2019年山东省济宁市中考数学试卷+答案+解析

2019年山东省济宁市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．（3分）（2019•济宁）下列四个实数中，最小的是　　

A． B． C．1 D．4

2．（3分）（2019•济宁）如图，直线，被直线，所截，若，，则的度数是　　

A． B． C． D．

3．（3分）（2019•济宁）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）（2019•济宁）以下调查中，适宜全面调查的是　　

A．调查某批次汽车的抗撞击能力 

B．调查某班学生的身高情况 

C．调查春节联欢晚会的收视率 

D．调查济宁市居民日平均用水量

5．（3分）（2019•济宁）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

6．（3分）（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是　　

A． B． 

C． D．

7．（3分）（2019•济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是　　

A． B． 

C． D．

8．（3分）（2019•济宁）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是　　

A． B． C． D．

9．（3分）（2019•济宁）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是　　

A．9 B．12 C．15 D．18

10．（3分）（2019•济宁）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是　　

A． B．7.5 C．5.5 D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．（3分）（2019•济宁）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是　 　．

12．（3分）（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　　．

13．（3分）（2019•济宁）已知点位于第四象限，并且，为整数），写出一个符合上述条件的点的坐标　　．

14．（3分）（2019•济宁）如图，为直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点，已知，．则图中阴影部分的面积是　　．

15．（3分）（2019•济宁）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　　．

三、解答题：本大题共7小题，共55分，

16．（6分）（2019•济宁）计算：

17．（7分）（2019•济宁）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，　　，　　；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　　名学生，学生阅读时间的中位数在　　时间段；

（3）从阅读时间在小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

18．（7分）（2019•济宁）如图，点和点在内部．

（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

19．（8分）（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

20．（8分）（2019•济宁）如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求直径的长．

21．（8分）（2019•济宁）阅读下面的材料：

如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，

（1）若，都有，则称是增函数；

（2）若，都有，则称是减函数．

例题：证明函数是减函数．

证明：设，

．

，

，．

．即．

．

函数是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数，

，

（1）计算：　　，　　；

（2）猜想：函数是　　函数（填“增”或“减” ；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

22．（11分）（2019•济宁）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

2019年山东省济宁市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．（3分）下列四个实数中，最小的是　　

A． B． C．1 D．4

【考点】：实数大小比较；22：算术平方根

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得

，

所以四个实数中，最小的数是．

故选：．

2．（3分）如图，直线，被直线，所截，若，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【考点】：平行线的判定与性质

【分析】首先证明，推出，求出即可．

【解答】解：，

，

，

，

，

故选：．

3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

【考点】：轴对称图形；：中心对称图形

【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．

【解答】解：、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；

、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．

故选：．

4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是　　

A．调查某批次汽车的抗撞击能力 

B．调查某班学生的身高情况 

C．调查春节联欢晚会的收视率 

D．调查济宁市居民日平均用水量

【考点】：全面调查与抽样调查

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．

【解答】解：、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项错误；

、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故选项正确；

、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项错误；

、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故选项错误．

故选：．

5．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【考点】24：立方根；22：算术平方根

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．

【解答】解：、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确．

故选：．

6．（3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是　　

A． B． 

C． D．

【考点】：由实际问题抽象出分式方程

【分析】直接利用网络比网络快45秒得出等式进而得出答案．

【解答】解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：

．

故选：．

7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是　　

A． B． 

C． D．

【考点】：几何体的展开图

【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．

【解答】解：选项和带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；

选项能折叠成原几何体的形式；

选项折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．

故选：．

8．（3分）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是　　

A． B． C． D．

【考点】：二次函数图象与几何变换

【分析】先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，再把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【解答】解：，即抛物线的顶点坐标为，

把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，

所以平移后得到的抛物线解析式为．

故选：．

9．（3分）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是　　

A．9 B．12 C．15 D．18

【考点】：坐标与图形变化旋转；：反比例函数图象上点的坐标特征

【分析】作轴于．证明，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点坐标即可解决问题．

【解答】解：作轴于．

，

，，

，

，

，

，，

点的坐标是，点的坐标是，

，，

，，

，

，

，

，

反比例函数的图象经过点，

．

故选：．

10．（3分）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是　　

A． B．7.5 C．5.5 D．

【考点】17：倒数；37：规律型：数字的变化类

【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．

【解答】解：，

，，，

这个数列以，，依次循环，且，

，

，

故选：．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．（3分）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是　　．

