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2021年辽宁省鞍山市中考数学一模【试卷+答案】
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这是一份2021年辽宁省鞍山市中考数学一模【试卷+答案】，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．﹣22的绝对值等于（ ）
A．﹣22 B．﹣ C． D．22
2．如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（ ）
A．56° B．114° C．124° D．146°
5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．10x＝40（x+6） B．
C． D．10（x+6）＝40x
6．如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．4：9 B．3：5 C．4：7 D．2：3
7．如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
8．如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ．
10．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA'的度数为 °．
11．二次函数y＝x2﹣2x+m图象上的最低点的横坐标为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），则不等式﹣x＜x+b的解集为 ．
13．如图，在等边三角形ABC中，EF∥BC，连接BF、CE交于G，若CF＝2AF＝2，△BCG的面积为 ．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝2，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点，以P为圆心，以1为半径长作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，则BP长为 ．
15．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，直线AB经过原点，点C在y轴正半轴上，且AB＝BC，S△BAC＝12，∠ACO＝45°，则k的值为 ．
16．如图，AD⊥BC，垂足为C，BF⊥BC，点P为线段BC上一动点，连接AP，过D作DE⊥AP交BF于E，连接PE，若AC＝BC＝4，CD＝1，则PE长的最小值为 ．
三、解答题（每题8分，共16分）
17．先化简，再求值：（+）•，其中m＝﹣1．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
20．在2021年电影春节档，多部电影都有不俗的票房表现；甲、乙两名同学在春节假期分别从《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择电影《唐人街探案3》观看的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率．
五、解答题（每题10分，共20分）
21．胜利广场中心的雕像《盛世》是鞍山市的地标建筑，小睿同学利用无人机测量雕像的高度．如图中，AB为雕像《盛世》，无人机悬停在点C处测量得到雕像顶部点A处俯角∠ECA为38°，雕像底部点B处俯角∠ECB为72.9°，无人机的悬停高度CD为39米，求雕像《盛世》AB的高度．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25，结果精确到1米）
22．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点E，已知点A坐标为（2，4），点B横坐标为4．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P为线段OE上一点，且S△PAB＝2，求P点坐标．
六、解答题（每题10分，共20分）
23．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
24．2021年春节期间，我市某烟花经销商销售某款烟花，该款烟花进价为90元/件，售价为120元/件，投放市场之后出现供不应求的情况，平均每天可以售出100件；该经销商决定涨价销售，售价每上涨1元/件，则平均每天少售出2件；若设上涨x元/件，每天销售利润为y元；
（1）当售价上涨多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润为多少元？
（2）该经销商按原价销售烟花6天之后开始按照（1）中的价格进行涨价销售，该款烟花库存量为1000件，春节期间只能销售烟花22天；该经销商决定从其他同行处购进一批同款烟花满足市场需求，若6天之后每天销售情况相同，且该经销商销售这款烟花共获利润38400元，求该经销商从同行购进烟花的价格为多少元/件．
七、解答题（本题12分）
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D；点E为线段AD上一点，且BD＝DE，延长BE交AC边于F，过F作FG⊥AB分别交AB、BC延长线于G、H两点．
（1）求证：∠BAC＝2∠FHC；
（2）过E作EP∥GH分别交BH、AC于P、Q两点；
①如图1，求证：PH＝PC；
②如图2，连接DF交EP于N，连接BN，若∠DFC+∠ENB＝90°，BN＝FC，求的值．
八、解答题（本题14分）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．﹣22的绝对值等于（ ）
A．﹣22 B．﹣ C． D．22
【分析】利用绝对值的意义求解．
解：|﹣22|＝22．
故选：D．
2．如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，
∴S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴在本次射击测试中，成绩最稳定的是丙，
故选：C．
4．如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（ ）
A．56° B．114° C．124° D．146°
【分析】根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∥l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．
解：如图，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴l1∥l2，
∴∠3＝∠6，
∵∠3＝56°，
∴∠6＝56°，
∵∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝180°﹣56°＝124°，
故选：C．
5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．10x＝40（x+6） B．
C． D．10（x+6）＝40x
【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，
依题意得：＝．
故选：B．
6．如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．4：9 B．3：5 C．4：7 D．2：3
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故选：A．
