2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学二模试卷

这是一份2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）我市冬季某一天的最高气温是5℃，最低气温是﹣12℃，这一天的温差为（　　）
A．7℃ B．﹣5℃ C．22℃ D．17℃
2．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．3a4﹣2a4＝1 B．（a4）2＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a5•a2＝a25
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≠3 D．x≠﹣3
5．（3分）某小区小组为了解我市气温变化情况，记录的今年一月份连续6天的最低气温（单位：℃）如图所示，对于这6天的最低气温，下列说法正确的是（　　）

A．众数是7 B．中位数是3 C．平均数是4 D．方差是2
6．（3分）已知点（1，y1），（3，y2）在一次函数y＝（k﹣2）x+1的图象上，且y1＞y2，则（　　）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0
7．（3分）在平面直角坐标系中，点M（2，5）绕点O顺时针旋转90°，得到的对应点的坐标是（　　）
A．（5，2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣5，2）
8．（3分）如图，点A，B，C 在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，的长为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，则a+b的最大值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为D，点E从点B出发，沿线段BA匀速向终点A运动，作点E关于AD的对称点F，连接EF，连接ED，FD，设BE的长为x，△EFD的面积为y，下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）一个氧原子的直径大约为0.00000000148m，将0.00000000148用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）分解因式：2a2﹣18b2＝　 　．
13．（3分）甲乙两名同学在10次定点投篮训练中（每次训练投5个），每次训练成绩（投中的个数）如图所示，则甲乙两名同学投篮成绩比较稳定是　 　．（填“甲”或“乙”）

14．（3分）已知x＝9是分式方程＝的解，那么k的值为　 　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点D和点E，作直线DE，交AC于点F，若∠A＝15°，AF＝4，则BC的长为　 　．

16．（3分）如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　 　．

17．（3分）如图，矩形ABCO中，点B（5，4），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为　 　．

18．（3分）如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正确的有　 　．（填序号）

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣a）÷，请在2，1，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
20．（12分）为了增强学生疫情防控意识，某校组织了一次“疫情防控知识”专题学习，并进行了一次全校1200名学生都参加的测试，阅卷后，从中随机抽取了部分学生的答卷进行统计分析，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中给出的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中m的值为　 　，在“90﹣100”这组所对应的圆心角的度数为　 　；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生成绩不低于80分？
（4）从测试成绩在90分及以上的甲、乙、丙、丁四名学生中随机选取两名，在全校分享经验，求选取的两名同学恰好是甲和乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某学校在商场购买甲乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购买甲乙两种足球共40个，恰逢该商场对甲种足球的售价进行调整，每个足球的售价比第一次购买时提高了10%，如果此次购买甲乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购进多少个乙种足球？
22．（12分）如图，在东西方向的海岸线上的两个码头A和B相距26海里，现有一货轮从码头B出发沿正北方向航行10海里到达点C处，测得灯塔D在点C的北偏西60°方向上，已知灯塔D在码头A的北偏东60°方向，求此时货船与灯塔D的距离．

五、解答题（本小题满分12分）
23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，点F在BA的延长线上，连接FC，AD，BC，∠F＝∠D＝30°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，OE＝1，求AD的长．

六、解答题（本小题满分12分）
24．（12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
七、解答题（满分12分）
25．（12分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE＝AC，连接BD，CE．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则＝　 　；
（2）如图2，如果∠ADE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AC＝4，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．

八、解答题（满分14分）
26．（14分）已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）我市冬季某一天的最高气温是5℃，最低气温是﹣12℃，这一天的温差为（　　）
A．7℃ B．﹣5℃ C．22℃ D．17℃
【分析】计算温差要用最高气温减去最低气温，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可．
【解答】解：5﹣（﹣12）
＝5+12
＝17（℃），
故选：D．
2．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．3a4﹣2a4＝1 B．（a4）2＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a5•a2＝a25
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、3a4﹣2a4＝a4，故本选项不合题意；
B、（a4）2＝a8，故本选项不合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项符合题意；
D、a5•a2＝a7，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左面看，是一行一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：C．
4．（3分）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≠3 D．x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件，解分母x+1≠0可得到答案．
【解答】解：∵分式有意义，则分母不为零，
∴分式在实数范围内有意义，
即x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：B．
5．（3分）某小区小组为了解我市气温变化情况，记录的今年一月份连续6天的最低气温（单位：℃）如图所示，对于这6天的最低气温，下列说法正确的是（　　）

