2022年高考数学一轮复习之排列组合与概率统计

这是一份2022年高考数学一轮复习之排列组合与概率统计，共52页。
2022年高考数学一轮复习之排列组合与概率统计
一．选择题（共12小题）
1．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
2．（2021•未央区校级模拟）某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是（　　）
（注：如图为随机数表的第8行和第9行）

A．07 B．25 C．42 D．52
3．（2021•宿州三模）教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，....，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．9号学生 B．300号学生 C．618号学生 D．816号学生
4．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（　　）

A．20 B．40 C．64 D．80
5．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（　　）
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
6．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
7．（2021•松山区校级模拟）随着网络技术的发展，非现金支付变得愈发流行，微信支付和支付宝支付就是两种常用的非现金支付方式．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15，则只用非现金支付的概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
8．（2021•遂宁模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如20＝3+17．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
10．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（　　）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
11．（2019•全国）（2+1）6的展开式中x的系数是（　　）
A．120 B．60 C．30 D．15
12．（2021•保定二模）若n为等差数列﹣4，﹣2，0，⋯中的第7项，则二项式展开式的中间项系数为（　　）
A．1120 B．﹣1120 C．1792 D．﹣1792
二．填空题（共4小题）
13．（2021•海淀区校级模拟）在某项技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替．已知甲乙成绩的中位数相等，那么a的值为　 　．

14．（2021•湖南模拟）已知x1，x2，x3，x4的平均数为4，则x1+1，x2+2，x3+3，x4+4的平均数为　 　．
15．（2021•齐齐哈尔三模）已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为　 　．
16．（2021•浙江模拟）两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有　 　种．（用数字作答）
1
2
3
4
5
6
三．解答题（共6小题）
17．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（2021•肥城市模拟）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝a+bx；②，若对于任意一点Pi（xi，yi）（i＝1，2，......n），过点Pi作与x轴垂直的直线，交函数y＝a+bx的图象于点Ai（xi'，yi'），交函数y＝c+的图象于点Bi（xi''，yi''），定义：，，若Q1＜Q2则用函数y＝a+bx来拟合y与x之间的关系更合适，否则用函数来拟合y与x之间的关系．
（1）给定一组变量P1（1，4），P2（2，5），P3（3，6），P4（4，6.5），P5（5，7），P6（6，8），对于函数与函数，试利用定义求Q1，Q2的值，并判断哪一个更适合作为点Pi（xi，yi）（i＝1，2，......6）中的y与x之间的拟合函数；
（2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求y与x的回归方程，并预测当x＝10时，y的值为多少．







6.62
16.82
0.3
28
0.4
14
﹣4.24
表中的，．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋅⋅⋅，（un，vn），其回归直线方程＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19．（2020•重庆模拟）从7名男学生和5名女学生中随机选出2名去参加社区志愿活动，
（1）一共有多少种选法？
（2）求选出的学生恰好男、女各1名的概率．
20．（2021•北京）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E（Y），试比较E（X）和E（Y）的大小．（直接写出结果）
21．（2021•湖南模拟）“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告．碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标．某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和．该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图．

（1）求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收．根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？
（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占10%．根据以上统计情况，补全下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．

考虑大气污染
没考虑大气污染
合计
新能源汽车车主



燃油汽车车主



合计



附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
5.024
6.635
7.879
10.828
22．（2021•甘肃模拟）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
（2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．


2022年高考数学一轮复习之排列组合与概率统计
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【考点】极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，
∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为：100×0.01＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关键，本题属于基础题．
2．（2021•未央区校级模拟）某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是（　　）
（注：如图为随机数表的第8行和第9行）

A．07 B．25 C．42 D．52
【考点】简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】从随机数表第9行第5列的数字1开始向右两位数字读取，大于60的数字要舍去，重复出现的数据只取1次，由此选出对应的样本个体．
【解答】解：根据题意，从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，
依次选出的号码数是：12，34，29，56，07，52；
所以第6个个体是52．
故选：D．
【点评】本题考查了随机数表法应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．（2021•宿州三模）教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，....，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．9号学生 B．300号学生 C．618号学生 D．816号学生
【考点】系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；数据分析．
【分析】根据被抽取到的学生的编号构成等差数列，利用等差数列的定义与通项公式计算即可．
【解答】解：记被抽取到的学生的编号为{an}，则{an}为等差数列，公差为d＝＝10，
所以an＝a1+10（n﹣1），
由an＝58，解得a1＝8，所以an＝10n﹣2，
所以编号为618的学生可以被抽取到．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的定义与通项公式应用问题，是基础题．
4．（2021•天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（　　）

