2022-2023学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列方程为一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 已知三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的一个实数根，则三角形的周长是(    )A.  B. 或 C.  D. 某校九年级班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为(    )A.  B.
C.  D. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是(    )A.
B.
C.
D.
 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，在平面直角坐标系中，，，则的外心坐标为(    )A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，垂足为，下列结论不正确的是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在边长为的正方形中，点在边上自至运动，点在边上自至运动，，速度相同，当运动至时，运动停止，连接，交于点，则的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）若，则的值为______．如果在比例尺为：的地图上，、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是______千米．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为______已知方程的一个根是，则______．如图，、分别是的边、上的点，连接，要使∽，还需添加一个条件______只需写一个．
 如图，点、、在上，若，则的度数为______．
 如图，内接于，是直径，，，平分，则弦长为______．
 若关于一元二次方程的常数项为，则的值等于______．如图，、都是圆的弦，，，垂足分别为、，如果，那么 ______ ．
 如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点为中点，点为上的动点．当时，则______．
   三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：
；
．本小题分
已知：如图，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度．
以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为：，点的坐标是______；
的面积是______平方单位．
本小题分
如图，在中，，是边上的一点，于点．
求证：∽；
如果，，，求的长．
本小题分
我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克．在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？本小题分
如图，是的外接圆，，延长到，连接，使交于．
求证：与相切；
若，求的半径．
本小题分
如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．
求证：∽．
当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
本小题分
【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图，点为坐标原点，的半径为，点动点在上，连接，作等边三角形为顺时针顺序，求的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接．
请你找出图中与相等的线段，并说明理由；
请直接写出线段的最大值．
【迁移拓展】
如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，以为边作等边三角形，请直接写出的最大值和最小值．
 本小题分
如图，已知、、动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边、、做匀速运动；动直线从位置出发，以每秒个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当点运动到时，它们都停止运动．
若为线段中点，以为圆心，为半径的圆与直线相切时，求的值；
若是以为圆心，为半径的圆，
当在线段上运动时，直线与相交时，求的取值范围；
在整个运动过程中，若动点以每秒个单位的速度运动，使与直线有且只有两次机会相切，求出满足的条件．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是一元一次方程，故本选项不合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.是二元二次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次的整式方程，叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
或，
所以，，
当三角形的第三边长为时，，不符合三角形三边的关系，舍去；
当三角形的第三边长为时，三角形的周长为．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到，，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长，从而得到三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
 3.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送张相片，有个人是解决问题的关键．根据题意得：每人要赠送张相片，有个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】
解：根据题意得：每人要赠送张相片，有个人，
全班共送：，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：为的黄金分割点，，
，
故选：．
利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：连接，如图，
为直径，
，
，
．
故选：．
本题考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余关系计算的度数．
 6.【答案】 【解析】解：如图，根据网格点即为所求．

的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
与的交点即为所求的的外心，
的外心坐标是．
故选：．
首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
 7.【答案】 【解析】解：，，垂足为
∽∽
、，正确；
B、应为，错误；
C、是射影定理，正确；
故选：．
在中，，，因而∽∽，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以证明各个选项．
本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．
 8.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
又，
≌，
，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的一段弧，如图所示，

