2022年高考数学一轮复习之空间向量与立体几何

这是一份2022年高考数学一轮复习之空间向量与立体几何，共41页。
2022年高考数学一轮复习之空间向量与立体几何
一．选择题（共12小题）
1．（2019•全国）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（　　）
A．2x+y﹣z+2＝0 B．2x+y+z﹣6＝0 C．2x+y+z﹣4＝0 D．2x+y﹣z﹣3＝0
2．（2019•上海）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
3．（2020•江苏模拟）若向量＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件•＝0，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2020•西城区校级模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为（　　）
A． B． C． D．1
5．（2019•宝山区二模）设向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（　　）
A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）
B．的最大值为
C．与的夹角的最大值为
D．ad+bc的最大值为1
6．（2020•肥城市模拟）已知＝（x，﹣4，2），＝（3，y，﹣5），若⊥，则x2+y2的取值范围为（　　）
A．[2，+∞） B．[3，+∞） C．[4，+∞） D．[5，+∞）
7．（2019•黄浦区校级三模）已知光线沿向量照射，遇到直线l后反射，其中是直线l的一个方向向量，是直线l的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021•大连二模）点P为边长为1的正四面体ABCD底面BCD内一点，且直线AP与底面BCD所成角的正切值为，则动点P所在曲线长度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021•金华模拟）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点MN分别为BCC1D1的中点，点P在线段AB上，记二面角N﹣PM﹣D的平面角大小为a，则当点P从A向B运动的过程中，角a的变化情况是（　　）
A．一直变大 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
10．（2021•二模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点（包含边界）．若EF∥平面BB1D1D，且线段EF长度的最小值为，则a＝（　　）

A． B．2 C． D．3
11．（2021•北京模拟）若平面α与β的法向量分别是＝（2，4，﹣3），＝（﹣1，2，2），则平面α与β的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
12．（2018•商丘三模）已知||＝1，||＝，且⊥（），则向量在方向上的投影为（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•南通模拟）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝．现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'．设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为 　 　．
14．（2021•沙坪坝区校级模拟）水平桌面α上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为2的大球，它和下面4个球恰好都相切，则大球的球心到水平桌面α的距离是 　 　．
15．（2020•山东）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 　 　．
16．（2021•湖南模拟）已知二面角α﹣l﹣β的大小为140°，直线a，b分别在平面α，β内且都垂直于棱l，则a与b所成角的大小为　 　．
17．（2021•广东模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则当CD＝1时，球O的表面积为　 　；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为　 　．

三．解答题（共5小题）
18．（2020秋•隆德县期末）已知．
（1）若，求实数m的值：
（2）若m＝2，求的值．
19．（2020秋•历下区校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；
（2）求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
20．（2021•5月份模拟）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝2AB＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，CF＝2，平面EDCF⊥平面ABCD．
（1）求证：平面BDF⊥平面DCF；
（2）求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．

21．（2013•三明模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的侧视图的面积．

22．（2011•湖南一模）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．


2022年高考数学一轮复习之空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2019•全国）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（　　）
A．2x+y﹣z+2＝0 B．2x+y+z﹣6＝0 C．2x+y+z﹣4＝0 D．2x+y﹣z﹣3＝0
【考点】空间点、线、面的位置．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】设与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为2x+y﹣z+k＝0，代入点的坐标求出k的值即可．
【解答】解：设与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为2x+y﹣z+k＝0，
代入点（1，﹣1，3），得2×1﹣1﹣3+k＝0，解得k＝2，
则所求的平面方程为2x+y﹣z+2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了空间直角坐标系与平面方程的应用问题，是基础题．
2．（2019•上海）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．
【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），
故选：D．
【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．
3．（2020•江苏模拟）若向量＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件•＝0，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】空间向量的数量积运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【分析】直接代入数量积求解即可．
【解答】解：因为＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件＝0，
即2﹣3x+4＝0⇒x＝2；
故选：D．
【点评】本题主要考查向量数量积的运算，属于基础题．
4．（2020•西城区校级模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为（　　）
A． B． C． D．1
【考点】空间向量运算的坐标表示．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间向量及应用；直观想象．
【分析】如图，此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形是△ABD，由此能求出此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积．
【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），
如图，此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形是△ABD，
∴此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为：
S△ABD＝．
故选：B．