A．20 B．40 C．64 D．80
【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；演绎法；概率与统计；数据分析．
【分析】由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间[82，86）内的影视作品数量即可．
【解答】解：由频率分布直方图知，
评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，
故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题．
5．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（　　）
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，
对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大，故选项A正确；
对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的区域大于（10，10.3）分布在10附近的区域，
故测量结果落在（9.9，10.2）内的概率大于落在（10，10.3）内的概率，故选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，解题的关键是利用正态分布曲线的对称性，属于基础题．
6．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】首先求得3个1和2个0随机排成一行的数量和2个0不相邻的数量，然后利用古典概型计算公式，求出2个0不相邻的概率．
【解答】解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，
满足题意的概率为 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属于基础题．
7．（2021•松山区校级模拟）随着网络技术的发展，非现金支付变得愈发流行，微信支付和支付宝支付就是两种常用的非现金支付方式．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15，则只用非现金支付的概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【考点】互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：非现金支付变得愈发流行，微信支付和支付宝支付就是两种常用的非现金支付方式．
某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15，
则只用非现金支付的概率为：
P＝1﹣0.45﹣0.15＝0.4．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算等知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8．（2021•遂宁模拟）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如20＝3+17．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】先求出总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：不超过15的素数2，3，5，7，11，13共6个，
随机选取两个不同的数，基本事件总数为，
其和等于18的基本事件有3+13，7+11，共2个，
所以所求概率为．
故选：B．
【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．
9．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；排列组合；数学运算．
【分析】5名志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可．
【解答】解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，
共有＝240种，
故选：C．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．
10．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（　　）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．
【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
＝6．
故选：C．
【点评】本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2019•全国）（2+1）6的展开式中x的系数是（　　）
A．120 B．60 C．30 D．15
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】由二项式定理及展开式的通项得：Tr+1＝（2）6﹣r＝26﹣rx，令＝1，解得r＝4，则（2+1）6的展开式中x的系数是22＝60，得解．
【解答】解：由二项式（2+1）6的展开式的通项为Tr+1＝（2）6﹣r＝26﹣rx，
令＝1，
解得r＝4，
则（2+1）6的展开式中x的系数是22＝60，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项，属中档题．
12．（2021•保定二模）若n为等差数列﹣4，﹣2，0，⋯中的第7项，则二项式展开式的中间项系数为（　　）
A．1120 B．﹣1120 C．1792 D．﹣1792
【考点】等差数列的通项公式；二项式定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】由题意利用等差数列的通项公式求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得二项式展开式的中间项系数．
【解答】解：∵n为等差数列﹣4，﹣2，0，⋯中的第7项，∴n＝﹣4+6×2＝8，
则二项式展开式的中间项为 T5＝•24•（﹣1）4•x4，
故二项式展开式的中间项系数为 •24•（﹣1）4＝1120，
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
13．（2021•海淀区校级模拟）在某项技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替．已知甲乙成绩的中位数相等，那么a的值为　2　．

【考点】茎叶图．菁优网版权所有
【专题】数形结合；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】由茎叶图求出乙的中位数，得出甲的中位数，从而求得a的值．
【解答】解：由茎叶图知，乙的成绩从小到大排列为：18，18，20，20，24，28，所以中位数是20；
所以甲的成绩按从低到高排列：16，18，18，20+a，24，28，
计算甲的中位数是×（18+20+a）＝20，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数问题，是基础题．
14．（2021•湖南模拟）已知x1，x2，x3，x4的平均数为4，则x1+1，x2+2，x3+3，x4+4的平均数为　6.5　．
【考点】众数、中位数、平均数．菁优网版权所有
【专题】整体思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据平均数的定义求出x1+x2+x3+x4的值，再求x1+1，x2+2，x3+3，x4+4的平均数．
【解答】解：由平均数的定义知，×（x1+x2+x3+x4）＝4，
所以x1+x2+x3+x4＝16，
所以×（x1+1+x2+2+x3+3+x4+4）＝×（16+10）＝6.5，
即x1+1，x2+2，x3+3，x4+4的平均数为6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了平均数的定义与应用问题，是基础题．
15．（2021•齐齐哈尔三模）已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为　0.7　．
【考点】条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】直接利用条件概率的计算公式，运算求得结果．
【解答】解：设一个这种元件使用1年的事件为A，使用2年的事件为B，
则．
故答案为：0.7．
【点评】本题考查了条件概率，正确利用条件概率的计算公式是关键，属于基础题．
16．（2021•浙江模拟）两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有　30　种．（用数字作答）
1
2
3
4
5
6
【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】确定从1到6号格子逐格定色，不妨设1和2分别为黑白，则3号有两种情况：①红，②黑，分别求解两种情况即可得到答案．
【解答】解：从1到6号格子逐格定色，不妨设1和2分别为黑白，则3号有两种情况：
①3号为红，此时有种情形；
②3号为黑，此时4号显然不能为白，4到6号只能为红白红，此时有种情形．
综上所述，可能的放球方法共有24+6＝30种．
故答案为：30．
【点评】本题考查了排列组合的应用，主要考查了分类计数原理和分步计数原理的理解和应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
三．解答题（共6小题）
17．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【考点】独立性检验．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
（2）根据2×2列联表，求出K2，再将K2的值与6.635比较，即可得出结论；
【解答】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据2×2列联表，可得K2＝
＝≈10.256＞6.635．
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
【点评】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
18．（2021•肥城市模拟）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝a+bx；②，若对于任意一点Pi（xi，yi）（i＝1，2，......n），过点Pi作与x轴垂直的直线，交函数y＝a+bx的图象于点Ai（xi'，yi'），交函数y＝c+的图象于点Bi（xi''，yi''），定义：，，若Q1＜Q2则用函数y＝a+bx来拟合y与x之间的关系更合适，否则用函数来拟合y与x之间的关系．
（1）给定一组变量P1（1，4），P2（2，5），P3（3，6），P4（4，6.5），P5（5，7），P6（6，8），对于函数与函数，试利用定义求Q1，Q2的值，并判断哪一个更适合作为点Pi（xi，yi）（i＝1，2，......6）中的y与x之间的拟合函数；
（2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求y与x的回归方程，并预测当x＝10时，y的值为多少．







