2021年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷 解析版，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各式中计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x5 B．x8÷x4＝x2 C．x3+x3＝x6 D．（﹣x2）3＝﹣x5
4．（3分）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置放于直线b上，若∠1＝24°，则∠2的度数是（　　）

A．66° B．96° C．114° D．156°
5．（3分）不等式4x＜3x+1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线与BC边所在直线交于点E．若AB＝5，BE＝1，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
8．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB交y轴于Q，若点P从点A出发，沿着直线AB上方抛物线运动到点B，则点Q经过的路径长为（　　）

A． B． C．3 D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）公报显示，2020年我国经济运行逐步恢复常态，全年国内生产总值约为1010000亿元，把1010000这个数用科学记数法表示为　 　．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好落在AB边上，则△CAA'周长为 　 　．

11．（3分）疫情当前，根据上级要求学生在校期间每天都要检测体温，小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.7，36.3，36.5，36.2，36.3，那么这组数据的平均数是 　 　．
12．（3分）如图，以△ABC各个顶点为圆心，6cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）

13．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的最小值是　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA与反比例函数y＝（x＞0）图象交于点A，将直线OA向上平移若干个单位长度得到直线BC，直线BC分别与y轴、反比例函数y＝（x＞0）图象交于B、C两点，若AO＝2BC，四边形OACB的面积为9，则k的值为 　 　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于P、Q两点，则下列结论中正确的有 　 　．（填序号即可）
①∠PAE＝∠PDQ；②PE2＝CE•AE；③2PF2＝BC•CF；④＝1．

三、简答题(每题8分，共16分)
17．（8分）化简求值：÷（），其中x＝．
18．（8分）如图，在△ABC中，D、E是边BC上两点，且∠ADC＝∠AEB，∠B＝∠C，求证：△BAD≌△CAE．

四、解答题（每题10分，共20分）
19．（10分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查的学生的人数为 　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校有学生2500人，请估计该校学生对视力保护重视程度为“非常重视”的人数．

20．（10分）A、B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒子里三张卡片上分别标有数字1、2、3．B盒子里三张卡片上分别标有数字5、6、7．这些卡片除数字外其余都相同，将两个盒子里的卡片充分摇匀．
（1）从A盒子里随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；
（2）从A、B两个盘子里各随机抽取一张卡片，请利用画树状图或列表的方法，求其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的概率．
五、解答题（每题10分，共20分）
21．（10分）如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝13米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

22．（10分）如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数y＝图象交于点C，点A（4，2）在正比例函数y＝k1x图象上，过A作AB⊥y轴，垂足为B，线段AB与反比例函数y＝图象交于点D，且BD：DA＝1：3，连接CD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求tan∠ADC的值．

六、解答题（每题10分，共20分）
23．（10分）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：
（1）求两名同学的速度分别是多少？
（2）请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；
（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．（不必写计算过程）

24．（10分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，线段BP的垂直平分线交OP于点C，连接BC．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB＝2，BP＝4，求OC的长．

七、解答题（本题12分）
25．（12分）基本模型：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AB、AC边上，且BD＝CE，求证：△BDC≌△CEB；
模型初探：（2）如图2，在△ABC中，D、E两点分别为BC、AC边上，且AC＝DC，∠AED＝∠B，求证：AB＝DE；
深入探究：（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC边上一点，且BD＝BC，点E为BC边上一点，连接ED；若∠ABD＝∠DEC，DE＝4，AB＝13，求BC的长．

八、解答题（本题14分）
26．（14分）已知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点C．

（1）如图1，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于点A和点B（3，0），对称轴为直线x＝1．
①求抛物线的解析式．
②点P为抛物线上一动点，PN⊥BC，垂点为N，当△PCN与△BOC相似时，直接写出P点坐标；
（2）点D为抛物线顶点，若抛物线上有且只有一个点Q的横坐标是纵坐标的2倍，且∠DCO＝45°，求a的值．

2021年辽宁省鞍山市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）2021的绝对值是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，正数的绝对值是它本身即可求出答案．
【解答】解：2021的绝对值即为：|2021|＝2021．
故选：A．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解，由于圆既是轴对称又是中心对称图形，故只考虑圆内图形的对称性即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、只是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
3．（3分）下列各式中计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x5 B．x8÷x4＝x2 C．x3+x3＝x6 D．（﹣x2）3＝﹣x5
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故此选项正确；
B、x8÷x4＝x2，故此选项错误；
C、x3+x3＝2x3，故此选项错误；
D、（﹣x2）3＝﹣x6，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置放于直线b上，若∠1＝24°，则∠2的度数是（　　）

