人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数习题

第三章　3.3

A组·素养自测

一、选择题

1．幂函数y＝xα(α是常数)的图象(　B　)

A．一定经过点(0,0)　　　 B．一定经过点(1,1)

C．一定经过点(－1,1) D．一定经过点(1，－1)

[解析]　x＝1时，y＝1，所过点(1,1)．

2．下列函数中，定义域为R的是(　C　)

A．y＝x－2 B．y＝x

C．y＝x2 D．y＝x－1

[解析]　对A，由y＝x－2＝，知x≠0；

对B，由y＝x＝，知x≥0；

对D，由y＝x－1＝，知x≠0.

故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C．

3．已知幂函数f(x)的图象过点(16,4)，则f(2 015)等于(　B　)

A．2 0152 B．

C． D．

[解析]　由题意，设f(x)＝xm，则由题意知16m＝4，

所以m＝，故f(x)＝x，所以f(2 015)＝2 015＝.故选B．

4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　A　)

A．1,3 B．－1,1

C．－1,3 D．－1,1,3

[解析]　定义域为R的函数中，α可取1,3；若函数y＝xα为奇函数，α可取－1,1,3，故α取1,3.故选A．

5．函数y＝x－在区间[4,64]上的最大值为(　A　)

A． B．

C．2 D．8

[解析]　因为函数y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，所以该函数在[4,64]上单调递减，当x＝4时y取得最大值，最大值为4－＝，故选A．

6.如图所示，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　B　)

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2

C．－，－2,2， D．2，，－2，－

[解析]　要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.

二、填空题

7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)＝__x__.

[解析]　设f(x)＝xα，

由题意得＝3α，

∴3＝3α，∴α＝，∴f(x)＝x.

8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝__－3__.

[解析]　由题意得m2＋3m＋1＝1，

∴m2＋3m＝0，

∴m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1＝，

其图象不过原点，∴m＝－3.

9．若幂函数f(x)的图象过点，则f(x)的值域为__(0，＋∞)__.

[解析]　由题意设f(x)＝xm，由点在函数图象上得4m＝，解得m＝－2.

所以f(x)＝x－2＝，故其值域为(0，＋∞)．

三、解答题

10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．

[解析]　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2.

当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求，故m＝3.

11．已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.

(1)求m的值；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

[解析]　(1)因为f(4)＝，所以4m－＝，所以m＝1.

(2)由(1)知f(x)＝x－，

因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称

又f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)．

所以f(x)是奇函数．

(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)(1＋)，

因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋＞0，

所以f(x1)＞f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．

B组·素养提升

一、选择题

1．下列6个函数：y＝x，y＝x，y＝x－，y＝x，y＝x－2，y＝x2中，定义域为R的函数有(　B　)

A．2个　　　　　　　 B．3个

C．4个 D．5个

[解析]　函数y＝x，y＝x，y＝x2的定义域为R，函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，函数y＝x－及y＝x－2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R的函数有3个，应选择B．

2．(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m＝(　D　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

[解析]　由题意得m2－m－1＝1，

∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.

当m＝－1时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，∴m≠－1；

当m＝2时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m＝2.

3．(多选题)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　BD　)

A．0　　　　 B．1

C．－2　　　　 D．－3

[解析]　因为f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，

所以3m－5＜0，故m＜.

又因为m∈Z，所以m＝1,0，－1，－2，－3，….当m＝0时，

f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，

f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；

当m＝－2时，f(x)＝x－11，f(x)≠f(－x)不符合题意，当m＝－3时，f(x)＝x－14，f(x)＝f(－x)，符合题意，故选BD．

4．(多选题)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α是(　BCD　)

A．－1 B．1

C． D．3

[解析]　α依次取值时，y＝x－1＝，y＝x，y＝x＝，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数．

二、填空题

5．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为____.

[解析]　由题意可设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3，即2α＝3，所以f()＝()α＝2－α＝3－1＝.

6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3,9)，那么函数f(x)的单调递增区间是__[0，＋∞)__.

[解析]　由题设知f(3)＝9，

即3α＝9，所以α＝2.

所以f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．

7．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__.

[解析]　由题意可知函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，

∴2＝4α，∴α＝.∴y＝x.

∴当y＝3时，x＝3，∴x＝9.

三、解答题

8．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．

[解析]　∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函

数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．∴f(x)＝x4.

9．点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)？(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)<g(x)?

[解析]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，

因为点(，2)与点(－2，－)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，所以()α＝2，(－2)β＝－，

所以α＝2，β＝－1.

所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.

分别作出它们的图象，如图所示．

由图象知当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

当x＝1时，f(x)＝g(x)；

当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．