7．如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
【分析】根据翻折变换的性质得到DC＝DE，BE＝BC，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可．
解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，
△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，
答：△AED的周长为7．
故选：A．
8．如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
【分析】由直线OA的解析式为y＝x可得∠AOP1＝45°，进而可得△OP1Q1，△P1P2Q1，△P2P3Q2…均为等腰直角三角形，进而可求解P1，P2，P3…的坐标，即可求解．
解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP1＝45°，
∵PQ1⊥x轴，
∴△OP1Q1为等腰直角三角形，
∵点P1坐标为（1，0），
∴P1Q1＝OP1＝1，
∵P2Q1⊥OA，
∴OP1Q1P2＝45°，
∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，
∴P1P2＝P1Q1＝1，
∴P2（2，0），
同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），
∴P100（299，0），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ab（b﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式ab,再利用公式法分解因式得出答案．
解：ab3﹣4ab2+4ab
＝ab(b2﹣4b+4)
＝ab（b﹣2）2．
故答案为：ab（b﹣2）2．
10．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA'的度数为 50 °．
【分析】易知旋转角∠ACA′＝75°，则根据∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB即可．
解：根据旋转的定义可知旋转角∠ACA′＝75°，
∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
11．二次函数y＝x2﹣2x+m图象上的最低点的横坐标为 1 ．
【分析】由二次项系数知抛物线开口向上，最低点为顶点，求出对称轴即可．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的二次项系数大于0，
∴抛物线开口向上，
∴最低点为顶点，
∴最低点的横坐标在对称轴上，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴最低点的横坐标为1，
故答案为：1．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），则不等式﹣x＜x+b的解集为 x＞﹣1 ．
【分析】利用图象，可得A点右侧部分﹣x＜x+b，可直接得到答案．
解：∵直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），
∴不等式﹣x＜x+b的解集为：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
13．如图，在等边三角形ABC中，EF∥BC，连接BF、CE交于G，若CF＝2AF＝2，△BCG的面积为 ．
【分析】连接AG并延长，分别交EF，BC于点M，N．证明△AEC≌△AFB（SAS），可得∠ACE＝∠ABF．由等边三角形得∠ABC＝∠ACB，从而得出∠GBC＝∠GCB，BG＝CG．可得AN垂直平分BC．解直角三角形得出AM＝AF•sin∠AFM＝，AN＝AC•sin∠ACN＝．求出MN，证明△EFG∽△CBG，由相似三角形的性质得NG＝3MG＝MN＝，根据三角形的面积公式即可求解．
解：如图，连接AG并延长，分别交EF，BC于点M，N．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFC＝∠ACB＝60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在△AEC和△AFB中，
，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ACE＝∠ABF．
又∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，BG＝CG．
又AB＝AC，
∴AN垂直平分BC．
由CF＝2AF＝2，得AF＝1，AC＝3．
在Rt△AMF中，AM＝AF•sin∠AFM＝．
在Rt△ANC中，AN＝AC•sin∠ACN＝．
∴MN＝AN﹣AM＝．
∵EF∥BC，
∴△EFG∽△CBG，
∴，
∴NG＝3MG，
∴NG＝MN＝，
∵BC＝AC＝3，
∴S△BCG＝BC•NG＝×3×＝．
故答案为：．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝2，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点，以P为圆心，以1为半径长作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，则BP长为 2或 ．
【分析】由直角三角形的性质求出BD＝4，①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，由直角三角形的性质可求出PB＝2，由角平分线的性质得出此时圆P与AB相切；②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，由直角三角形的性质求出PD的长，则可求出答案．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BC＝2，
∴DC＝，
∴BD＝2DC＝4，
①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，
∵PE＝1，∠PBE＝30°，
∴PB＝2，
∵BD平分∠ABC，
过点P作PF⊥AB，
∴PE＝PF，
∴此时⊙P与AB相切；
②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，
∴PE∥BC，
∴∠DPE＝30°，
∵PE＝1，
∴DE＝，
∴PD＝2DE＝，
∴PB＝BD﹣PD＝4﹣，
综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4﹣．
故答案为2或．
15．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，直线AB经过原点，点C在y轴正半轴上，且AB＝BC，S△BAC＝12，∠ACO＝45°，则k的值为 4 ．
【分析】作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，根据题意得到△ADC是等腰直角三角形，即可得出AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，通过证得△CBE∽△AOD，得出BE＝2OD，设A（m，n），则B（﹣m，﹣n），AD＝m，OD＝n，所以m＝2n，从而得到OC＝3n，AD＝2n，根据三角形面积公式得到S△AOC＝OC•AD＝×2n＝6，求得n＝，从而求得m＝2，即可求得k＝mn＝4．