6.62
16.82
0.3
28
0.4
14
﹣4.24
表中的，．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋅⋅⋅，（un，vn），其回归直线方程＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【考点】线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）对于函数，当x分别取1，2，3，4，5，6时对应的函数值为，求解Q1，对于函数，当x分别取1，2，3，4，5，6时对应的函数值为，求解Q2，即可判断结果．
（2）在中，令，所以有y＝c+dω，建立y关于ω的线性回归方程为y＝c+dω，求出回归直线方程，然后求解x＝10时的预报值即可．
【解答】解：（1）对于函数，当x分别取1，2，3，4，5，6时对应的函数值为，
此时………（2分）
对于函数，当x分别取1，2，3，4，5，6时对应的函数值为，
此时…（4分）
从而有Q1＞Q2，
因此由定义得选用函数更适合作为点Pi（xi，yi）（i＝1，2，......6）中的y与x之间的拟合函数． …………………（6分）
（2）在中，令，所以有y＝c+dω，
于是可建立y关于ω的线性回归方程为y＝c+dω，
所以，…………………………………………（8分）
，
所以y关于ω的线性回归方程为，
因此y关于x的回归方程为，…………………………………………（10分）
当x＝10时，，即可预测当x＝10时，y的值为18.94．……（12分）
【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（2020•重庆模拟）从7名男学生和5名女学生中随机选出2名去参加社区志愿活动，
（1）一共有多少种选法？
（2）求选出的学生恰好男、女各1名的概率．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】（1）直接用组合数公式作．
（2）找出选出的学生恰好男、女各1名的选法，相比即可．
【解答】解：（1）从12名学生中随机选出2名同学有C＝66种方法．
（2）选出的学生恰好男、女各1名有CC＝35种方法，
则选出的学生恰好男、女各1名的概率P＝．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
20．（2021•北京）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E（Y），试比较E（X）和E（Y）的大小．（直接写出结果）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1））①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，即可得出结论．
②由题意可得：X＝20，30．由已知可得：P（X＝20）＝，进而得出P（X＝30）及其分布列与数学期望．
（2）E（X）＜E（Y）．
【解答】解：（1））①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
②由题意可得：X＝20，30．
P（X＝20）＝，P（X＝30）＝．
可得分布列：
X
20
30
P


E（X）＝20×+30×＝．
（2）由题意可得：Y＝25，30．
P（Y＝25）＝20×＝，P（Y＝30）＝．
可得分布列：
Y
25
30
P


E（Y）＝25×+30×＝＞＝．
E（X）＜E（Y）．
【点评】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（2021•湖南模拟）“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告．碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标．某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和．该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图．

（1）求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收．根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”？
（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占10%．根据以上统计情况，补全下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．

考虑大气污染
没考虑大气污染
合计
新能源汽车车主



燃油汽车车主



合计



附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】（1）由（0.005+a+0.35+0.25+a+0.05）×1＝1，解得a，再结合频率分布直方图计算，即可得出答案．
（2）根据题意，得×200，即可得出答案．
（3）补全的2×2列联表，计算K2与6.635比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）由（0.005+a+0.35+0.25+a+0.05）×1＝1，
解得a＝0.15，
设为汽车5年内所行驶里程的平均值，
则＝3.5×0.05+4.5×.15+5.5×0.35+6.5×0.25+7.5×0.15+8.5×0.05＝5.95（万千米）．
（2）由（1）可知，一辆汽车1年内所行驶的里程的平均值为＝1.19（万千米），
因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收，
所以每一辆汽车平均需要1.19×200＝238（棵）树才能达到“碳中和”．
（3）补全的2×2列联表如下：

