人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词第1课时当堂达标检测题

第一章　1.5　第1课时

一、选择题

1．下列说法正确的是(　D　)

A．梯形是不是平面图形呢？是命题

B．语句“标准大气压下，100℃时水沸腾”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

[解析]　对于A，是疑问句，不是命题，不正确；B所给语句是命题，不正确；满足C的不一定是菱形，不正确；D说法正确．故选D．

2．下列语句是真命题的个数是(　A　)

①一个正整数不是素数就是合数；

②若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数；

③60x＋9>4；

④若x∈N，则x2＋4x＋7>0.

A．1　　　　　　 B．2

C．3 D．4

[解析]　①该语句是命题．由于整数1不是素数，也不是合数，所以它是假命题；②该语句是命题.＋(－)和×(－)都是有理数，但，－都是无理数，所以它是命题且是假命题；③这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题；④因为当x∈N时，x2＋4x＋7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．故选A．

3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　B　)

A．直角三角形的内角有一个是90°

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数，使>2

[解析]　A是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B．

4．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　D　)

A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

[解析]　全称量词命题含有量词“∀”，故排除A，B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．故选D．

二、填空题

5．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋3>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.

其中是真命题的是__①③__(把所有真命题的序号都填上)．

[解析]　①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3>0，即x2＋3>0，所以命题“∀x∈R，x2＋3>0”是真命题；②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，是假命题；③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立，是真命题；④由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题．

6．下列命题：

①存在x<0，使|x|>x；

②对于一切x<0，都有|x|>x；

③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；

④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.

其中，所有正确命题的序号为__①②③__.

[解析]　命题①②显然为真命题；③由于对于∀x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立，故③为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1,2,3时，6∈(A∩B)，故为假命题．

三、解答题

7．用符号“∀”或“∃”表示下列命题，并判断真假：

(1)实数的平方大于或等于0；

(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立．

[解析]　(1)∀x∈R，x2≥0，是真命题．

(2)∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0，是真命题．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　D　)

A．{a|a≥－3}　　　 B．{a|a>－3}

C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}

[解析]　因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a<－3.故选D．

2．(多选题)给出下列命题，其中真命题有(　AB　)

A．存在x<0，使|x|>x

B．对于一切x∈Z，都有|x|∈N

C．存在x<0，使|x|≤x

D．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b

[解析]　易知选项A、B为真命题；C中命题当x<0时，|x|>x，所以C为假命题；D中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定是“对于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，都有a<b，即a≠b，故D为假命题．

二、填空题

3．若存在实数x∈{x|x≤1}，使不等式4x＋3≥m能够成立，则实数m的取值范围是__m≤7__.

[解析]　要使不等式4x＋3≥m能够成立，只需要实数4×1＋3≥m，即m≤7.

4．已知命题p：∀x∈{x|x≤}，－2x＋a≥0，命题q：x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围是__a≥1__.

[解析]　若p是真命题，则－2×＋a≥0，即a≥1.

若q为假命题，则a>，故a≥1.

三、解答题

5．已知命题p：∃x≥－，2x＋2－a＝0为真命题，求实数a的取值范围．

[解析]　因为p为真命题，即方程2x＋2－a＝0，在x>－范围内有实根，所以a＝2x＋2≥2×(－)＋2＝1，

∴a≥1，即实数a的取值范围为a≥1.