2022届高考一轮复习第四章导数专练_与三角函数相结合的问题（Word含答案解析）

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（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
解：（1），
当时，对任意，都有，
此时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，解得，令，解得，
此时的单调递减区间为，，单调递增区间为，；
（2）令，则，
①当时，，令，则，
当时，，即，
由（1）得，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，，即，
令，则，
在，单调递增，
当时，，
当时，，即；
②当时，因为，
所以存在，使得当，，
所以在单调递减，
所以，即，与条件矛盾，
综合①②，实数的取值范围为，．
2．已知是自然对数的底数，函数，，．
（1）若曲线在点，处的切线斜率为1，求的最小值；
（2）若当，时，有解，求实数的取值范围．
解：（1）由，得，
曲线在点，处的切线斜率为1，
，解得：，
，，
当，时，，，
，当，时，，，
，在，上单调递增，
，即的最小值是．
（2），设，，，
则当，时，有解，
，，
当，时，解，得，，
，，，，
，，，
，
的取值范围是，．
3．已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．
（1）试讨论的极值点；
（2）（Ⅰ）若，证明：当时，恒成立；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．
解：（1），则，
当时，，单调递增，无极值点，
当时，令，则，
令，则，单调递增，
令，则，单调递减，
的极小值点为，无极大值点，
综上：当时，无极值点，
当时，的极小值点为，无极大值点．
（2）（Ⅰ）证明：当时，设，
，
则，故在，上单调递增，
故当时，，故在，上单调递增，
故当时，，
故当时，恒成立．
（Ⅱ）设，
则，且，
则，且，
，，
，则在，上单调递增，
当时，，由于在，上单调递增，
则当时，，则在，上单调递增，
故，则在，上单调递增，
故，符合题意，
当时，，
利用（Ⅰ）中已证结论可得
由于在，上单调递增，，
故必然存在，使得时，，
则在上单调递减，
故当时，，
则在上单调递减，
则当时，，
综上，的取值范围为，．
4．已知定义在上的函数，．（其中常数是自然对数的底数，
（1）当时，求的极值；
（2）（ⅰ）若在，上单调递增，求实数的取值范围；
（ⅱ）当时，证明：．
解：（1）时，，
，
令，则，
故在单调递增，又，
当时，，
当时，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值是，无极大值；
（2），
若在，上单调递增，
则在，上恒成立，
显然当，时，，
不等式等价于，
下面证明，，，
即证，，，
即证，，，
由（1）可知，显然成立，
，，，
或者考虑亦可（由（1）可知，，，
又当时，，
，即实数的取值范围是，．
证明：先证当，时，有，
由（1）可知，当时，在，上单调递增，
当，时，，即，
当，时，，
，
再证当，时，有，
，
当，时，有，
即，，，
，
，，
，
将上述不等式累加得：，
又，
．
5．已知函数．
（1）当时，求在，上的最小值；
（2）当时，求函数在上零点的个数．
解：（1），
当，时，，，
当即时，在，上恒成立，
故在，上单调递减，（1），
当时，令，得，令，得，
故在，上递减，在，上单调递增，
，
综上，时，（1），
时，．
（2）由题设得，
故，
设，则，
当时，，即在上递减，
又，，且的图像连续，
故在上有唯一零点，
当时，，当时，，
故在内单调递增，在上单调递减，
又，，故，
又的图像连续不断，
故存在，使得，即此时有1个零点；
当，时，，在，内递减，
又，，的图像连续不断，
故存在一个，，使得；
当时，，，
故，从而在上没有零点，
综上，在上有2个零点．
6．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若存在正实数，使得当时，有对恒成立，求的值．
解：（1）当时，，
，
，，
故曲线在点，处的切线方程为：
，
即；
（2），函数的定义域是，
若存在正实数，使得时，有对恒成立，
则，且，
，，，
令，，
，，
①当时，，此时存在使得时，递增，
在递减，在递增，，
时，，不恒成立，不合题意，舍；
②当时，，
同理可得时，，不恒成立，不合题意，舍；
③当时，，
，，
存在，使得在单调递增，
时，，时，，
时，，，
在单调递增，
，
，时，，时，，
即恒成立，符合题意，
综上：．
7．已知函数，，．
（Ⅰ）讨论函数在，，上的单调性；
（Ⅱ）若方程在区间上有且只有一个实数根，求的取值范围．
解：（Ⅰ），令，
，
当时，，单调递减，当时，，单调递减，
所以当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）由题意得，即在区间上有且只有一个实数根，
令，则在上有且只有一个零点，
，
①当时，，所以，在上单调递增，
，所以在上无零点；
当时，令，所以，
所以存在唯一，使，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
因为，，
当时，即时，在上恒成立，在上无零点，不符合题意；
当时，即时，在上有且只有一个零点，符合题意．
综上，的取值范围是，．
8．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若函数在，（1）处的切线与直线垂直，求函数在，（1）处的切线方程．
（2）若对任意的，恒成立．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若函数，证明：．
解：（1），（1），
，（1），
，
即切线方程是：；
（2）由，
得，
即对恒成立，
即对恒成立，
设即对恒成立，
①当时，对恒成立，
；
②当时，，在上为增函数，
当时，，
，不合题意；
③当时，设在上为增函数，
又，（a），
所以使即，
所以，当时，，，为减函数，
当时，，，为增函数，
，
，
综上．
证明：因为所以，
要证明成立，
只需证明成立因为，所以，
原问题转化为证明；
①当，时，，，，
所以所以成立，
所以成立；
②当时，设，
，，
所以，所以在上为增函数，
所以（1），所以在上为增函数，
所以（1），所以，
所以成立，
综上：成立．