A．66° B．96° C．114° D．156°
【分析】依据a∥b，即可得出∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE．
【解答】解：如图，

∵a∥b，
∴∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE＝24°+90°＝114°，
故选：C．
5．（3分）不等式4x＜3x+1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项即可解得不等式．
【解答】解：4x＜3x+1，
移项得：4x﹣3x＜1，
合并同类项得：x＜1，
在数轴上表示为：

故选：C．
6．（3分）如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD＝＝2，
在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，
∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，
故选：D．

7．（3分）在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线与BC边所在直线交于点E．若AB＝5，BE＝1，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．22 B．16 C．22或18 D．24 或16
【分析】分两种情况画出图形，由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】解：①如图1，当点E在线段AB上，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DEA，
∴AD＝AE＝BC，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AD＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（AD+AB）＝2×（4+5）＝18．
②如图2，当点E在AB的延长线上时，

同理可得AD＝AE，
∵AB＝5，BE＝1，
∴AE＝AB+BE＝5+1＝6，
∴平行四边形ABCD的周长为2×（AD+AB）＝2×（6+5）＝22．
故选：C．
8．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB交y轴于Q，若点P从点A出发，沿着直线AB上方抛物线运动到点B，则点Q经过的路径长为（　　）

A． B． C．3 D．
【分析】分别求出点A、B的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ的解析式，再求出它们与x轴的交点坐标即可解决问题．
【解答】解：对于y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝﹣3或1，

∵点A在点C的左侧，
∴A（﹣3，0），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
将A、B点代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+3，
∵PQ∥AB，
∴设PQ的解析式为：y＝x+a，
∵点Q经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，
∴方程﹣x2﹣2x+3＝x+a有两个实数根，
∴Δ＝9﹣4（a﹣3）＝0，
解得：a＝，
∴Q（0，），
当点P与点A重合时，点Q与点B重合时，此时点Q的坐标为（0，3），
点Q经过的路径长为2×＝，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）公报显示，2020年我国经济运行逐步恢复常态，全年国内生产总值约为1010000亿元，把1010000这个数用科学记数法表示为　1.01×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1010000＝1.01×106．
故答案为：1.01×106．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好落在AB边上，则△CAA'周长为 　6　．

【分析】由旋转的性质得：AC＝A'C，再根据∠A＝60°，可得△ACA'是等边三角形，从而得出△CAA'的周长．
【解答】解：由旋转的性质得：AC＝A'C，
又∵∠A＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，
∴△CAA'周长为2+2+2＝6，
故答案为：6．
11．（3分）疫情当前，根据上级要求学生在校期间每天都要检测体温，小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.7，36.3，36.5，36.2，36.3，那么这组数据的平均数是 　36.4℃　．
【分析】先根据平均数的定义列出算式，再求出平均数即可．
【解答】解：平均数是×（36.7+36.3+36.5+36.2+36.3）＝36.4（℃），
故答案为：36.4℃．
12．（3分）如图，以△ABC各个顶点为圆心，6cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 　18πcm2　．（结果保留π）

【分析】求出三角形的内角和，再根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：由图知，阴影部分的3个扇形的圆心角组成了三角形的3个内角，
∵三角形的内角和为180°，
又∵6cm为半径，
∴＝18π（cm2），
故答案为：18πcm2．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的最小值是　﹣2　．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，
∴，
∴a≥﹣2．
∴a的最小值是﹣2．
故答案是：﹣2．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 　8　．

【分析】根据角平分线的性质可得DE、DF的长，然后根据三角形面积公式可得答案．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，
∴DE＝DF＝2，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB•DE+AC•DF
＝×5×2+×3×2
＝5+3
＝8．
故答案为：8．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA与反比例函数y＝（x＞0）图象交于点A，将直线OA向上平移若干个单位长度得到直线BC，直线BC分别与y轴、反比例函数y＝（x＞0）图象交于B、C两点，若AO＝2BC，四边形OACB的面积为9，则k的值为 　8　．

【分析】连接AB、OC，作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，根据题意得出S△BOC＝3，通过证得△BCN∽△OAM，得出＝（）2＝4，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△BCN＝|k|，进而得出3+|k|＝|k|，从而求得k＝8．
【解答】解：连接AB、OC，作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，
∵AO＝2BC，OA∥BC，
∴S△AOB＝2S△BOC＝2S△ABC，
∵四边形OACB的面积为9，
∴S△BOC＝3，
∵OA∥BC，AM∥CN，
∴△BCN∽△OAM，
∴＝（）2＝4，
∴S△AOM＝|k|，
∴S△BCN＝|k|，
∵S△CON＝|k|，
∴3+|k|＝|k|，
∴|k|＝8，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于P、Q两点，则下列结论中正确的有 　①④　．（填序号即可）
①∠PAE＝∠PDQ；②PE2＝CE•AE；③2PF2＝BC•CF；④＝1．