【点评】本题考查四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2019•宝山区二模）设向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，则下列判断错误的是（　　）
A．向量与z轴正方向的夹角为定值（与c，d之值无关）
B．的最大值为
C．与的夹角的最大值为
D．ad+bc的最大值为1
【考点】空间向量运算的坐标表示．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．
【分析】在A中，取z轴的正方向向量＝（0，0，t），求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算＝ac+bd，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【解答】解：由向量，其中a2+b2＝c2+d2＝1，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量＝（0，0，t），
向量与z轴正方向的夹角的余弦值：
cosα＝＝＝，∴α＝45°，
∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中，＝ac+bd≤＝＝1，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得：||≤1，∴﹣1≤≤1，
∴cos＜＞＝＝≥﹣＝﹣，
∴与的夹角的最大值为，故C正确；
在D中，ad+bc≤+＝＝1，
∴ad+bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
6．（2020•肥城市模拟）已知＝（x，﹣4，2），＝（3，y，﹣5），若⊥，则x2+y2的取值范围为（　　）
A．[2，+∞） B．[3，+∞） C．[4，+∞） D．[5，+∞）
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．菁优网版权所有
【专题】转化法；直线与圆；空间向量及应用；数学运算．
【分析】由⊥，可得•＝3x﹣4y﹣10＝0，求出原点到直线的距离d，即可得出x2+y2的取值范围．
【解答】解：∵⊥，∴•＝3x﹣4y﹣10＝0，
原点到直线的距离d＝＝2．
则x2+y2的取值范围为[4，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（2019•黄浦区校级三模）已知光线沿向量照射，遇到直线l后反射，其中是直线l的一个方向向量，是直线l的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用．
【分析】可设反射光线的方向向量为＝x+y，显然，不共线，排除A；再由向量的夹角公式，以及数量积的性质，可判断结论．
【解答】解：可设反射光线的方向向量为＝x+y，
显然，不共线，排除A；
由题意可得•＝0，
且cos＜，＞＝﹣cos＜，＞，可得＝﹣，
即＝﹣，
可得x||＝﹣m||，
可得x2（m22+p22）＝m2（x22+y22），
即有x2p2＝m2y2，
选项B，x＝m，y＝﹣p恒成立；
选项C，x＝﹣p，y＝m不恒成立；
选项D，x＝﹣p，y＝﹣m不恒成立；
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的数量积的定义和性质，考查化简运算能力，推理能力，属于中档题．
8．（2021•大连二模）点P为边长为1的正四面体ABCD底面BCD内一点，且直线AP与底面BCD所成角的正切值为，则动点P所在曲线长度为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】画出图形，求出正四面体的高，结合直线AP与底面BCD所成角的正切值为，求出底面半径OP，然后转化求解动点P所在曲线长度．
【解答】解：由题意如图，AO是正四面体的高，
O是底面的中心，正四面体的列出为1，
所以BE＝，BO＝，AO＝＝，
OE＝，直线AP与底面BCD所成角的正切值为，
所以＝，OF＝，所以cos∠FOE＝＝＝，
所以∠FOE＝，
所以动点P所在曲线长度为半径为的圆周长的一半．
故选：C．

【点评】本题考查中心与平面所成角的求法，P的轨迹的判断，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
9．（2021•金华模拟）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点MN分别为BCC1D1的中点，点P在线段AB上，记二面角N﹣PM﹣D的平面角大小为a，则当点P从A向B运动的过程中，角a的变化情况是（　　）
A．一直变大 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；空间角；逻辑推理．
【分析】作图，由∠NFE即为二面角N﹣PM﹣D的平面角，得，而当点P从A向B运动的过程中，EF先增大后减小，由此可得答案．
【解答】解：由题可知，如图，

取CD的中点E，连接NE，作EF⊥PM于F，则∠NFE即为二面角N﹣PM﹣D的平面角，则，
其中点F在以ME为直径的圆周上运动，当点P从A向B运动的过程中，EF先增大后减小，所以tana先变小后变大．
故选：D．
【点评】本题考查立体几何中的动态问题，考查二面角的求法，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题．
10．（2021•二模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点（包含边界）．若EF∥平面BB1D1D，且线段EF长度的最小值为，则a＝（　　）

