.考向 函数的图像和性质 函数的奇偶性 函数的单调性
分析 根据题意可知f(x)在R上单调递减,再根据f(x+3)是奇函数可将原不等式化成f(3x+1)>f(x),从而得出3x+1
∴f(x)在R上单调递减,
又∵f(x+3)为奇函数,∴f(-x+3)=-f(x+3),
∴f(-x+6)=f[-(x-3)+3]=-f[(x-3)+3]=-f(x),
∴原不等式可化成f(3x+1)-f(x)>0,∴f(3x+1)>f(x),
∴3x+1
答案 A
点评 本题考查抽象函数奇偶性、单调性的综合应用,除了掌握单调性的概念外,还经常会用到变式,设x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,则f(x)在[a,b]上是减函数⇔f(x2)-f(x1)x2-x1<0⇔[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0.本题还涉及函数奇偶性概念的推广应用,若f(x+a)是奇函数,则有f(-x+a)=-f(x+a),若f(x+a)是偶函数,则有f(-x+a)=f(x+a),掌握这些常用的结论,有助于快速解决一些较难的问题.本题主要通过逻辑推理能力进行分析解答,体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养.
13.考向 集合的运算
分析 根据补集的概念求出∁UB,再根据交集的概念求出A∩(∁UB)即可.
答案 {1,5}
解析 由题意知∁UB={1,5,6},所以A∩(∁UB)={1,5}.
点评 本题考查集合的补集、交集的运算,在求补集时要掌握好补集的性质A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U的应用,不要出现错误.
10.考向 函数的概念 函数的奇偶性
分析 根据偶函数定义域的对称性可得-2a+a+2=0,从而求出a=2,进而求出f(-2)的值.
答案 6
解析 ∵f(x)是定义在[-2a,a+2]上的偶函数,∴-2a+a+2=0,∴a=2,∴f(x)=2x2-2,∴f(-2)=8-2=6.
点评 本题考查了偶函数的概念,偶函数定义域的对称性,考查了数学运算能力.
15.考向 解分式不等式
分析 由x2-4x-3≥0可得(x-2)(x+2)(x-3)≥0,x-3≠0,结合高次不等式的求解可求得答案.
答案 {x|x>3或-2≤x≤2}
解析 由x2-4x-3≥0可得(x-2)(x+2)(x-3)≥0,x-3≠0,
由高次不等式的求解方法可知,{x|x>3或-2≤x≤2}.
故答案为{x|x>3或-2≤x≤2}.
点评 本题主要考查分式不等式和高次不等式的解法,解分式不等式需要将分式不等式f(x)g(x)≤0或f(x)g(x)≥0进行同解变形转化为整式不等式f(x)·g(x)≤0,g(x)≠0或f(x)·g(x)≥0,g(x)≠0,再求出x的解集即可,在转化过程中不要忽略分母g(x)≠0的情况,体现了转化与化归的思想方法.
16.考向 函数的单调性
分析 要使f(x)=1kx2-2x-8在[1,2]上单调递减,则需g(x)=kx2-2x-8在[1,2]上单调递增且不变号,结合k>0,转化为关于k的不等式组求解.
答案 [1,3)∪(10,+∞)
解析 要使f(x)=1kx2-2x-8在[1,2]上单调递减,
则需g(x)=kx2-2x-8在[1,2]上单调递增且不变号,
所以k>0,1k≤1,g(1)g(2)=(k-10)(4k-12)>0,
解得1≤k<3或k>10.
综上,正数k的取值范围为[1,3)∪(10,+∞).
点评 本题考查复合函数的单调性,复合函数单调性的规律是“同增异减”,考查转化与化归思想方法.本题易错点是只注意到分式的分母g(x)=kx2-2x-8的单调性与原函数的单调性相反,而忽略分母必须不变号而导致错误.
17.考向 集合的运算 解一元二次方程
分析 解方程求得集合A.(1)求得集合B后,根据并集的概念求得结果.(2)根据交集的性质可知B⊆A,从而可得B所有可能的结果,分别当-1∈B,2∈B,-1∈B和2∈B时,求得a的值和集合B,验证是否符合题意.
