2019年人教版山东省淄博市中考数学试卷及答案解析

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）比﹣2小1的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（　　）

A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010

3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）

A． B． 

C． D．

4．（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

5．（4分）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）

A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） 

C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）

6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是（　　）

A．0.6×+124 B．0.6×+124 

C．0.6×5÷6+412 D．0.6×+412

7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2 C．2 D．6

8．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）

A．2a B．a C．3a D．a

9．（4分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.

10．（4分）单项式a3b2的次数是　   　．

11．（4分）分解因式：x3+5x2+6x．

12．（4分）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　   　度．

13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　   　．

14．（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．

如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；

如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；

如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；

……

依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝　   　．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（5分）解不等式

16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．

17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

（1）请直接写出a＝　   　，m＝　   　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　   　度．

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？

18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：①BC是⊙O的切线；

②CD2＝CE•CA；

（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

20．（9分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．

（1）试证明DM⊥MG，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

21．（9分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3．

故选：A．

2．解：40亿用科学记数法表示为：4×109，

故选：B．

3．解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；

B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；

C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；

D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．

故选：D．

4．解：如图：

∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，

∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，

∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，

∴∠ABE＝∠DAB＝40°，

∵∠EBF＝90°，

∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，

∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，

故选：C．

5．解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），

故选：D．

6．解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6×+124，

故选：B．

7．解：由题意可得，

大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，

∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，

故选：B．

8．解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，

∴△ACD∽△BCA，

∴＝（）2，即＝，

解得，△BCA的面积为4a，

∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，

故选：C．

9．解：∵x12+x22＝5，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，

而x1+x2＝3，

∴9﹣2x1x2＝5，

∴x1x2＝2，

∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．

故选：A．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.

10．解：单项式a3b2的次数是3+2＝5．

故答案为5．

11．解：x3+5x2+6x，

＝x（x2+5x+6），

＝x（x+2）（x+3）．

12．解：如图，

连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E

∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，

∴点E是旋转中心，

∵∠AEA1＝90°

∴旋转角α＝90°

故答案为：90

13．解：画树状图为：

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，

∴恰好选中一男一女的概率是＝，

故答案为：．

14．解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，

分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．

∴tanαn＝＝．

故答案为：．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．解：将不等式两边同乘以2得，

x﹣5+2＞2x﹣6

解得x＜3．

16．证明：∵∠BAE＝∠DAC

∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE

∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠C＝∠E

17．解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25，

m%＝（20÷100）×100%＝20%，

第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝126°，

故答案为：25，20，126；

（2）由（1）值，20≤x＜30有25人，

补全的频数分布直方图如右图所示；

（3）300×＝60（万人），

答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．

18．解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；

由题意得：，

解得：；

答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．

19．解：（1）①连接OD，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，

∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，

∴∠DAO＝∠ADO，

∴DO∥AB，而∠B＝90°，

∴∠ODB＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

②连接DE，

∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，

∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，

∴CD2＝CE•CA；

（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，

∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，

∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，

∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF，

∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，

∴AF＝DF＝OA＝OD，

∴△OFD、△OFA是等边三角形，

∴∠C＝30°，

∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，

∴CE＝OE＝R＝3，

S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．

20．（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．

∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，

∴DE∥AC∥GF，

∴∠EDM＝∠FHM，

∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，

∴△EDM≌△FHM（AAS），

∴DE＝FH，DM＝MH，

∵DE＝2FG，BG＝DG，

∴HG＝DG，

∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，

∴GM⊥DM，DM＝MG，

连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，

∵∠EBD＝∠DBF＝45°，

∴∠EBF＝90°，

∴EF＝＝a，

∵EM＝MF，

∴BM＝EF＝a，

∵HM＝DM，GH＝FG，

∴MG＝DF＝a，

∴＝＝．

（2）解：（1）中的值有变化．

理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．

∵DO＝OA，DG＝GB，

∴GO∥AB，OG＝AB，

∵GF∥AC，

∴O，G，F共线，

∵FG＝AB，

∴OF＝AB＝DF，

∵DF∥AC，AC∥OF，

∴DE∥OF，

∴OD与EF互相平分，

∵EM＝MF，

∴点M在直线AD上，

∵GD＝GB＝GO＝GF，

∴四边形OBFD是矩形，

∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，

∵OM＝MD，OG＝GF，

∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，

易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，

∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，

∴＝＝．

21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）

∴   解得：

∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3

（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4

∴顶点M（1，4）

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20

设点P坐标为（0，p）

∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2

①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2

解得：p＝﹣

∴P（0，﹣）

②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20

解得：p1＝1，p2＝3

∴P（0，1）或（0，3）

③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2

解得：p＝

∴P（0，）

综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．

（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H

∵DG⊥x轴于点G

∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°

∴四边形IEGH是矩形

∵点I为△ADG的内心

∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG

∴矩形IEGH是正方形

设点I坐标为（m，n）

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m

∵DA＝OA＝3

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m

∴DG＝DH+HG＝m+n

∵DG2+AG2＝DA2

∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32

∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0

配方得：（m﹣）2+（n+）2＝

∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为

∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动

∴当点I在线段CQ上时，CI最小

∵CQ＝

∴CI＝CQ﹣IQ＝

∴CI最小值为．