A． B．2 C． D．3
【考点】点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】在侧面AA1D1D上，找出与平面平行的直线，然后利用线段EF长度的最小值为，求解a即可．
【解答】解：取AD，A1D1的中点H，G，连接HG，HE，HG，可知HE∥BD，HG∥DD1，可知平面EHG∥平面BB1D1D，
所以F在坐标HG上，满足EF∥平面BB1D1D，
线段EF长度的最小值为，即EH＝，所以BD＝2，
所以a＝2，
故选：B．

【点评】本题考查空间距离的运算，考查空间直线位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
11．（2021•北京模拟）若平面α与β的法向量分别是＝（2，4，﹣3），＝（﹣1，2，2），则平面α与β的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．
【解答】解：＝﹣2+8﹣6＝0
∴⊥
∴平面α与平面β垂直
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．
12．（2018•商丘三模）已知||＝1，||＝，且⊥（），则向量在方向上的投影为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】向量的投影．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．
【分析】根据两向量垂直时数量积为0求得•的值，
再根据向量在方向上的投影定义计算即可．
【解答】解：||＝1，||＝，且⊥（），
∴•（﹣）＝﹣•＝0，
∴•＝＝1，
∴向量在方向上的投影为
||cosθ＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量投影的定义，是基础题．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•南通模拟）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝．现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'．设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为 　﹣　．
【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象．
【分析】确定多面体外接球球心的一般思路：过两个相交平面的外心分别做该平面的垂线，垂线的交点即为球心．根据折叠过程的对称性，及题意所求的二面角，分别找到过等边△ABC，等边△D’AC的外心的垂线，交点为球心，再结合平面几何知识求解即可．
【解答】解：设球的半径为R，由表面积4πR2＝8π，得．如图（1），设△ABC、△D'AC的外心分别为O1，O2，
过O1，O2分别做平面ABC，平面D'AC的垂线，两条垂线的交点即为球心O．
如图（2），设AC中点为E，由对称性知∠D'EO＝∠BEO，设为θ，则2θ为二面角B﹣AC﹣D'所成平面角的大小．
由正弦定理得，所以，
所以，．
故答案为．
【点评】考查多面体的外接球问题的求法，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题．
14．（2021•沙坪坝区校级模拟）水平桌面α上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为2的大球，它和下面4个球恰好都相切，则大球的球心到水平桌面α的距离是 　+1　．
【考点】点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；球；直观想象；数学运算．
【分析】由题意可知：球心的连线组成底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，即可顶点小球的球心到水平桌面α的距离．
【解答】解：水平桌面α上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．
在这4个球的上面放1个半径为2的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，求得它的高为，
所以小球的球心到水平桌面α的距离是+1．
故答案为：+1．
【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，球的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．
15．（2020•山东）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 　　．
【考点】点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；分析法；空间位置关系与距离；直观想象．
【分析】画出直观图，建立如图所示的坐标系，设出P的坐标，通过D1P＝．求出P的轨迹方程，然后求解以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长．
【解答】解：由题意直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．可知：D1B1＝2，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y）为半径的球面上的点，过P作PE垂直B1C1的垂直，E为垂足，
则D1E2＝D1B12+x2﹣2•D1B1•xcos60°＝x2+4﹣2x．
由题意可知D1P＝．
可得：5＝x2+4﹣2x+（2﹣y）2．
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，
所以P在侧面BCC1B1的轨迹是以B1C1的中点为圆心，半径为的圆弧．
以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为：＝．
故答案为：．


【点评】本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，难度比较大．
16．（2021•湖南模拟）已知二面角α﹣l﹣β的大小为140°，直线a，b分别在平面α，β内且都垂直于棱l，则a与b所成角的大小为　40°　．
【考点】异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；空间角；逻辑推理；直观想象．
【分析】在棱l上任取一点O，作AO∥a，BO∥b，即可得到二面角的平面角，然后由等角定理求解即可．
【解答】解：在棱l上任取一点O，作AO∥a，BO∥b，如图所示，
因为a⊥l，b⊥l，且a⊂α，b⊂β，
所以∠AOB即为二面角α﹣l﹣β的平面角，
故∠AOB＝140°，
由等角定理可得，a与b所成角的大小为180°﹣140°＝40°．