【分析】①通过菱形矩形的性质，利用直角三角形锐角互补的性质即可求出；
②利用△APE≈△DCE，对应边成比例即可证明；
③通过相似三角形的判定与性质可得答案；
④通过证明△CQF∽△BFA，通过线段相等关系，化同分母相减即可．
【解答】解：①∵四边形AEFD为菱形，
∴∠PAE＝∠PFE，AF⊥DE，
∴∠PDQ+∠PQD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BF，
∴∠PFE+∠CQF＝90°，
∵∠PQD＝∠CQF，
∴∠PDQ＝∠PFE，
∴∠PAE＝∠PDQ，故①正确；
②由①知∠PAE＝∠PDQ，∠APE＝∠DCE＝90°，
∴△APE∽△DCE，
∴，
∵DE＝2PE，
∴2PE2＝AE•CE≠PE2，故②错误；
③∵∠EPF＝∠ABF，∠PFE＝∠BFA，
∴△PFE∽△BFA，
∴，
∵AF＝2PF，EF＝AD＝BC，
∴PF•AF＝2PF2•EF＝BC•BF≠BC•CF，故③错误；
④∵CQ∥AB，
∴△CQF∽△BFA，
∴，
∵EF＝AD＝BC，
∴BE＝BC﹣CE＝EF﹣CE＝CF，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝1，故④正确．
故答案为：①④．
三、简答题(每题8分，共16分)
17．（8分）化简求值：÷（），其中x＝．
【分析】根据分式的加减运算法则，乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷[+]
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝
＝．
18．（8分）如图，在△ABC中，D、E是边BC上两点，且∠ADC＝∠AEB，∠B＝∠C，求证：△BAD≌△CAE．

【分析】根据等腰三角形的判定求出AB＝AC，求出∠BDA＝∠CEA，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵∠BDA+∠ADC＝180°，∠CEA+∠AEB＝180，
又∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDA＝∠CEA，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（AAS）．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．（10分）某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查的学生的人数为 　80　人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校有学生2500人，请估计该校学生对视力保护重视程度为“非常重视”的人数．

【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图的“不重视”数据即可求出此次调查的学生的人数；
（2）结合（1）“重视”的人数为24人，进而可以补全条形统计图；
（3）根据样本估计总体的方法即可求出该校视力保护“非常重视”的人数．
【解答】解：（1）根据题意可知：此次调查的学生的人数为16÷20%＝80（人）；
故答案为：80；
（2）因为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），
所以“重视”的人数为24人，
补全的条形统计图如下：

（3）（人）．
答：该校视力保护“非常重视”约为125人．
20．（10分）A、B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒子里三张卡片上分别标有数字1、2、3．B盒子里三张卡片上分别标有数字5、6、7．这些卡片除数字外其余都相同，将两个盒子里的卡片充分摇匀．
（1）从A盒子里随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；
（2）从A、B两个盘子里各随机抽取一张卡片，请利用画树状图或列表的方法，求其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从A盒子里随机抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是奇数的概率为；
（2）画树状图如下：

共有9个等可能的结果，其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的结果有4个，
∴其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的概率为．
五、解答题（每题10分，共20分）
21．（10分）如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝13米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

【分析】根据已知条件得＝1：2.4＝，设CF＝5k，AF＝12k，根据勾股定理得到AC＝13k＝13，求得AF＝12，CF＝5，得到EF＝4+12＝16，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，设CD与EA交于F，

∵＝1：2.4＝，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝＝13k＝13，
∴k＝1，
∴AF＝12，CF＝5，
∵AE＝4，
∴EF＝4+12＝16，
∵∠AED＝48°，
∴tan48°＝＝＝1.11，
∴DF＝17.76，
∴CD＝17.76﹣5＝12.76（米）．
答：古树CD的高度约为12.76米．
22．（10分）如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数y＝图象交于点C，点A（4，2）在正比例函数y＝k1x图象上，过A作AB⊥y轴，垂足为B，线段AB与反比例函数y＝图象交于点D，且BD：DA＝1：3，连接CD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求tan∠ADC的值．