A．众数是7 B．中位数是3 C．平均数是4 D．方差是2
【分析】由折线统计图得出这6天的最低气温，并从小到大重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义求解即可．
【解答】解：由折线统计图知，这6天的最低气温从小到大排列为：2、3、3、4、5、7，
∴这组数据的众数是3，中位数是＝3.5，平均数为＝4，方差为×[（2﹣4）2+2×（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝，
故选：C．
6．（3分）已知点（1，y1），（3，y2）在一次函数y＝（k﹣2）x+1的图象上，且y1＞y2，则（　　）
A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据一次函数增减性与k的关系作答．
【解答】解：∵1＜3，y1＞y2，
∴一次函数y＝（k﹣2）x+1，y随x增大而减小，
即k﹣2＜0，
∴k＜2．
故选：B．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点M（2，5）绕点O顺时针旋转90°，得到的对应点的坐标是（　　）
A．（5，2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣5，2）
【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，点A′（5，﹣2）．

故选：B．
8．（3分）如图，点A，B，C 在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠OBC的度数，然后根据OB＝OC，即可得到∠OCB的度数，从而可以求得∠BOC的度数，再根据弧长公式，即可求得的长．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝70°，AO∥BC，
∴∠AOB＝∠OBC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝40°，
∵AO＝3，
∴的长为：＝，
故选：A．

9．（3分）点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，则a+b的最大值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．
【分析】根据点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，可以得到m的值，然后即可写出a+b的值，再利用二次函数的性质，即可得到a+b的值．
【解答】解：∵点M（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，
∴﹣＝0，
解得m＝0，
∴y＝﹣x2+2，
∴点M（a，b）在二次函数y＝﹣x2+mx+2的图象上，
∴a+b＝a+（﹣a2+2）＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，a+b取得最大值，
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为D，点E从点B出发，沿线段BA匀速向终点A运动，作点E关于AD的对称点F，连接EF，连接ED，FD，设BE的长为x，△EFD的面积为y，下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】过点E作EG垂直BC于点G，AD交EF于点H，构造直角三角形，通过相似用x表示出EG与EF，可求出△EFD的面积y对应的图象是一个开口向下的抛物线．
【解答】解：过点E作EG垂直BC于点G，AD交EF于点H，

直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，由勾股定理得BC＝5．
∵sinB＝＝，
∴EG＝x．
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，
∴，
∵∠ADB＝∠BAC＝90°，∠B＝∠B，
∴△ABC∽DBA，
∴＝，
∴EH＝AE＝（3﹣x），
∴△EFD的面积可表示为×2EH•EG＝（3﹣x）x＝（﹣x2+3x）．
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）一个氧原子的直径大约为0.00000000148m，将0.00000000148用科学记数法表示为　1.48×10﹣9　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000148＝1.48×10﹣9．
故答案为：1.48×10﹣9．
12．（3分）分解因式：2a2﹣18b2＝　2（a+3b）（a﹣3b）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣9b2）＝2（a+3b）（a﹣3b），
故答案为：2（a+3b）（a﹣3b）．
13．（3分）甲乙两名同学在10次定点投篮训练中（每次训练投5个），每次训练成绩（投中的个数）如图所示，则甲乙两名同学投篮成绩比较稳定是　乙　．（填“甲”或“乙”）

【分析】从折线统计图得出得出甲、乙同学10次命中的个数，再求出甲乙命中个数的方差，利用方差的意义即可得出答案．
【解答】解：由折线统计图知，甲同学10次命中的个数分别为1、2、2、2、4、4、5、5、5、5，
乙同学10次命中的个数分别为3、3、3、3、4、4、4、4、4、5，
∴＝＝3.5，＝＝3.7，
∴＝×[（1﹣3.5）2+3×（2﹣3.5）2+2×（4﹣3.5）2+4×（5﹣3.5）2]＝2.3，
＝×[4×（3﹣3.7）2+5×（4﹣3.7）2+（5﹣3.7）2]＝0.41，
∵＜，
∴甲乙两名同学投篮成绩比较稳定是乙，
故答案为乙．
14．（3分）已知x＝9是分式方程＝的解，那么k的值为　1　．
【分析】将x＝9代入原方程即可求出k的值．
【解答】解：将x＝9代入原方程，得，，
解得k＝1．
故答案为：1．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点D和点E，作直线DE，交AC于点F，若∠A＝15°，AF＝4，则BC的长为　2　．

【分析】连接BF，如图，利用基本作图得DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB＝4，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠BFC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：连接BF，如图，
由作法得DE垂直平分AB，
∴FA＝FB＝4，
∴∠A＝∠FBA，
∴∠BFC＝∠A+∠FBA＝2∠A＝30°，
在Rt△BFC中，BC＝FB＝×4＝2．
故答案为2．