考虑大气污染
没考虑大气污染
合计
新能源汽车车主
10
40
50
燃油汽车车主
25
225
250
合计
35
265
300
所以K2＝≈4.04，
因为4.04＜6.635，
所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．
【点评】本题考查概率与统计，独立性检验，属于中档题．
22．（2021•甘肃模拟）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：
一分钟跳绳个数
[165，175）
[175，185）
[185，195）
[195，205）
[205，215]
得分
16
17
18
19
20
（1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
（2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．

【考点】频率分布直方图；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）由频率之和为1，可计算区间[195，205）的频率/组距，从而作出频率分布直方图，再由中位数的性质，即可得解；
（2）先计算一分钟跳绳个数在[165，175），[175，185）和[185，195）的人数，可知“潜力队”的两人组合有4种情况，再结合组合数与古典概型，即可得解．
【解答】解：（1）[195，205）的频率为1﹣10×（0.005+0.006+0.009+0.05）＝0.3，
∴频率/组距为0.03，
补全频率分布直方图如图所示，

∵（0.005+0.009）×10＝0.14＜0.5，
（0.005+0.009+0.05）×10＝0.64＞0.5，
∴样本的中位数落在[185，195），
设中位数为m，则0.14+（m﹣185）×0.05＝0.5，
解得m＝192.2，
故样本中位数为192.2．
（2）一分钟跳绳个数在[165，175）的可得16分，人数为100×0.005×10＝5人；
一分钟跳绳个数在[175，185）的可得17分，人数为100×0.009×10＝9人；
一分钟跳绳个数在[185，195）的可得18分，人数为100×0.05×10＝50人，
∴“潜力队”的两人组合有4种情况，得分之和分别为32，33，34，34，
∴恰好选到“潜力队”的概率P＝＝．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质与数字特征，组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．

考点卡片
1．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an＝，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为　　
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
2．简单随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．特点：
（1）有限性：总体个体数有限；
（2）逐个性：每次只抽取一个个体；
（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；
（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于）
3．适用范围：总体中个数较少．
4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．

【常用方法】
1．抽签法（抓阄法）
一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：
（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；
（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；
（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取k次；
（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．
2．随机数表法．
○随机数表：由0﹣9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．
○随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．
实现步骤：
（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；
（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；
（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．

【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．
（1）考查简单随机抽样的特点
例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（　　）
A.B.C.D.
分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．
解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为×5＝．
故选：B．
点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样
常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．
例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（　　）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．
解答：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．
（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作
例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（　　）

A.841B.114 C.014 D.146
分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．
解答：最先读到的1个的编号是389，
向右读下一个数是775，775它大于499，故舍去，
再下一个数是841，舍去，
再下一个数是607，舍去，
再下一个数是449，
再下一个数是983．舍去，
再下一个数是114．
读出的第3个数是114．
故选B．
点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．
3．系统抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
2．系统抽样的特征：
（1）当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样；
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为k＝
（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；
（4）每个个体被抽到的可能性相等
3．系统抽样与简单随机抽样的关系：
（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的．
4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：
（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本；
（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；
（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．
【解题方法点拨】
系统抽样的一般步骤：
（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N为总体个数，n为样本容量）：
①当时，k＝，
②当时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n整除，这时k＝
（注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段）
（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（l∈N，l≤k）；
（4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．
【命题方向】
1．考查系统抽样的定义
例：某小礼堂有25排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留下了座位号是15的25名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（　　）
A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
分析：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．
解答：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，
故选C．
点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题．
2．考查系统抽样的应用
例：将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是　　
分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．
解答：∵样本容量为20，首个号码为003，
∴样本组距为100÷20＝5
∴对应的号码数为3+5（x﹣1）＝5x﹣2，
由48≤5x﹣2≤81，
得10≤x≤16.6，
即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7个，
故答案为：7．
点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础．
4．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．

2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：

5．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：

2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
6．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点

【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．

（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
7．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数＝（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2＝[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S＝．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
8．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程，则＝
解：，因为回归直线必过样本中心（），
所以．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
9．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：

4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
10．互斥事件的概率加法公式
【知识点的知识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
11．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
12．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．

2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
13．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
14．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（A∩B），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝

【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是　　．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝＝
故答案为：

典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．

【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（∅|B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
15．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质

（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．

【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．

典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．

典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（　　）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．

题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解　（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．

典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．

题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝　　．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．

题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有　　辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．

典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．

【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
16．计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
共同点
都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事
n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
【解题方法】
1．计数原理的应用
（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；
（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．
2．解题步骤
（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；
（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
（4）作答．

【命题方向】
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．
常见考题类型：
（1）映射问题
（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）
（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）
17．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
18．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
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日期：2021/8/27 16:26:27；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118