【分析】（1）根据题意求得D（1，2），然后根据待定系数法即可求得；
（2）作CE⊥AB于E，根据待定系数法求得正比例函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得C的坐标，即可求得CE＝DE＝1，解直角三角形即可求得tan∠ADC＝＝1．
【解答】解：（1）∵过A作AB⊥y轴，垂足为B，点A（4，2），
∴D的纵坐标为2，
∵BD：DA＝1：3，
∴D（1，2），
∵反比例函数y＝图象过点D，
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）作CE⊥AB于E，
∵点A（4，2）在正比例函数y＝k1x图象上，
∴2＝4k1，
∴k1＝，
∴正比例函数为y＝x，
解得或，
∴C（2，1），
∴E（2，2），
∴CE＝1，DE＝1，
∴tan∠ADC＝＝1．

六、解答题（每题10分，共20分）
23．（10分）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：
（1）求两名同学的速度分别是多少？
（2）请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；
（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．（不必写计算过程）

【分析】（1）根据题意找出等量关系，求出速度即可；
（2）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）求出C、D坐标，画出图象．
【解答】解：（1）两人相向而行，y代表距离，说明甲、乙两地相距1200m，
A点代表两人第一次相遇，AB代表两个人维续走，B点代表小华到达乙地，
一共1200m，小华用了20min，
∴小华速度：1200÷20＝60 （m/min），
在A点．两人相遇共走1200m，用时12min，
∴两人速度和：1200÷12＝100（m/min），
∴小明速度：100﹣60＝40（m/min），
∴小华的速度为60m/min，小明的速度为40m/min；
（2）小华到乙地时，时间是20，此时小明走20×40＝800，
∴B（20，800），A（12，0），
设AB解析式：y＝kx+b，
把A、B坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴线段AB所在直线的函数关系式为y＝100x﹣1200；
（3）C点：此时小明到达甲地，D点：两人第二次相遇，
C点横坐标为1200÷40＝30，
此时小华走了30×60＝1800米，相当于往回返走600米，
∴C（30，600），D点：两人再次相遇，
当x＝3600÷100＝36时，此时y值为0，
如图所示：

24．（10分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，线段BP的垂直平分线交OP于点C，连接BC．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB＝2，BP＝4，求OC的长．

【分析】（1）连接OB．由半径相等可得∠A＝∠OBA，根据线段BP的垂直平分线交OP于点C，可得BC＝PC，然后证明∠OBC＝90°，即可证明结论；
（2）证明Rt△ABD∽Rt△AOP，设⊙O的半径为r，则AD＝2r，对应边成比例可得r的值，再证明△OBD∽△CBP，求出BC的长，根据勾股定理可得OC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OB．

∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵线段BP的垂直平分线交OP于点C，
∴BC＝PC，
∴∠P＝∠CBP，
∵OP⊥AD，
∴∠A+∠P＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣（∠OBA+∠CBP）＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵OP⊥AD，
∴∠AOP＝90°，
∴∠ABD＝∠AOP，
∵∠DAB＝∠PAO，
∴Rt△ABD∽Rt△AOP，
设⊙O的半径为r，则AD＝2r，
∵AB＝2，BP＝4，
∴＝，
∴＝，
∴r＝（负值舍去），
在RtABD中，AD＝2r＝2，AB＝2，
∴BD＝＝＝2，
∵∠A+∠P＝90°，∠A+∠D＝90°，
∴∠P＝∠D，
∵∠OBD+∠CBD＝90°，∠PBC+∠CBD＝90°，
∴∠OBD＝∠CBP，
∴△OBD∽△CBP，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴OC＝＝＝．
七、解答题（本题12分）
25．（12分）基本模型：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AB、AC边上，且BD＝CE，求证：△BDC≌△CEB；
模型初探：（2）如图2，在△ABC中，D、E两点分别为BC、AC边上，且AC＝DC，∠AED＝∠B，求证：AB＝DE；
深入探究：（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC边上一点，且BD＝BC，点E为BC边上一点，连接ED；若∠ABD＝∠DEC，DE＝4，AB＝13，求BC的长．

【分析】（1）由“SAS”可证△BDC≌△CEB；
（2）如图2，在线段DC上截取DF＝AE，连接AF，由“SAS”可证△ADF≌△DAE，可得AF＝DE，∠AED＝∠AFD，由等腰三角形的判定可得AB＝AF＝DE；
（3）由“SAS”可证△DFC≌△CED，可得DE＝CF＝4，∠DFC＝∠DEC，由平行线的性质和等腰三角形的判定可求CF＝CG＝4，通过证明△ABD∽△CGD，可得，可求CD的长，通过证明△ABC∽△BCD，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BDC和△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS）；
（2）证明：如图2，在线段DC上截取DF＝AE，连接AF，

∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
又∵AD＝AD，AE＝DF，
∴△ADF≌△DAE（SAS），
∴AF＝DE，∠AED＝∠AFD，
∵∠AED＝∠B，
∴∠B＝∠AFD，
∴AB＝AF，
∴AB＝DE；
（3）解：如图3，在线段BD上截取DF＝CE，连接CF，过点C作CG∥AB，交BD的延长线于G，

∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，
又∵CD＝DC，DF＝CE，
∴△DFC≌△CED（SAS），
∴DE＝CF＝4，∠DFC＝∠DEC，
∵∠ABD＝∠DEC，
∴∠ABD＝∠DFC，
∵AB∥CG，
∴∠ABD＝∠G，
∴∠G＝∠DFC，
∴CF＝CG＝4，
∵AB∥CG，
∴△ABD∽△CGD，
∴，
∴，
∴CD＝，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠BDC＝∠BCD，
∴△ABC∽△BCD，
∴，
∴BC＝．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）已知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点C．

（1）如图1，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于点A和点B（3，0），对称轴为直线x＝1．
①求抛物线的解析式．
②点P为抛物线上一动点，PN⊥BC，垂点为N，当△PCN与△BOC相似时，直接写出P点坐标；
（2）点D为抛物线顶点，若抛物线上有且只有一个点Q的横坐标是纵坐标的2倍，且∠DCO＝45°，求a的值．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②分情况讨论结合相似三角形的性质和判定求解；
（2）先根据二次函数图象抛物线与直线的交点情况确定点D的坐标，再结合二次函数的性质分情况讨论．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于点A和点B（3，0），对称轴为直线x＝1．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式：y＝﹣；
②第一种情况，如图1，△BCO∽△CPN，∠PCN＝∠CBO，
∴CP∥AB，
∴点C与点P关于抛物线对称轴对称，
当x＝0时，y＝1，
∴点C坐标为（0，1），
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点P坐标为（2，1）；
第二种情况，如图2，△BCO∽△CPN，∠PCN＝∠CBO，
∴CM＝BM，
设CM＝BM＝m，则OM＝3﹣m，OC＝1，
在Rt△COM中，由勾股定理得：
1+（3﹣m）2＝m2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（，0），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，1）和M（，0）代入得
，
解得：，
∴直线CM的函数关系式为：y＝﹣，
由此联立方程组，
解得：或，
∴点P坐标为（，）；
第三种情况，如图3，，△BCO∽△PCN，∠PCN＝∠OCB，
过点P作PD∥y轴于点D，交直线BC于点E，
设直线CB的函数关系式为：y＝px+q，
把C，B两点坐标代入得：，
解得：，
∴CB关系式为：y＝﹣x+1，
设点E坐标为（n，﹣n+1），则点P坐标为（n，﹣n2+n+1），
∴PE＝﹣n+1﹣（﹣n2+n+1）＝n2﹣n，
PC2＝n2+（﹣n2+n+1﹣1）2＝﹣+，
∵PD∥y轴，
∴∠PEB＝∠OCB，
∵∠PCN＝∠OCB，
∴∠PEB＝∠PCN，
∴PE＝PC，
∴﹣+＝（n2﹣n）2，
解得：n＝﹣2，
当n＝﹣2时，y＝﹣n2+n+1＝﹣，
∴点P坐标为（﹣2，﹣），
综上所述：点P坐标为（2，1）或（，）或（﹣2，﹣）；
（2）∵抛物线上有且只有一个点Q的横坐标是纵坐标的2倍，
∴抛物线与直线y＝x有且只有一个公共点，
∴ax2+bx+1＝x，即ax2+（b﹣）x+1＝0只有一个实数根，
∴△＝（b﹣）2﹣4a＝0，
∴（b﹣）2＝4a，
由题意得，点D的坐标为（﹣，），
过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，
∵∠DCO＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠DCO＝∠CDE＝45°，
∴DE＝CE，
∵DE＝|﹣|，CE＝1﹣＝，
①当点D在y轴的左侧时，
DE＝，
∴＝，
∵a≠0，
∴b2﹣2b＝0，
解得：b＝0或2（b＝0时，顶点与点C重合，不合题意），
∴4a＝（b﹣）2＝，
∴a＝；
②当点D在y轴右侧时，
DE＝﹣，
∴﹣＝，
∵a≠0，
∴b2+2b＝0，
解得：b＝0或﹣2（b＝0时，顶点与点C重合，不合题意），
∴4a＝（b﹣）2＝，
∴a＝，
∴a＝或．