高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数当堂检测题，共7页。

1．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )
A．－1,3 B．－1,1
C．1,3 D．－1,1,3
2．函数y＝xeq \f(3,5)在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
3．幂函数f(x)＝xα的图象过点(－2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
4．幂函数y＝f(x)的图象经过点(4,2)，若0A．f(a)B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))C．f(a)D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
6．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
[提能力]
7．函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
8．(多选)已知函数f(x)＝xα图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有( )
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f(x)>1
D．若09．已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上为减函数，则实数m＝________.
[战疑难]
10．已知幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求实数k的值，并写出f(x)的解析式．
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在整数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(十六) 幂函数
1．解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \f(1,2)，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.
答案：C
2．解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝xeq \f(3,5)在(0,1]上是增函数．设f(x)＝xeq \f(3,5)，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)eq \f(3,5)＝－xeq \f(3,5)＝－f(x)，所以f(x)＝xeq \f(3,5)是奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝xeq \f(3,5)也是增函数．
当x＝0时，y＝0，故y＝xeq \f(3,5)在[－1,1]上是增函数且是奇函数．
答案：A
3．解析：由题意：4＝(－2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(x)＝x2的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：B
4．解析：设幂函数y＝f(x)＝xα.
由题意知：4α＝2，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝xeq \f(1,2).
∵0eq \f(1,b)>1>b>a>0，
∴f(a)答案：A
5．解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
6．解析：(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－eq \f(4,5).
此时m2－m－1≠0，故m＝－eq \f(4,5).
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－eq \f(2,5)，此时m2－m－1≠0，
故m＝－eq \f(2,5).
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
7．解析：令m2－m－1＝1得m＝－1或m＝2，
由于对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
当m＝－1时，f(x)＝x－3，不合题意．
当m＝2时，f(x)＝x3，满足题意．
∴f(a)＋f(b)＝a3＋b3，∵a＋b>0，ab<0，
∴f(a)＋f(b)>0.故选A.
答案：A
8．解析：将点(4,2)代入f(x)＝xα，得：2＝4α，则α＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \f(1,2).显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确；当x>1时，eq \r(x)>1，即f(x)>1，所以C正确；当若0答案：ACD
9．解析：∵y＝(m2－5m－5)x2m＋1是幂函数，∴m2－5m－5＝1，解得m＝6或m＝－1.当m＝6时，y＝x13，不满足在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，y＝x－1，满足在(0，＋∞)上为减函数，∴m＝－1.
答案：－1
10．解析：(1)由幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)在(0，＋∞)上单调递增，可得(2－k)(1＋k)>0，解得－1(2)存在．由(1)可知，g(x)＝－mx2＋(2m－1)x＋1，当m＝0时，g(x)＝1－x在[0,1]上单调递减，可得g(0)为最大值，且为1，不成立．
当m<0时，g(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝eq \f(2m－1,2m)>1，
所以g(x)的最大值为g(0)，
而g(0)＝1，所以不成立．
当m>0，即－m<0时，g(x)＝－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2m－1,2m)))2＋eq \f(1＋4m2,4m).
①若eq \f(2m－1,2m)≤0，即0②若eq \f(2m－1,2m)≥1，则易知m不存在；
③若0eq \f(1,2)，则g(x)在x＝eq \f(2m－1,2m)处取得最大值，所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－1,2m)))＝eq \f(1＋4m2,4m)＝5，解得m＝eq \f(5＋2\r(6),2)或m＝eq \f(5－2\r(6),2)(舍去)．
综上可知，满足条件的m存在，m＝eq \f(5＋2\r(6),2).