解：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∵∠ACO＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，直线AB经过原点，
∴OA＝OB＝AB，
∵AB＝BC，
∴OA＝BC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠DAO，
∵∠BEC＝∠ADO＝90°，
∴△CBE∽△AOD，
∴＝＝2，
∴BE＝2OD，
设A（m，n），则B（﹣m，﹣n），AD＝m，OD＝n，
∴m＝2n，
∴OC＝m+n＝3n，
∵S△BAC＝12，
∴S△AOC＝6，
∴OC•AD＝×2n＝6，
∴n＝，
∴m＝2n＝2，
∴k＝mn＝2×＝4，
故答案为：4．
16．如图，AD⊥BC，垂足为C，BF⊥BC，点P为线段BC上一动点，连接AP，过D作DE⊥AP交BF于E，连接PE，若AC＝BC＝4，CD＝1，则PE长的最小值为 2 ．
【分析】过D作DG⊥BF于G，推出四边形CDGB是矩形，根据矩形的性质的DG＝BC＝4，BG＝CD＝1，由余角的性质得到∠APC＝∠DEB，根据全等三角形的性质得到CP＝EG，设BE＝x，则CP＝EG＝1+x，根据勾股定理得到PE＝＝＝，于是得到结论．
解：过D作DG⊥BF于G，
∵BF⊥BC，AD⊥BC，
∴∠DCB＝∠CBG＝∠G＝90°，
∴四边形CDGB是矩形，
∴DG＝BC＝4，BG＝CD＝1，
∵DE⊥AP，
∴∠1+∠BED＝∠1+∠APC＝90°，
∴∠APC＝∠DEB，
在△APC与△DEB中，
，
∴△APC≌△DEB（AAS），
∴CP＝EG，
设BE＝x，则CP＝EG＝1+x，
∴PB＝4﹣（1+x）＝3﹣x，
∵PE＝＝＝，
∴当x＝1时，PE的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题（每题8分，共16分）
17．先化简，再求值：（+）•，其中m＝﹣1．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当m＝﹣1时，原式＝＝．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．
【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，进而得出∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，再利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，
∵∠E＝∠F，
∴∠BAG＝∠DAH，
在△ABG和△ADH中，
，
∴△ABG≌△ADH（ASA）．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 200 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【分析】（1）根据支付方式B的人数和所占的百分比，可以计算出本次一个调查了多少名购买者；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出B和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名购买者，
故答案为：200；
（2）支付方式为D的有：200×20%＝40（人），
支付方式为A的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1000×＝580（人），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有580人．
20．在2021年电影春节档，多部电影都有不俗的票房表现；甲、乙两名同学在春节假期分别从《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择电影《唐人街探案3》观看的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影分别记作A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）甲选择电影《唐人街探案3》观看的概率为，
故答案为：；
（2）将《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影分别记作A、B、C，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同的电影观看的有6种结果，
∴甲、乙两人选择不同的电影观看的概率为＝．
五、解答题（每题10分，共20分）
21．胜利广场中心的雕像《盛世》是鞍山市的地标建筑，小睿同学利用无人机测量雕像的高度．如图中，AB为雕像《盛世》，无人机悬停在点C处测量得到雕像顶部点A处俯角∠ECA为38°，雕像底部点B处俯角∠ECB为72.9°，无人机的悬停高度CD为39米，求雕像《盛世》AB的高度．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25，结果精确到1米）
【分析】过A作AN⊥CD交于N，根据题意构造直角三角形．通过解直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．
解：如图，过A作AN⊥CD交于N，
设AN为x米．
∵∠BAN＝∠ABD＝∠BDN＝90°，
∴四边形ANDB为矩形，
∴AN＝BD＝x米，DN＝AB．
∵EC∥AN，EC∥BD，
∴∠CAN＝∠ECA＝38°，∠CBD＝∠ECB＝72.9°，
在Rt△BDC中，
∴CD＝3.25x＝39米，
∴x＝12，
BD＝AN＝12（米），
在Rt△CAN中，
∴CN＝9.36（米），
∴AB＝DN＝CD﹣CN＝39﹣9.36≈30（米）．
答：高度约为30米．
22．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点E，已知点A坐标为（2，4），点B横坐标为4．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P为线段OE上一点，且S△PAB＝2，求P点坐标．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝即可求得反比例函数的解析式，进而即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过P作PN∥y轴交AB于N，设P（n，0）N（n，﹣n+6），则PN＝﹣n+6，根据三角形面积公式得到﹣n+6＝2，解得n＝4，即可求得P（4，0）．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过A（2，4），
∴k2＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为，
把x＝4代入得y＝2，
∴B（4，2）．
∵一次函数y＝k1x+b的图象过A、B两点，
∴.，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；
（2）过P作PN∥y轴交AB于N，
设P（n，0），N（n，﹣n+6），
∴PN＝﹣n+6，
∴，
∴﹣n+6＝2，
解得n＝4，
∴P（4，0）．
六、解答题（每题10分，共20分）
23．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
【分析】（1）连接AC，根据∠ACB＝90°，证明∠BDC＝∠CAB，∠BCN＝∠ABC，可得结论．