解析 A={x|x2-x-2=0}={-1,2}.
(1)当a=0时,B={x|x2-3=0}={-3,3}.
∴A∪B={-3,-1,3,2}.
(2)∵A∩B=B,∴B⊆A,
又B≠⌀,∴B={-1}或B={2}或B={-1,2}.
当-1∈B时,1+a-3=0,解得a=2,
此时B={x|x2+2x+1=0}={-1},满足题意;
当2∈B时,4+4a-3=0,解得a=-14,
此时B=xx2-x4-72=0=-74,2,不满足题意;
当B={-1,2}时,-a=-1+2=1,2a-3=-2,无实数解.
综上所述,a=2,∴a的取值集合为{2}.
点评 本题考查集合运算中的交集和并集运算,根据交集运算结果求解参数值,其关键是能够通过交集运算的结果,得到两集合之间的包含关系,当B={-1,2},解题中用到了根与系数的关系,也可以将两根直接代入方程,通过解方程组求解.
18.考向 函数的单调性的应用
分析 (1)把点A(1,5),B(2,4)代入f(x),解方程组可求出实数m,n的值.
(2)由(1)可求出f(x),任取x1,x2∈.[2+∞),且x1
解方程可得,m=1,n=4.
(2)证明:由(1)可得,f(x)=x+4x,
任取x1,x2∈[2+∞),且x1
因此,所以f(x1)
19.考向 综合法与分析法证明不等式
分析 (1)由题意得出a<0,且a-c
解析 证明:(1)由a
即证a(a-3)<(a-1)(a-2),
即证a(a-3)<(a-1)(a-2),
即证0<2,显然成立,
所以a-a-2
20.考向 解一元二次不等式
分析 (1)a=1时,原不等式可化为x2-3x+2<0,解不等式即可;
(2)a≥0时,对a分类讨论,结合二次不等式的解集规律求解即可.
解析 (1)当a=1时,原不等式可化为x2-3x+2<0,可得
{x|1
①若a=0,则原不等式可化为-x+2<0,可得{x|x>2}.
②若a>0,则(ax-1)(x-2)<0,即x-1a(x-2)<0,
(ⅰ)当1a>2,即0
综上所述,
当0
点评 本题主要考查含参数的一元二次不等式问题,体现了分类讨论思想的应用,在进行分类讨论时,不要忽略二次项系数为零的情况,也就是“真假二次”的问题,这也是易错点.
21.考向 函数的实际应用问题 二次函数的性质
分析 (1)先求得函数G(x)的解析式,然后用f(x)=R(x)-G(x)求得利润f(x)的函数解析式.
(2)用二次函数最值的求法,一次函数最值的求法,求得当产量x为何值时,公司所获利润最大,且求得最大利润.
解析 (1)由题意得G(x)=800+1000x.
因为R(x)=-400x2+4200x,0≤x≤5,2000x-3800,5
所以当x=4时,f(x)max=5600(万元).
当5
综上,当x=4时,f(x)max=5600(万元),
所以当产量为4万台时,公司所获利润最大,最大利润为5600万元.
点评 本题主要考查分段函数在实际生活中的应用,解题的关键是要把实际问题转化为数学问题,考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解,着重考查了分析问题和解决问题的能力,体现了数学建模的核心素养.
22.考向 函数的概念 函数的单调性
分析 (1)方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且-1
解析 (1)由方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,且-1
(2)对任意的x∈[1,2],f(x)x≤2恒成立,即对任意的x∈[1,2],x2-(2m+1)x+m≤2x恒成立,
∴对任意的x∈[1,2],x2-(2m+3)x+m≤0恒成立,
则1-2m-3+m≤0,4-2(2m+3)+m≤0,解得m≥-23,
∴实数m的取值范围是-23,+∞.
点评 本题主要考查了二次函数的图像与性质,合理利用二次函数的图像与性质是解题的关键,二次式恒成立问题的关键是找到等价条件,着重考查了分析问题和解决问题的能力,以及逻辑推理与数学运算能力.
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