2020年山东省淄博市中考数学试卷

这是一份2020年山东省淄博市中考数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年山东省淄博市中考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分






一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 若实数a的相反数是-2，则a等于（　　）
A. 2 B. -2 C. D. 0
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A. 4，5 B. 5，4 C. 5，5 D. 5，6
4. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B=50°，则∠DCA等于（　　）


A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
5. 下列运算正确的是（　　）
A. a2+a3=a5 B. a2•a3=a5 C. a3÷a2=a5 D. （a2）3=a5
6. 已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）

A. AC=DE
B. ∠BAD=∠CAE
C. AB=AE
D. ∠ABC=∠AED


8. 化简+的结果是（　　）
A. a+b B. a-b C. D.
9. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=的图象上，则k的值为（　　）

A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
10. 如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA=2，∠AOB=45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）


A. 2π+2 B. 3π C. D. +2
11. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）


A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
12. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是（　　）
A. a2+b2=5c2
B. a2+b2=4c2
C. a2+b2=3c2
D. a2+b2=2c2



二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
13. 计算：+=______．
14. 如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC=2BE=2，则CF的长为______．


15. 已知关于x的一元二次方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．
16. 如图，矩形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN=______cm．




17. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是______个．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
18. 如图，在直角坐标系中，直线y1=ax+b与双曲线y2=（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC=3，tan∠ACO=．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．









四、解答题（本大题共6小题，共44.0分）
19. 解方程组：












20. 已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=BC．
求证：△ABC≌△DCE．













21. 某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有______人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a=______，话题D所在扇形的圆心角是______度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？







22. 如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A=45°，∠B=30°，BC=100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？









23. 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF=h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC=2R•h；
（3）设∠BAC=2α，求的值（用含α的代数式表示）．









24. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（-2，0），B，C三点的抛物线y=ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE=45°，求点P的坐标．










答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：∵2的相反数是-2，
∴a=2．
故选：A．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．
本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．
2.【答案】D

【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C

【解析】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，
将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．
故选：C．
根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．
本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键．
4.【答案】C

【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=50°，
∴∠CAB=90°-∠B=40°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=40°．
故选：C．
由AC⊥BC可得∠ACB=90°，又∠B=50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB=40°，再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°．
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
5.【答案】B

【解析】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；
B．a2•a3=a5，所以B选项正确；
C．a3÷a2=a，所以C选项错误；
D．（a2）3=a6，所以D选项错误；
故选：B．
A．根据合并同类项的定义即可判断；
B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；
C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；
D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．
本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
6.【答案】D

【解析】解：∵已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
根据计算器求锐角的方法即可得结论．
本题考查了计算器-三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
7.【答案】B

【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】B

【解析】解：原式=
=
=
=a-b．
故选：B．
根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】A

【解析】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE=PC，PD=PC，
∴PE=PC=PD，
设P（t，t），则PC=t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB=S矩形PEOD，
∴×t×（t-4）+×5×t+×t×（t-3）+×3×4=t×t，
解得t=6，
∴P（6，6），
把P（6，6）代入y=得k=6×6=36．
故选：A．
过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB=5，根据角平分线的性质得PE=PC=PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t-4）+×5×t+×t×（t-3）+×3×4=t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y=中求出k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
10.【答案】C

【解析】解：如图，

点O的运动路径的长=的长+O1O2+的长
=++
=，
故选：C．
利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】D

【解析】解：由图2知，AB=BC=10，
当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP=8），
当y=8时，PC===6，
△ABC的面积=×AC×BP=8×12=48，
故选：D．
由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP=8），即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
12.【答案】A

【解析】解：设EF=x，DF=y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF=AC=b，BD=a，
∴AF=2DF=2y，BF=2EF=2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=∠BFD=90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2=c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2=b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2=a2，③
②+③得5x2+5y2=（a2+b2），
∴4x2+4y2=（a2+b2），④
①-④得c2-（a2+b2）=0，
即a2+b2=5c2．
故选：A．
设EF=x，DF=y，根据三角形重心的性质得AF=2y，BF=2EF=2x，利用勾股定理得到4x2+4y2=c2，4x2+y2=b2，x2+4y2=a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．
13.【答案】2

【解析】解：+=-2+4=2．
故答案为：2
分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．
本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．
14.【答案】1