（2）连接AD，过B作BE⊥MN交于E．求出CE，DE，可得结论．
【解答】（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．
（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．
24．2021年春节期间，我市某烟花经销商销售某款烟花，该款烟花进价为90元/件，售价为120元/件，投放市场之后出现供不应求的情况，平均每天可以售出100件；该经销商决定涨价销售，售价每上涨1元/件，则平均每天少售出2件；若设上涨x元/件，每天销售利润为y元；
（1）当售价上涨多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润为多少元？
（2）该经销商按原价销售烟花6天之后开始按照（1）中的价格进行涨价销售，该款烟花库存量为1000件，春节期间只能销售烟花22天；该经销商决定从其他同行处购进一批同款烟花满足市场需求，若6天之后每天销售情况相同，且该经销商销售这款烟花共获利润38400元，求该经销商从同行购进烟花的价格为多少元/件．
【分析】（1）根据每天的利润等于单件利润×每天销售量列出函数关系式；
（2）设该经销商从其他同行处购进烟花的价格为a元/件，先求出6天后每天的销售量，再求出库存烟花销售的时间，从而求出购进烟花销售的天数，根据利润列出方程，解方程即可．
解：（1）根据题意得：y＝（120﹣90+x）（100﹣2x）＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴y当x＝10时，y有最大值，最大值3200，
答：当售价上涨10元/件时，每天销售利润最大，最大利润为3200元；
（2）设该经销商从其他同行处购进烟花的价格为a元/件，
6天后每天销售烟花：100﹣2×10＝80（件），
∴库存烟花销售：（天），
∴由题意得：（120﹣90）×600+（130﹣90）×（1000﹣600）+（130﹣a）×80×（22﹣11）＝38400，
解得：a＝125，
答：该经销商从其他同行处购进烟花的价格为125元/件．
七、解答题（本题12分）
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D；点E为线段AD上一点，且BD＝DE，延长BE交AC边于F，过F作FG⊥AB分别交AB、BC延长线于G、H两点．
（1）求证：∠BAC＝2∠FHC；
（2）过E作EP∥GH分别交BH、AC于P、Q两点；
①如图1，求证：PH＝PC；
②如图2，连接DF交EP于N，连接BN，若∠DFC+∠ENB＝90°，BN＝FC，求的值．
【分析】（1）由AD⊥BC，AB＝AC，得∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAC＝2∠BAD，而FG⊥AB，有∠FHC+∠ABD＝90°，故∠BAD＝∠FHC，即得∠BAC＝2∠FHC；
（2）①连接CE，根据AB＝AC，AD⊥BC，BD＝DE，得△BDE、△CDE是等腰直角三角形，可得∠EFC＝∠DAC+45°，∠FEQ＝45°+∠DAC，即知∠EFC＝∠FEQ，得EQ＝FQ，而90°﹣∠EFC＝90°﹣∠FEQ，可得EQ＝CQ，即得FQ＝CQ，故PH＝PC；
②解：过C作CM⊥FD交于M，过B作BK⊥FD交FD延长线于K，证明△BDK≌△CDM（AAS），得BK＝CM，即得△BKN≌△CMF（HL），从而∠BNK＝∠CFM，有∠ENK＝90°，而PE∥GH知GH⊥DF，又GH⊥AB，故DF∥AB，DF是△ABC的中位线，＝，即得＝＝，可得PB＝2PH，设CD＝t，则PC＝PH＝2t，PD＝3t，HD＝5t，根据△PDN∽△HDF，即得＝＝．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAC＝2∠BAD，
∵FG⊥AB，
∴∠FHC+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠FHC，
∴∠BAC＝2∠FHC；
（2）①证明：连接CE，如图：
∵AB＝AC，AD⊥BC，BD＝DE，
∴△BDE、△CDE是等腰直角三角形，
∴∠EBD＝∠BED＝∠CED＝45°，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠BED＝45°，
∴∠EFC＝∠BAF+∠ABF＝∠DAC+∠BAE+∠ABE＝∠DAC+45°，
∵∠FEQ＝∠EBD+∠EPB＝45°+∠EPB，
而∠EPB＝∠FHC，由（1）知∠FHC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠FEQ＝45°+∠DAC，
∴∠EFC＝∠FEQ，
∴EQ＝FQ，90°﹣∠EFC＝90°﹣∠FEQ，即∠ECQ＝∠QEC，
∴EQ＝CQ，
∴FQ＝CQ，
∵EP∥GH，
∴PH＝PC；
②解：过C作CM⊥FD交于M，过B作BK⊥FD交FD延长线于K，如图：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵∠BKD＝∠CMD＝90°，∠BDK＝∠CDM，
∴△BDK≌△CDM（AAS），
∴BK＝CM，
∵∠BKN＝∠CMF＝90°，BN＝CF，
∴△BKN≌△CMF（HL），
∴∠BNK＝∠CFM，
∵∠CFD+∠ENB＝90°，
∴∠BNK+∠ENB＝90°，即∠ENK＝90°，
∴PE⊥DF，
∵PE∥GH，
∴GH⊥DF，
∵GH⊥AB，
∴DF∥AB，
而BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴＝，
∵DF∥AB，
∴＝＝，
∵PE∥FH，
∴＝＝，即PB＝2PH，
由①知PH＝PC，
∴BC＝PC＝PH，
又BD＝CD＝BC，
设CD＝t，则PC＝PH＝2t，
∴PD＝3t，HD＝5t，
∵PE∥FH，
∴△PDN∽△HDF，
∴＝＝．
八、解答题（本题14分）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，然后代入抛物线的解析式求；
（2）设B（0，a），求得AB的函数关系式，然后求出Q点的坐标，从而确定OQ的长，利用△AOB∽△COQ求得；
（3）从∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个条件转化为以BD为直径的圆与x轴相交，设圆心为I，根据直线和圆相交的条件：圆心到直线的距离小于半径，从而求得D点特殊位置，进而可求得m的范围．
解：（1）由题意得，
A（3，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，
设B（0，a），
∴PQ＝BC＝BQ＝4﹣a，
∵A（3，0），
∴直线AB的解析式是：y＝﹣，
由﹣＝4﹣a得，
x＝，
∴OQ＝，
∵四边形BCPQ是菱形，
∴PB⊥CQ，
∵∠ABO＝∠PBC，
∴∠OCQ＝∠BAO，
∴△AOB∽△COQ，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝，a2＝﹣6，
∴，B2（0，﹣6）；
（3）如图2，
由（2）知，
B（0，），
∴直线AB的解析式是：y＝﹣，
∴设D（m，﹣），
∴BD2＝（m2+2）＝，
∵∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，
以BD为直径的圆与x轴相交，设圆心为I，
则I（，﹣），
作IJ⊥OA于J，
∴IJ＜BD，
∴（﹣）2＜，
∴m1＜，m2＞（舍去），
当m＝时，y＝﹣×＝，
设平移后的抛物线为：
将D点坐标代入平移后解析式得，
解得：，
∴．
2021年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．﹣22的绝对值等于（ ）