16．（3分）如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边，在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为　36°　．

【分析】由正五边形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度数，由菱形ABCF可得，∠ABC和∠BAF互补，继而求得∠BAF的度数，从而求出∠FAE的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝108°，
∵四边形ABCF是菱形，
∴∠ABC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，
∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．
故答案为：36°．
17．（3分）如图，矩形ABCO中，点B（5，4），点D在BC边上，连接AD，把△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为　　．

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AD＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（5，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（5，4），
∴AE＝AB＝5，DE＝BD，
∵AO＝4，AE＝5，
∴OE＝＝3，CE＝5﹣3＝2，
设点D的坐标是（5，b），
则CD＝b，DE＝4﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+22＝（4﹣b）2，
解得b＝，
∴点D的坐标是（5，），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝5×＝，
故答案为．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正确的有　①②④⑤　．（填序号）

【分析】由“AAS”可证△ABG≌△BCF，可AG＝BF，BG＝CF，故①正确，由线段和差关系可得CF﹣BF＝FG，故③错误；由“ASA”可证△AOG≌△CON，可得GO＝NO，AG＝CN，由等腰直角三角形的性质可得OF平分∠GFC，FG＝OF，故②，④正确；由等腰直角三角形的性质可得FM＝MG＝OM，由勾股定理可得FH2+HG2＝2OH2，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°＝∠ABE+∠BAG，
∴∠CBF＝∠BAG，
又∵∠AGB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABG≌△BCF（AAS），
∴AG＝BF，BG＝CF，故①正确；
∴CF﹣BF＝BG﹣BF＝FG，故③错误；
如图，连接GO，延长GO交CF于N，作OM⊥EB于M，

∵点O是AC中点，
∴AO＝CO，
∵AG⊥BE，CF⊥BE，
∴AG∥CF，
∴∠GAO＝∠NCO，
又∵∠AOG＝∠CON，
∴△AOG≌△CON（ASA），
∴GO＝NO，AG＝CN，
∴BF＝CN，
∴GF＝FN，
又∵∠GFN＝90°，GO＝ON，
∴∠GFO＝∠NFO＝45°，OF⊥GO，OF＝GO＝ON，
∴OF平分∠GFC，FG＝OF，故②，④正确；
∵OF⊥GO，OF＝GO，OM⊥FG，
∴FM＝MG＝OM，
∵FH2+HG2＝（FM+HM）2+（MG﹣HM）2＝2OM2+2MH2，OM2+MH2＝OH2，
∴FH2+HG2＝2OH2，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（﹣a）÷，请在2，1，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝﹣×
＝﹣a﹣2，
∵a≠1，a≠2，
∴a＝0，
∴原式＝﹣2．
20．（12分）为了增强学生疫情防控意识，某校组织了一次“疫情防控知识”专题学习，并进行了一次全校1200名学生都参加的测试，阅卷后，从中随机抽取了部分学生的答卷进行统计分析，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中给出的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中m的值为　25　，在“90﹣100”这组所对应的圆心角的度数为　43.2°　；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生成绩不低于80分？
（4）从测试成绩在90分及以上的甲、乙、丙、丁四名学生中随机选取两名，在全校分享经验，求选取的两名同学恰好是甲和乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．

【分析】（1）先求出抽查人数的人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，将条形统计图补充完整即可；
（3）该校总人数乘以成绩不低于80分的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12个等可能的结果，再找出符合条件的个数，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵抽查人数为：10÷10%＝100（人），
∴在“70﹣80”的人数为：100﹣10﹣18﹣35﹣12＝25（人），
则m＝25÷100×100%＝25%，
在“90﹣100”这组所对应的圆心角的度数为：360°×＝43.2°，
故答案为：25%，43.2°；
（2）补全统计图如图所示：

（3）（35+12）÷100×1200＝564（名），
即估计该校1200名学生中有564名学生成绩不低于80分；
（4）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）

共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙两位同学的结果有2种，
∴P（恰好是甲和乙两位同学）＝．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某学校在商场购买甲乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购买甲乙两种足球共40个，恰逢该商场对甲种足球的售价进行调整，每个足球的售价比第一次购买时提高了10%，如果此次购买甲乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购进多少个乙种足球？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需要x元，根据购买甲种足球的数量是乙种足球数量的2倍，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设学校可购进a个乙种足球，根据购买甲乙两种足球的总费用不超过2900元，列出不等式50（1+10%）（40﹣a）+70a≤2900，由于a为整数，则可以得到a的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需要x元，
根据题意得，，
解得，x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，
乙种足球的价格：50+20＝70（元），
答：购买一个甲种足球需要50元，一个乙种足球需70元．
（2）学校可购进a个乙种足球，
根据题意得，50（1+10%）（40﹣a）+70a≤2900，
解得：a≤46，
∵a为整数，
∴a＝46，
答：学校最多可购进46个乙种足球．
22．（12分）如图，在东西方向的海岸线上的两个码头A和B相距26海里，现有一货轮从码头B出发沿正北方向航行10海里到达点C处，测得灯塔D在点C的北偏西60°方向上，已知灯塔D在码头A的北偏东60°方向，求此时货船与灯塔D的距离．