连接交弧于点，此时，的值最小，
在中，，
由勾股定理得，，
，
故选：．
先确定点的运动轨迹为以为直径的一段弧，再求的最小值即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键，合比性质：．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意，厘米，
厘米千米．
故A、两地的实际距离是千米．
故答案为：．
实际距离图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．
 11.【答案】 【解析】解：，
劣弧的度数为；
故答案是：．
根据圆心角与弧的定义解答即可．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系．我们把顶点在圆心的周角等分成份，则每一份的圆心角是因为同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成份，我们把每一份这样的弧叫做的弧，这样，的圆心角所对的弧就是的弧．
 12.【答案】 【解析】解：把代入方程，可得
，
故答案为：．
是方程的一个根，那么就把代入方程，从而可得的值．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
 13.【答案】此题答案不唯一，如或或：：或等 【解析】解：是公共角，
当或时，∽有两角对应相等的三角形相似，
当：：或时，∽两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，
要使∽，还需添加一个条件：答案不唯一，如或或：：或等．
故答案为：此题答案不唯一，如或或：：或等．
由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得可以添加或；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得可以添加：：或，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
 14.【答案】 【解析】解：劣弧所对的圆周角是，对的圆心角是，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理得出，代入求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
平分，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据弧、弦之间的关系得到，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的性质、圆心角、弧弦之间的关系是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：关于一元二次方程常数项为，
，
解得，；
又，，
．
故答案为：．
关于一元二次方程的常数项是，解出关于的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得的值．
此题考查一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件；以及解一元二次方程．
 17.【答案】 【解析】解：、都是圆的弦，，，
、为、的中点，即线段为的中位线，
．
故答案为：．
由、都是圆的弦，，，根据垂径定理可知、为、的中点，线段为的中位线，根据中位线定理可知．
本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理的运用．关键是由垂径定理得出两个中点．
 18.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，，
为边的中点，
，
，
为的中点，
，
，
，，
∽，
，
，
四边形是正方形，，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
在直角中，利用勾股定理求出的长度，由于为的中点，得到的长度，由于，易得∽，从而求得的长度，由于，可以证明∽，即可解决．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求线段长，是求线段的常用方法．
 19.【答案】解：方程整理得：，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 【解析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种的解法是解本题的关键．
 20.【答案】；
  ． 【解析】解：如图所示：即为所求，点的坐标是；
故答案为：；
的面积是：．
故答案为：．
【分析】
利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置进而求出即可；
利用梯形面积减去周围三角形面积求出的面积．
此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关键．  21.【答案】证明：，
，
，
∽；
解：在中，
，，
，
∽，
，
，
． 【解析】根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 22.【答案】解：设每千克茶叶应降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周的销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每千克茶叶应降价元． 【解析】设每千克茶叶应降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周的销售量为千克，利用每周获得的利润每千克的销售利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 23.【答案】证明：连接，

，
，
；
又，
，
是半径，
是的切线；
解：设的半径为，
则，，，
在中，，
，
解得，
的半径为． 【解析】连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明；
设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出．
本题考查了切线的判定定理．圆周角定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握切线的判定．
 24.【答案】证明：矩形，
，，
，
又，
，
∽．

解：分二种情况：
若∽，如图，则，
，
四边形为矩形，
，即．
如图，若∽，则，

，
．
．
，
点为的中点，
中，，，
，
，
∽，
，
，
，
满足条件的的值为或． 【解析】根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再结合中的结论，得到等腰再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
本题属于三角形综合题综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．审题时需要特别注意：点是线段上的一点；是“以点，，为顶点的三角形也与相似”，不是单指“∽”．
 25.【答案】解：【解决问题】
如图中，结论：，

理由：，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
．
在中，，
当、、共线，
的最大值为，
的最大值为．
【迁移拓展】
如图中，以为边作等边三角形，

，
，且，，
≌，
，
欲求的最大值，只要求出的最大值即可，
定值，，
点在以为直径的上运动，
如图，

由图象可知，当点在上方，时，的值最大，最大值，
的最大值为．
当点在线段的右侧时，同法可得的最小值为． 【解析】【解决问题】
结论：只要证明≌即可；
利用三角形的三边关系即可解决问题；
【迁移拓展】
以为边作等边三角形，由≌，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在上方，时，的值最大；同理可求的最小值．
本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
 26.【答案】解：如图，当点在线段上时，

点，点，
，，，
为中点，
，，
，
，
，，
∽，
，即，
，
当点在上时，，

∽，
，即，
解得，
综上所述，或；
如图，当直线在右侧与圆相切时，
，解得；
当直线在左侧与圆相切时，
，解得；
综上所述，当时，直线与相交；
由可知，只有两次相切表示只能在圆的左侧和右侧相切，右侧相切点一定在线段上，
当与直线恰好第三次相切时，即此时点运动回到点，点速度达到最大值，如图所示，

直线运动运动时间，
点速度为，
与直线有且只有两次机会相切，求出满足的条件为：． 【解析】分两种情况讨论，当点在上时，推出∽，根据相似三角形的性质，可以求出的值，当点在上时，∽，根据相似可求解的值．
分别求出相切时的两种情况下的值，进而求相交时的取值范围；
由可以判断两次相切只能在圆的左侧和右侧，可以求出的取值．
本题考查相似三角形的性质、圆的切线、以及动点问题，解题关键是对涉及到的知识点掌握熟练并能够灵活运用，分析出动点在运动过程中所有能够满足的情况进行求解．