A．﹣22 B．﹣ C． D．22
2．如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（ ）
A．56° B．114° C．124° D．146°
5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．10x＝40（x+6） B．
C． D．10（x+6）＝40x
6．如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．4：9 B．3：5 C．4：7 D．2：3
7．如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
8．如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ．
10．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA'的度数为 °．
11．二次函数y＝x2﹣2x+m图象上的最低点的横坐标为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），则不等式﹣x＜x+b的解集为 ．
13．如图，在等边三角形ABC中，EF∥BC，连接BF、CE交于G，若CF＝2AF＝2，△BCG的面积为 ．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝2，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点，以P为圆心，以1为半径长作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，则BP长为 ．
15．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，直线AB经过原点，点C在y轴正半轴上，且AB＝BC，S△BAC＝12，∠ACO＝45°，则k的值为 ．
16．如图，AD⊥BC，垂足为C，BF⊥BC，点P为线段BC上一动点，连接AP，过D作DE⊥AP交BF于E，连接PE，若AC＝BC＝4，CD＝1，则PE长的最小值为 ．
三、解答题（每题8分，共16分）
17．先化简，再求值：（+）•，其中m＝﹣1．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
20．在2021年电影春节档，多部电影都有不俗的票房表现；甲、乙两名同学在春节假期分别从《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择电影《唐人街探案3》观看的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率．
五、解答题（每题10分，共20分）
21．胜利广场中心的雕像《盛世》是鞍山市的地标建筑，小睿同学利用无人机测量雕像的高度．如图中，AB为雕像《盛世》，无人机悬停在点C处测量得到雕像顶部点A处俯角∠ECA为38°，雕像底部点B处俯角∠ECB为72.9°，无人机的悬停高度CD为39米，求雕像《盛世》AB的高度．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25，结果精确到1米）
22．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点E，已知点A坐标为（2，4），点B横坐标为4．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P为线段OE上一点，且S△PAB＝2，求P点坐标．
六、解答题（每题10分，共20分）
23．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
24．2021年春节期间，我市某烟花经销商销售某款烟花，该款烟花进价为90元/件，售价为120元/件，投放市场之后出现供不应求的情况，平均每天可以售出100件；该经销商决定涨价销售，售价每上涨1元/件，则平均每天少售出2件；若设上涨x元/件，每天销售利润为y元；
（1）当售价上涨多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润为多少元？
（2）该经销商按原价销售烟花6天之后开始按照（1）中的价格进行涨价销售，该款烟花库存量为1000件，春节期间只能销售烟花22天；该经销商决定从其他同行处购进一批同款烟花满足市场需求，若6天之后每天销售情况相同，且该经销商销售这款烟花共获利润38400元，求该经销商从同行购进烟花的价格为多少元/件．
七、解答题（本题12分）
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D；点E为线段AD上一点，且BD＝DE，延长BE交AC边于F，过F作FG⊥AB分别交AB、BC延长线于G、H两点．
（1）求证：∠BAC＝2∠FHC；
（2）过E作EP∥GH分别交BH、AC于P、Q两点；
①如图1，求证：PH＝PC；
②如图2，连接DF交EP于N，连接BN，若∠DFC+∠ENB＝90°，BN＝FC，求的值．
八、解答题（本题14分）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．﹣22的绝对值等于（ ）
A．﹣22 B．﹣ C． D．22
【分析】利用绝对值的意义求解．
解：|﹣22|＝22．
故选：D．
2．如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，
∴S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，
∴在本次射击测试中，成绩最稳定的是丙，
故选：C．
4．如图，∠1＝∠2＝∠3＝56°，则∠4的度数是（ ）
A．56° B．114° C．124° D．146°
【分析】根据对顶角相等得到∠2＝∠5，结合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∥l2，根据平行线的性质得出∠6＝56°，再根据邻补角的定义求解即可．
解：如图，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴l1∥l2，
∴∠3＝∠6，
∵∠3＝56°，
∴∠6＝56°，
∵∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝180°﹣56°＝124°，
故选：C．
5．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．10x＝40（x+6） B．
C． D．10（x+6）＝40x
【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，
依题意得：＝．
故选：B．
6．如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．4：9 B．3：5 C．4：7 D．2：3
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故选：A．
7．如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
【分析】根据翻折变换的性质得到DC＝DE，BE＝BC，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可．
解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，
△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，