【分析】延长AD，BC交于点E，根据等边三角形的判定和性质得出EC＝DC，进而利用三角函数解答即可．
【解答】解：延长AD，BC，交于点E，
由题意可知∠EAB＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，
∵∠ECD＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴EC＝DC，
在Rt△ABE中，tan∠EAB＝，
∵AB＝26，BC＝10，
∴tan30°＝＝，
解得：DC＝16，
答：此时货船与灯塔D的距离为16海里．

五、解答题（本小题满分12分）
23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，点F在BA的延长线上，连接FC，AD，BC，∠F＝∠D＝30°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，OE＝1，求AD的长．

【分析】（1）连接CO，由圆周角定理得∠COA＝2∠D＝60°，求出∠FCO＝90°，则CO⊥CF，即可得出结论；
（2）连接AC，过点E作EH⊥BC于点H，由圆周角定理得∠ACB＝90°，再由含30°角的直角三角形的性质得BC＝AB＝3，EH＝，BH＝EH＝2，则CH＝BC﹣BH＝，然后证△AED∽△CEB，得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：连接CO，如图1所示：
∵∠D＝30°，
∴∠COA＝2∠D＝60°，
∵∠F＝30°，
∴∠FCO＝90°，
∴CO⊥CF，
∵CO为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：连接AC，过点E作EH⊥BC于点H，如图2所示：
∵AE＝2，OE＝1，
∴AO＝OB＝OC＝3，BE＝OB+OE＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BC＝AB＝3，
在Rt△EBH中，EH＝，BH＝EH＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝，
在Rt△ECH中，CE＝＝＝，
∵∠D＝∠B，∠AED＝∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴＝，
即＝，
解得：AD＝．


六、解答题（本小题满分12分）
24．（12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（3，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，
∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝﹣2（50﹣55）2+1250＝1200．
∴销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1200元．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∠ADE＝90°，AD＝DE＝AC，连接BD，CE．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则＝　　；
（2）如图2，如果∠ADE绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AC＝4，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可求BD＝CD，CE＝CD，即可求解；
（2）通过证明△DAB∽△EAC，可得结论；
（3）由点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，可得当点D在线段AB上时，BD有最小值为2﹣2，当点D在BA的延长线上时，BD有最大值为2+2，即可求解．
【解答】解：（1）当点D恰好在AC上时，
∵AD＝AC，
∴AD＝DC＝AC＝DE，
∵∠ABC＝90°＝∠ADE，
∴BD＝CD，CE＝CD，
∴＝，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
连接AE，

∵AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴，
∴，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，，
∴△DAB∽△EAC，
∴；
（3）∵AD＝AC，AC＝4，
∴AD＝2，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ADE绕点A顺时针旋转一周，
∴点D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，如图3，

∴当点D在线段AB上时，BD有最小值为2﹣2，
当点D在BA的延长线上时，BD有最大值为2+2，
∵＝，
∴CE的最大值为4+2，最小值为4﹣2．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解；
（2）过点N作NH⊥x轴于点H，则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可；
（3）由题意可得△ABC为直角三角形，所以若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则＝或＝，由这两种情况分别求出M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线ya＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
得，
解得：，
∴，
（2）∵
∴当x＝0时，y＝，
∴C（0，），
∴OC＝，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴∠OAC＝30°，
∵MN＝1，∠MNA＝90°，
在Rt△AMN中，AN＝，
过点N作NH⊥x轴于点H，

∴NH＝，AH＝，
当点M在点A左侧时，N的坐标为（，﹣），
当点M在点A右侧时，N的坐标为（，），
综上，点N的坐标为（）或（，），
（3）设M点为（x，0），
则由（2）可得AB＝4，
BC＝＝2，AC＝＝2，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，
又由2S△CMA＝AM×OC＝AC×MN得：
MN＝＝，
∴若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
则：＝，即＝，
即6x＝6，
所以x＝1，
此时M为（1，0）；
＝，即＝，
即x2+3x＝0，
解之可得：x＝0或x＝﹣3，
∴M为（0，0）或（﹣3，0），
综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（﹣3，0）．