【点评】本题考查了二面角的应用，等角定理的运用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义作出平面角，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
17．（2021•广东模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则当CD＝1时，球O的表面积为　6π　；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为　　．

【考点】球的体积和表面积；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）推导出PD＝2CD＝x（0＜x＜3），AB⊥PD，PD⊥AC，从而PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形成一个长方体，球O的球心为PB的中点，由此能求出球O的表面积．
（2）设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD的体积，则V'＝﹣x2+2x，由导数性质求出Vmax＝V（2），此时AD＝CD＝2，PD＝1．过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．由此能求出二面角A﹣PC﹣D的正切值．
【解答】解：（1）因为CD＝1，则PD＝2CD＝x（0＜x＜3）
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥AC，∴PD⊥平面ABCD，
则四棱锥P﹣ABCD可补形成一个长方体，球O的球心为PB的中点，
从而球O的表面积为．
（2）设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD的体积，
则V'＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V'＞0；当2＜x＜3时，V'＜0．
故Vmax＝V（2），此时AD＝CD＝2，PD＝1．
过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．
∵，∴．
故答案为：6π，．

【点评】本题考查球的表面积、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
三．解答题（共5小题）
18．（2020秋•隆德县期末）已知．
（1）若，求实数m的值：
（2）若m＝2，求的值．
【考点】空间向量的数量积运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．
【分析】（1）由空间向量的坐标运算求得+2﹣3，再求出m的值；
（2）由空间向量的数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以+2﹣3＝（6，﹣3，7﹣3m）＝（6，﹣3，1），
所以7﹣3m＝1，解得m＝2．
（2）若m＝2，则＝（0，0，2），+＝（2，0，5），
所以＝（2，﹣3，1）•（2，0，5）＝9．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算及空间向量的数量积运算，属于基础题．
19．（2020秋•历下区校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；
（2）求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
【考点】空间向量的数量积运算．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．
【分析】（1）根据＝λ，分别求出，在坐标，根据，得到关于λ的方程，解出即可求出D的坐标；
（2）分别求出•，求出其夹角，求出四边形的面积即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
解得：，故．
（2），
，，
，，
所以以BA，BC为邻边得平行四边形的面积为．
【点评】本题考查了向量共线，向量的垂直关系，考查向量数量积的运算，是一道常规题．
20．（2021•5月份模拟）如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC＝2AB＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，CF＝2，平面EDCF⊥平面ABCD．
（1）求证：平面BDF⊥平面DCF；
（2）求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．

【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）连接BD，推出BD⊥CD，CF⊥BD，然后证明BD⊥平面CDF，推出平面BDF⊥平面DCF．
（2）取BC中点G，连接DG．以D为原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的一个法向量，平面BEF的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角A﹣BE﹣F的余弦值即可．
【解答】（1）证明：连接BD，依题可得，，
∴BD2+CD2＝BC2，∴BD⊥CD，
又四边形EDCF为矩形，平面EDCF⊥平面ABCD，
∴CF⊥平面ABCD，∴CF⊥BD，
∵CF∩DC＝C，∴BD⊥平面CDF，
∴平面BDF⊥平面DCF．
（2）解：取BC中点G，连接DG．
如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），E（0，0，2），F（﹣1，1，2），
，，，
设平面ABE的一个法向量为＝（x，y，z），，
∴，
不妨设x＝2，y＝0，则z＝1，∴＝（2，0，1）；
设平面BEF的一个法向量为＝（x1，y1，z1），∴，即，
不妨设x1＝1，则y1＝1，z1＝1，＝（1，1，1），
设向量与n的夹角为θ，则⋅＝||⋅||⋅cosθ，
∴，
∴二面角A﹣BE﹣F的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21．（2013•三明模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的侧视图的面积．