答：△AED的周长为7．
故选：A．
8．如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
【分析】由直线OA的解析式为y＝x可得∠AOP1＝45°，进而可得△OP1Q1，△P1P2Q1，△P2P3Q2…均为等腰直角三角形，进而可求解P1，P2，P3…的坐标，即可求解．
解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP1＝45°，
∵PQ1⊥x轴，
∴△OP1Q1为等腰直角三角形，
∵点P1坐标为（1，0），
∴P1Q1＝OP1＝1，
∵P2Q1⊥OA，
∴OP1Q1P2＝45°，
∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，
∴P1P2＝P1Q1＝1，
∴P2（2，0），
同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），
∴P100（299，0），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．因式分解：ab3﹣4ab2+4ab＝ ab（b﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式ab,再利用公式法分解因式得出答案．
解：ab3﹣4ab2+4ab
＝ab(b2﹣4b+4)
＝ab（b﹣2）2．
故答案为：ab（b﹣2）2．
10．如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA'的度数为 50 °．
【分析】易知旋转角∠ACA′＝75°，则根据∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB即可．
解：根据旋转的定义可知旋转角∠ACA′＝75°，
∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
11．二次函数y＝x2﹣2x+m图象上的最低点的横坐标为 1 ．
【分析】由二次项系数知抛物线开口向上，最低点为顶点，求出对称轴即可．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的二次项系数大于0，
∴抛物线开口向上，
∴最低点为顶点，
∴最低点的横坐标在对称轴上，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴最低点的横坐标为1，
故答案为：1．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），则不等式﹣x＜x+b的解集为 x＞﹣1 ．
【分析】利用图象，可得A点右侧部分﹣x＜x+b，可直接得到答案．
解：∵直线y＝﹣x和y＝x+b相交于点A（﹣1，m），
∴不等式﹣x＜x+b的解集为：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
13．如图，在等边三角形ABC中，EF∥BC，连接BF、CE交于G，若CF＝2AF＝2，△BCG的面积为 ．
【分析】连接AG并延长，分别交EF，BC于点M，N．证明△AEC≌△AFB（SAS），可得∠ACE＝∠ABF．由等边三角形得∠ABC＝∠ACB，从而得出∠GBC＝∠GCB，BG＝CG．可得AN垂直平分BC．解直角三角形得出AM＝AF•sin∠AFM＝，AN＝AC•sin∠ACN＝．求出MN，证明△EFG∽△CBG，由相似三角形的性质得NG＝3MG＝MN＝，根据三角形的面积公式即可求解．
解：如图，连接AG并延长，分别交EF，BC于点M，N．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFC＝∠ACB＝60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在△AEC和△AFB中，
，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ACE＝∠ABF．
又∠ABC＝∠ACB，
∴∠GBC＝∠GCB，BG＝CG．
又AB＝AC，
∴AN垂直平分BC．
由CF＝2AF＝2，得AF＝1，AC＝3．
在Rt△AMF中，AM＝AF•sin∠AFM＝．
在Rt△ANC中，AN＝AC•sin∠ACN＝．
∴MN＝AN﹣AM＝．
∵EF∥BC，
∴△EFG∽△CBG，
∴，
∴NG＝3MG，
∴NG＝MN＝，
∵BC＝AC＝3，
∴S△BCG＝BC•NG＝×3×＝．
故答案为：．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝2，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点，以P为圆心，以1为半径长作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，则BP长为 2或 ．
【分析】由直角三角形的性质求出BD＝4，①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，由直角三角形的性质可求出PB＝2，由角平分线的性质得出此时圆P与AB相切；②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，由直角三角形的性质求出PD的长，则可求出答案．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BC＝2，
∴DC＝，
∴BD＝2DC＝4，
①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB＝90°，
∵PE＝1，∠PBE＝30°，
∴PB＝2，
∵BD平分∠ABC，
过点P作PF⊥AB，
∴PE＝PF，
∴此时⊙P与AB相切；
②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，
∴PE∥BC，
∴∠DPE＝30°，
∵PE＝1，
∴DE＝，
∴PD＝2DE＝，
∴PB＝BD﹣PD＝4﹣，
综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4﹣．
故答案为2或．
15．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，直线AB经过原点，点C在y轴正半轴上，且AB＝BC，S△BAC＝12，∠ACO＝45°，则k的值为 4 ．
【分析】作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，根据题意得到△ADC是等腰直角三角形，即可得出AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，通过证得△CBE∽△AOD，得出BE＝2OD，设A（m，n），则B（﹣m，﹣n），AD＝m，OD＝n，所以m＝2n，从而得到OC＝3n，AD＝2n，根据三角形面积公式得到S△AOC＝OC•AD＝×2n＝6，求得n＝，从而求得m＝2，即可求得k＝mn＝4．
解：作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∵∠ACO＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，
∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，直线AB经过原点，
∴OA＝OB＝AB，
∵AB＝BC，
∴OA＝BC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠DAO，
∵∠BEC＝∠ADO＝90°，