【考点】：一元二次方程的解；：解一元二次方程因式分解法

【分析】根据根与系数的关系得出，即可得出另一根的值．

【解答】解：是方程的一个根，

，

，

则方程的另一个根是：，

故答案为．

12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　　．

【考点】：多边形内角与外角

【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．

【解答】解：该正九边形内角和，

则每个内角的度数．

故答案为：．

13．（3分）已知点位于第四象限，并且，为整数），写出一个符合上述条件的点的坐标　（答案不唯一）　．

【考点】：点的坐标

【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出，的取值范围，进而得出答案．

【解答】解：点位于第四象限，并且，为整数），

，，

当时，，

解得：，

可以为：，

故写一个符合上述条件的点的坐标可以为：（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

14．（3分）如图，为直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点，已知，．则图中阴影部分的面积是　　．

【考点】：扇形面积的计算；：切线的性质；：勾股定理

【分析】首先利用勾股定理求出的长，再证明，进而由可求出的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出的度数，则圆心角的度数可求出，在直角三角形中求出的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：在中，，．

，

，

是圆的切线，

与斜边相切于点，

，

；

在中，，

，

与斜边相切于点，

，

，

，

，

，

．

故答案是：．

15．（3分）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　或　．

【考点】：二次函数与不等式（组

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．

【解答】解：抛物线与直线交于，两点，

，，

抛物线与直线交于，两点，

观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，

不等式的解集为或．

故答案为：或．

三、解答题：本大题共7小题，共55分，

16．（6分）计算：

【考点】：特殊角的三角函数值；：实数的运算；：零指数幂

【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式，

．

17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，　3　，　　；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　　名学生，学生阅读时间的中位数在　　时间段；

（3）从阅读时间在小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

【考点】：中位数；：频数（率分布表；：全面调查与抽样调查；：列表法与树状图法；：扇形统计图

【分析】（1）由时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；

（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；

（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．

【解答】解：（1）女生总人数为（人，

，，

故答案为：3，；

（2）学生总人数为（人，

这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在范围内，

学生阅读时间的中位数在时间段，

故答案为：50，；

（3）学习时间在小时的有女生2人，男生3人．

共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是．

18．（7分）如图，点和点在内部．

（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．

【考点】：线段垂直平分线的性质；：作图复杂作图；：角平分线的性质

【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；

（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．

【解答】解：（1）如图，点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等；

（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【考点】：一次函数的应用

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；

（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点的坐标，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）由图可得，

小王的速度为：，

小李的速度为：，

答：小王和小李的速度分别是、；

（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，

当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，

点的坐标为，

设线段所表示的与之间的函数解析式为，

，得，

即线段所表示的与之间的函数解析式是．

20．（8分）如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求直径的长．

【考点】：解直角三角形；：切线的判定与性质；：圆周角定理；：垂径定理

【分析】（1）根据垂径定理得到，求得，求得，于是得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，求得，设，，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）是的中点，

，

，

，

，，

，

，

，

是的切线；

（2），

，

，

，

，

设，，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

设，

，

，

，

解得：，

，

直径的长为20．

21．（8分）阅读下面的材料：

如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，

（1）若，都有，则称是增函数；

（2）若，都有，则称是减函数．

例题：证明函数是减函数．

证明：设，

．

，

，．

．即．

．

函数是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数，

，

（1）计算：　　，　　；

（2）猜想：函数是　　函数（填“增”或“减” ；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

【考点】：函数自变量的取值范围；：反比例函数图象上点的坐标特征

【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；

（2）由（1）结论可得；

（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．

【解答】解：（1），

，

故答案为：，

（2），

函数是增函数

故答案为：增

（3）设，

，

，，

函数是增函数

22．（11分）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【考点】：四边形综合题

【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

（2）①证明，可得，由此即可解决问题．

②存在．有两种情形：如图中，当时．如图中，当时，作于．分别求解即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，

四边形是矩形，

，，

，

由翻折可知：．，设，则．

在中，，

，

在中，则有：，

，

．

（2）①如图2中，

，

，

，

，

，

在中，，

在中，，

，

，

，，

，

，

，

，

．

当时，有最小值，最小值．

②存在．有两种情形：如图中，当时，

，，

，

，

，

，

．

如图中，当时，作于．

，

，

，

，

，

，

，

由，可得，

，

，

．

综上所述，满足条件的的值为或．