【考点】简单空间图形的三视图；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；向量语言表述线线的垂直、平行关系．菁优网版权所有
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）证法一：利用线面平行的判定定理证明，在四棱锥P﹣ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，只需证明四边形AEFB是平行四边形，可得AE∥FB；
证法二：建立空间直角坐标系，设PB＝t，确定平面PBC的法向量＝（2，﹣1，0），证明＝0即可；
（Ⅱ）求得||＝，||＝，利用异面直线BC与PD成60°角，结合向量数量积公式，可求PB，从而可得侧视图的面积．
【解答】（Ⅰ）证法一：在四棱锥P﹣ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，
因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…（2分）
所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分）
则AE∥FB，
而AE⊄平面PBC，FB⊂平面PBC，…（5分）
∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　…（6分）
证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB＝t，则P（0，0，t），D（﹣1，2，0），C（1，2，0），A（﹣1，0，0），
所以E（﹣，1，），，…（2分）
设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，所以，即
取y＝﹣1，得到平面PBC的法向量为＝（2，﹣1，0）．
所以＝0，而AE⊄平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分）
（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，
设PB＝t（t＞0），则P（0，0，t），D（﹣1，2，0），C（1，2，0），
所以＝（﹣1，2，﹣t），＝（1，2，0），
则||＝，||＝，…（9分）
由已知异面直线BC与PD成60°角，所以•＝＝，
又•＝﹣1×1+2×2+（﹣t）×0＝3，
所以＝3，解得t＝，即PB＝，
所以侧视图的面积为S＝×2×＝．…（13分）

【点评】本题考查线面平行，考查异面直线所成角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．
22．（2011•湖南一模）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法；向量语言表述线线的垂直、平行关系．菁优网版权所有
【专题】证明题；综合题．
【分析】（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断＝0，即PN⊥AM；
（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出sinθ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；
（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P的位置．
【解答】解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）
从而＝（﹣λ，，﹣1），＝（0，1，），
＝（﹣λ）×0+×1﹣1×＝0，
所以PN⊥AM．（3分）
（2）平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），
则sinθ＝|sin（﹣＜，＞）|＝|cos＜，＞|
＝||＝（※）．（5分）
而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ＝除外，
由（※）式，当λ＝时，（sinθ）max＝，（tanθ）max＝2．（6分）
（3）平面ABC的一个法向量为＝＝（0，0，1）．
设平面PMN的一个法向量为＝（x，y，z），
由（1）得＝（λ，﹣1，）．
由
解得
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜，＞|＝||＝＝，
解得λ＝﹣．（11分）
故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．（12分）

【点评】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．

考点卡片
1．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
2．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
3．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

4．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
5．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
6．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作•，即•＝||||cos＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝•（）

（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：

利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则•＝　﹣7　
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴•＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
7．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
3．空间向量平行的条件：
（1）⇔，λ∈R
（2）若x2y2z2≠0，则⇔
4．空间向量垂直的条件：
⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥⇔（λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．
（2）⇔x1x2+y1y2+z1z2＝0
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为　　
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），则（+）•＝　　．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），则+＝（7，0，9）
又由＝（0，5，1），则（+）•＝（7，0，9）•（0，5，1）＝9
故答案为 9
点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（　　）
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．
解答：因为，，∥，
所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．
所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；
故选A．
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
8．向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的知识】
一、空间向量及其有关概念

语言描述
共线向量（平行向量）
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．

共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1）•＝||||cos＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算

＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和
+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差
﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积
•＝a1b1+a2b2+a3b3
共线
∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直
⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角

公式
cos＜，＞＝
9．空间点、线、面的位置
【知识点的知识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类

（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
10．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有•＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．

1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知

改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是

2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
11．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
12．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
13．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


14．向量语言表述线线的垂直、平行关系
【知识点的认识】
线线垂直与平行：
1．直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：
l1∥l2（或l1与l2重合）⇔∥
2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2⇔⊥⇔•＝0．
15．向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的知识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合⇔∥⇔存在实数t，使＝t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥⇔•＝0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
16．向量的投影
【知识点的知识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1）•＝||||cos＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2、向量的投影：||cosθ＝∈R，称为向量在方向上的投影．
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日期：2021/8/27 17:03:33；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118