∴△CBE∽△AOD，
∴＝＝2，
∴BE＝2OD，
设A（m，n），则B（﹣m，﹣n），AD＝m，OD＝n，
∴m＝2n，
∴OC＝m+n＝3n，
∵S△BAC＝12，
∴S△AOC＝6，
∴OC•AD＝×2n＝6，
∴n＝，
∴m＝2n＝2，
∴k＝mn＝2×＝4，
故答案为：4．
16．如图，AD⊥BC，垂足为C，BF⊥BC，点P为线段BC上一动点，连接AP，过D作DE⊥AP交BF于E，连接PE，若AC＝BC＝4，CD＝1，则PE长的最小值为 2 ．
【分析】过D作DG⊥BF于G，推出四边形CDGB是矩形，根据矩形的性质的DG＝BC＝4，BG＝CD＝1，由余角的性质得到∠APC＝∠DEB，根据全等三角形的性质得到CP＝EG，设BE＝x，则CP＝EG＝1+x，根据勾股定理得到PE＝＝＝，于是得到结论．
解：过D作DG⊥BF于G，
∵BF⊥BC，AD⊥BC，
∴∠DCB＝∠CBG＝∠G＝90°，
∴四边形CDGB是矩形，
∴DG＝BC＝4，BG＝CD＝1，
∵DE⊥AP，
∴∠1+∠BED＝∠1+∠APC＝90°，
∴∠APC＝∠DEB，
在△APC与△DEB中，
，
∴△APC≌△DEB（AAS），
∴CP＝EG，
设BE＝x，则CP＝EG＝1+x，
∴PB＝4﹣（1+x）＝3﹣x，
∵PE＝＝＝，
∴当x＝1时，PE的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题（每题8分，共16分）
17．先化简，再求值：（+）•，其中m＝﹣1．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当m＝﹣1时，原式＝＝．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为DC延长线、BC延长线上两点，AE、AF分别与BC、CD交于G，H两点，若∠E＝∠F，求证：△ABG≌△ADH．
【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，进而得出∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，再利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAG，∠F＝∠DAH，
∵∠E＝∠F，
∴∠BAG＝∠DAH，
在△ABG和△ADH中，
，
∴△ABG≌△ADH（ASA）．
四、解答题（每题10分，共20分）
19．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 200 名购买者；
（2）补全条形统计图；
（3）若该超市这一周内有1000名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【分析】（1）根据支付方式B的人数和所占的百分比，可以计算出本次一个调查了多少名购买者；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出B和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
解：（1）56÷28%＝200（名），
即本次一共调查了200名购买者，
故答案为：200；
（2）支付方式为D的有：200×20%＝40（人），
支付方式为A的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）1000×＝580（人），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有580人．
20．在2021年电影春节档，多部电影都有不俗的票房表现；甲、乙两名同学在春节假期分别从《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影中任意选择一部观看．
（1）甲选择电影《唐人街探案3》观看的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两人选择不同的电影观看的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影分别记作A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）甲选择电影《唐人街探案3》观看的概率为，
故答案为：；
（2）将《刺杀小说家》、《唐人街探案3》、《你好，李焕英》三部电影分别记作A、B、C，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同的电影观看的有6种结果，
∴甲、乙两人选择不同的电影观看的概率为＝．
五、解答题（每题10分，共20分）
21．胜利广场中心的雕像《盛世》是鞍山市的地标建筑，小睿同学利用无人机测量雕像的高度．如图中，AB为雕像《盛世》，无人机悬停在点C处测量得到雕像顶部点A处俯角∠ECA为38°，雕像底部点B处俯角∠ECB为72.9°，无人机的悬停高度CD为39米，求雕像《盛世》AB的高度．（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25，结果精确到1米）
【分析】过A作AN⊥CD交于N，根据题意构造直角三角形．通过解直角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案．
解：如图，过A作AN⊥CD交于N，
设AN为x米．
∵∠BAN＝∠ABD＝∠BDN＝90°，
∴四边形ANDB为矩形，
∴AN＝BD＝x米，DN＝AB．
∵EC∥AN，EC∥BD，
∴∠CAN＝∠ECA＝38°，∠CBD＝∠ECB＝72.9°，
在Rt△BDC中，
∴CD＝3.25x＝39米，
∴x＝12，
BD＝AN＝12（米），
在Rt△CAN中，
∴CN＝9.36（米），
∴AB＝DN＝CD﹣CN＝39﹣9.36≈30（米）．
答：高度约为30米．
22．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点E，已知点A坐标为（2，4），点B横坐标为4．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P为线段OE上一点，且S△PAB＝2，求P点坐标．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝即可求得反比例函数的解析式，进而即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过P作PN∥y轴交AB于N，设P（n，0）N（n，﹣n+6），则PN＝﹣n+6，根据三角形面积公式得到﹣n+6＝2，解得n＝4，即可求得P（4，0）．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象过A（2，4），
∴k2＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为，
把x＝4代入得y＝2，
∴B（4，2）．
∵一次函数y＝k1x+b的图象过A、B两点，
∴.，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；
（2）过P作PN∥y轴交AB于N，
设P（n，0），N（n，﹣n+6），
∴PN＝﹣n+6，
∴，
∴﹣n+6＝2，
解得n＝4，
∴P（4，0）．
六、解答题（每题10分，共20分）
23．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
【分析】（1）连接AC，根据∠ACB＝90°，证明∠BDC＝∠CAB，∠BCN＝∠ABC，可得结论．
（2）连接AD，过B作BE⊥MN交于E．求出CE，DE，可得结论．