【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE=CF，
∵EC=2BE=2，
∴BE=1，
∴CF=1．
故答案为1．
利用平移的性质得到BE=CF，然后利用EC=2BE=2得到BE的长，从而得到CF的长．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
15.【答案】m＜

【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-1，c=2m
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×2m＞0，
解得m＜，
故答案为m＜．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16.【答案】5

【解析】解：连接AC，FC．

由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴FM⊥BE，
∴F．M，C共线，FM=MC，
∵AN=FN，
∴MN=AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC===10（cm），
∴MN=AC=5（cm），
故答案为5．
连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】210

【解析】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x-1）个服务驿站发给该站的货包共（x-1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n-x）个服务驿站的货包共（n-x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n-1
2
（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
3
2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）
4
3（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）
5
4（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）
…
…
n
0
由上表可得y=x（n-x）．
当n=29时，y=x（29-x）=-x2+29x=-（x-14.5）2+210.25，
当x=14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x=-时取得．
18.【答案】解：（1）设直线y1=ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC=3，tan∠ACO=．
∴OD=2，
即点D（0，2），
把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1=ax+b得，b=2，3a+b=0，解得，a=-，
∴直线的关系式为y1=-x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1=-x+2得，
m=-3，n=-2，
∴A（-3，4），B（6，-2），
∴k=-3×4=-12，
∴反比例函数的关系式为y2=-，
因此y1=-x+2，y2=-；
（2）由S△AOB=S△AOC+S△BOC，
=×3×4+×3×2，
=9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜-3．

【解析】（1）根据OC=3，tan∠ACO=，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；
（2）由S△AOB=S△AOC+S△BOC，进行计算即可；
（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．
19.【答案】解：，
①+②，得：5x=10，
解得x=2，
把x=2代入①，得：6+y=8，
解得y=4，
所以原方程组的解为．

【解析】利用加减消元法解答即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．

【解析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出∠B=∠DCE，由SAS即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】200  25  36

【解析】解：（1）调查的居民共有：60÷30%=200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的居民有：200×15%=30（人），
选择A的有：200-60-30-20-40=50（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）a%=50÷200×100%=25%，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×=36°，
故答案为：25，36；
（4）10000×30%=3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．
（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；
（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°=，BC=1000千米，
∴CD=BC•sin30°=100×=50（千米），
BD=BC•cos30°=100×=50（千米），
在直角△ACD中，AD=CD=50（千米），
AC==50（千米），
∴AB=50+50（千米），
∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC-AB=50+100-（50+50）=50+50-50≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，
-=50，
解得x=0.14，
经检验x=0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．

【解析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间-实际的工作时间=50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
23.【答案】解：（1）如图1，连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
又∵OD是半径，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，

∵AH是直径，
∴∠ABH=90°=∠AFC，
又∵∠AHB=∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB•AC=AF•AH=2R•h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC=2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=α，
∴=，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ=DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），
∴BQ=CP，
∵DQ=DP，AD=AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），
∴AQ=AP，
∴AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ，
∵cos∠BAD=，
∴AD=，
∴==2cosα．

【解析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD，可得=，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；
（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；
（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ=CP，AQ=AP，可得AB+AC=2AQ，由锐角三角函数可得AD=，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．
24.【答案】解：（1）OA=2=BC，故函数的对称轴为x=1，则x=-=1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a-2b+②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：y=-x2+x+③；

（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|=×OA×OB，则×6×|yR|=×2×，解得：yR=±④，
联立④③并解得，
故点R的坐标为（1+，4）或（1，4）或（1，-4）或（1-，-4）；

（3）作△PEQ的外接圆R，

∵∠PQE=45°，
故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，
当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，
点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），
则ME=4，ED=4-1=3，则MD=5，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P（1，2m），则PH=HE=HR=m，
则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED=S△MRD+S△MRE+S△DRE，
即×EM•ED=×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH，
∴4×3=×5×m+×4×m×3×m，解得m=60-84，
故点P（1，120-168）．

【解析】（1）OA=2=BC，故函数的对称轴为x=1，则x=-=1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a-2b+②，联立①②即可求解；
（2）△ADR的面积是▱OABC的面积的，则×AD×|yR|=×OA×OB，则×6×|yR|=×2×，即可求解；
（3）∠PQE=45°，故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．