2019年人教版山东省泰安市中考数学试卷及答案解析 (1)

这是一份2019年人教版山东省泰安市中考数学试卷及答案解析 (1)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（　　）
A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a3 B．a4•a2＝a8 C．（2a2）3＝6a6 D．a2+a2＝a4
3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（　　）
A．4.2×109米 B．4.2×108米 C．42×107米 D．4.2×107米
4．（4分）下列图形：

是轴对称图形且有两条对称轴的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（　　）

A．150° B．180° C．210° D．240°
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是（　　）
A．众数是8 B．中位数是8
C．平均数是8.2 D．方差是1.2
7．（4分）不等式组的解集是（　　）
A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2
8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．

A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　）

A．32° B．31° C．29° D．61°
10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（　　）

A．π B．π C．2π D．3π
12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　 　．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　 　．
15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为　 　．

16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为　 　．
17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是　 　．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　 　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．
20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：
组别
分数
人数
第1组
90＜x≤100
8
第2组
80＜x≤90
a
第3组
70＜x≤80
10
第4组
60＜x≤70
b
第5组
50＜x≤60
3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a，b的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．

24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．


2019年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＜（﹣3）
C、D项为正数，A、B项为负数，
正数大于负数，
故选：B．
2．解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；
B、a4•a2＝a6，故此选项错误；
C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；
D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
故选：A．
3．解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，
故选：B．
4．解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；
④不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
5．解：过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故选：C．
6．解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；
平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；
方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
7．解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．
故选：D．
8．解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，
故选：B．

9．解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．

10．解：画树状图如图所示：
∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，
∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；
故选：C．

11．解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．

12．解：如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案为：k．
14．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故答案为：．
15．解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，
故答案为：π．

16．解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得，x1＝2，x2＝4．
故意答案为：x1＝2，x2＝4．
17．解：由题意可得，
点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），
设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），
故答案为：（2n﹣1），
18．解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝＝＝3，
∴，
∴FE＝2，
故答案为：2．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．解：原式＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝＝1﹣2．
20．解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），
第2组人数 40×50%﹣8＝12（人），
第4组人数 40×50%﹣10﹣3＝7（人），
∴a＝12，b＝7；
（2）＝27°，
∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；
（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），
∴成绩高于80分的共有900人．
21．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣；

（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．


22．解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
23．（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴四边形AGFP是菱形．

（2）证明：如图②中，

∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE•AB＝DE•AP；

（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，
∴AE＝，
∴DE＝＝，
∵AE•AB＝DE•AP；
∴AP＝＝．
24．解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2

（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）
∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2
设直线BP解析式为y＝kx﹣2
把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2
∴k＝t﹣
∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2
当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝
∴C（，0）
∵t＞3
∴t﹣2＞1
∴，即点C一定在点A左侧
∴AC＝3﹣
∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4
∴＝4
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）
∴t2﹣t﹣2＝
∴点P的坐标为（4，）

（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F
∴AB垂直平分OE
∴BE＝OB，OG＝GE
∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°
∴OA＝3，OB＝2，AB＝
∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG
∴OG＝
∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°
∴∠OAB＝∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝
∴E（，﹣）
设直线BE解析式为y＝ex﹣2
把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣
∴直线BE：y＝﹣x﹣2
当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．


25．解：（1）AG＝FG，
理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M

∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE＝MF，ME＝BC
∴ME＝AB＝BC
∴BE＝MA＝MF
∴AG＝FG，
（2）DH⊥HG
理由如下：如图，延长GH交CD于点N，

∵FG⊥AD，CD⊥AD
∴FG∥CD
∴，且CH＝FH，
∴GH＝HN，NC＝FG
∴AG＝FG＝NC
又∵AD＝CD，
∴GD＝DN，且GH＝HN
∴DH⊥GH
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