【解答】（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．
（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．
24．2021年春节期间，我市某烟花经销商销售某款烟花，该款烟花进价为90元/件，售价为120元/件，投放市场之后出现供不应求的情况，平均每天可以售出100件；该经销商决定涨价销售，售价每上涨1元/件，则平均每天少售出2件；若设上涨x元/件，每天销售利润为y元；
（1）当售价上涨多少元/件时，每天销售利润最大，最大利润为多少元？
（2）该经销商按原价销售烟花6天之后开始按照（1）中的价格进行涨价销售，该款烟花库存量为1000件，春节期间只能销售烟花22天；该经销商决定从其他同行处购进一批同款烟花满足市场需求，若6天之后每天销售情况相同，且该经销商销售这款烟花共获利润38400元，求该经销商从同行购进烟花的价格为多少元/件．
【分析】（1）根据每天的利润等于单件利润×每天销售量列出函数关系式；
（2）设该经销商从其他同行处购进烟花的价格为a元/件，先求出6天后每天的销售量，再求出库存烟花销售的时间，从而求出购进烟花销售的天数，根据利润列出方程，解方程即可．
解：（1）根据题意得：y＝（120﹣90+x）（100﹣2x）＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴y当x＝10时，y有最大值，最大值3200，
答：当售价上涨10元/件时，每天销售利润最大，最大利润为3200元；
（2）设该经销商从其他同行处购进烟花的价格为a元/件，
6天后每天销售烟花：100﹣2×10＝80（件），
∴库存烟花销售：（天），
∴由题意得：（120﹣90）×600+（130﹣90）×（1000﹣600）+（130﹣a）×80×（22﹣11）＝38400，
解得：a＝125，
答：该经销商从其他同行处购进烟花的价格为125元/件．
七、解答题（本题12分）
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D；点E为线段AD上一点，且BD＝DE，延长BE交AC边于F，过F作FG⊥AB分别交AB、BC延长线于G、H两点．
（1）求证：∠BAC＝2∠FHC；
（2）过E作EP∥GH分别交BH、AC于P、Q两点；
①如图1，求证：PH＝PC；
②如图2，连接DF交EP于N，连接BN，若∠DFC+∠ENB＝90°，BN＝FC，求的值．
【分析】（1）由AD⊥BC，AB＝AC，得∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAC＝2∠BAD，而FG⊥AB，有∠FHC+∠ABD＝90°，故∠BAD＝∠FHC，即得∠BAC＝2∠FHC；
（2）①连接CE，根据AB＝AC，AD⊥BC，BD＝DE，得△BDE、△CDE是等腰直角三角形，可得∠EFC＝∠DAC+45°，∠FEQ＝45°+∠DAC，即知∠EFC＝∠FEQ，得EQ＝FQ，而90°﹣∠EFC＝90°﹣∠FEQ，可得EQ＝CQ，即得FQ＝CQ，故PH＝PC；
②解：过C作CM⊥FD交于M，过B作BK⊥FD交FD延长线于K，证明△BDK≌△CDM（AAS），得BK＝CM，即得△BKN≌△CMF（HL），从而∠BNK＝∠CFM，有∠ENK＝90°，而PE∥GH知GH⊥DF，又GH⊥AB，故DF∥AB，DF是△ABC的中位线，＝，即得＝＝，可得PB＝2PH，设CD＝t，则PC＝PH＝2t，PD＝3t，HD＝5t，根据△PDN∽△HDF，即得＝＝．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAC＝2∠BAD，
∵FG⊥AB，
∴∠FHC+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠FHC，
∴∠BAC＝2∠FHC；
（2）①证明：连接CE，如图：
∵AB＝AC，AD⊥BC，BD＝DE，
∴△BDE、△CDE是等腰直角三角形，
∴∠EBD＝∠BED＝∠CED＝45°，
∴∠CEB＝∠CEF＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠BED＝45°，
∴∠EFC＝∠BAF+∠ABF＝∠DAC+∠BAE+∠ABE＝∠DAC+45°，
∵∠FEQ＝∠EBD+∠EPB＝45°+∠EPB，
而∠EPB＝∠FHC，由（1）知∠FHC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠FEQ＝45°+∠DAC，
∴∠EFC＝∠FEQ，
∴EQ＝FQ，90°﹣∠EFC＝90°﹣∠FEQ，即∠ECQ＝∠QEC，
∴EQ＝CQ，
∴FQ＝CQ，
∵EP∥GH，
∴PH＝PC；
②解：过C作CM⊥FD交于M，过B作BK⊥FD交FD延长线于K，如图：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵∠BKD＝∠CMD＝90°，∠BDK＝∠CDM，
∴△BDK≌△CDM（AAS），
∴BK＝CM，
∵∠BKN＝∠CMF＝90°，BN＝CF，
∴△BKN≌△CMF（HL），
∴∠BNK＝∠CFM，
∵∠CFD+∠ENB＝90°，
∴∠BNK+∠ENB＝90°，即∠ENK＝90°，
∴PE⊥DF，
∵PE∥GH，
∴GH⊥DF，
∵GH⊥AB，
∴DF∥AB，
而BD＝CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴＝，
∵DF∥AB，
∴＝＝，
∵PE∥FH，
∴＝＝，即PB＝2PH，
由①知PH＝PC，
∴BC＝PC＝PH，
又BD＝CD＝BC，
设CD＝t，则PC＝PH＝2t，
∴PD＝3t，HD＝5t，
∵PE∥FH，
∴△PDN∽△HDF，
∴＝＝．
八、解答题（本题14分）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D（点D在第二象限），点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，然后代入抛物线的解析式求；
（2）设B（0，a），求得AB的函数关系式，然后求出Q点的坐标，从而确定OQ的长，利用△AOB∽△COQ求得；
（3）从∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个条件转化为以BD为直径的圆与x轴相交，设圆心为I，根据直线和圆相交的条件：圆心到直线的距离小于半径，从而求得D点特殊位置，进而可求得m的范围．
解：（1）由题意得，
A（3，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1，
设B（0，a），
∴PQ＝BC＝BQ＝4﹣a，
∵A（3，0），
∴直线AB的解析式是：y＝﹣，
由﹣＝4﹣a得，
x＝，
∴OQ＝，
∵四边形BCPQ是菱形，
∴PB⊥CQ，
∵∠ABO＝∠PBC，
∴∠OCQ＝∠BAO，
∴△AOB∽△COQ，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝，a2＝﹣6，
∴，B2（0，﹣6）；
（3）如图2，
由（2）知，
B（0，），
∴直线AB的解析式是：y＝﹣，
∴设D（m，﹣），
∴BD2＝（m2+2）＝，
∵∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，
以BD为直径的圆与x轴相交，设圆心为I，
则I（，﹣），
作IJ⊥OA于J，
∴IJ＜BD，
∴（﹣）2＜，
∴m1＜，m2＞（舍去），
当m＝时，y＝﹣×＝，
设平移后的抛物线为：
将D点坐标代入平移后解析式得，
解得：，
∴．
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