高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系同步练习题

第一章　1.2

A组·素养自测

一、选择题

1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2⊆A；②{－2}∈A；③∅⊆A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有(　C　)

A．1个　　　　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

[解析]　∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．

2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(　A　)

A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2

C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3

[解析]　由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴，∴.

3．满足{3,4}⊆M⊆{0,1,2,3,4}的所有集合M的个数是(　C　)

A．6　　 B．7

C．8　　 D．9

[解析]　由题意知M中必须有3,4这两个元素，则M的个数就是集合{0,1,2}的子集的个数，即23＝8(个)．

4．若集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＝0}，B＝{x|mx＝2}，且B⊆A，则实数m的值为(　D　)

A．2 B．－2

C．2或－2 D．2或－2或0

[解析]　注意别忘记B＝∅，即m＝0.

5．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则(　B　)

A．MN B．NM

C．M＝N D．M，N的关系不确定

[解析]　由题意，得N＝{0,1}，故NM.

6．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是(　D　)

A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}

C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}

[解析]　∵A⊆B，∴a≥2，故选D．

二、填空题

7．下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.

其中正确的是__④__.

[解析]　∅不是其自身的真子集，所以④正确．

8．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为__M＝P__.

[解析]　∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.

9．已知集合A＝{－1,5,6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B⊆A，则实数m＝__3__.

[解析]　∵B⊆A，∴m2＝6m－9，∴m＝3.

三、解答题

10．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，求实数a的值．

[解析]　A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，

∵B⊆A，

∴当B＝∅时，a＝0，

当B≠∅时，B＝{x|x＝}，

∴＝－1或＝1，

∴a＝－1或a＝1.

综上可知，实数a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.

11．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．

[解析]　E＝{x|＝0}＝{0}．

下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．

方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.

①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.

②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，EF.

综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|x－5<0}，则P与Q的关系为(　A　)

A．PQ B．QP

C．P＝Q D．不确定

[解析]　∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，

∴利用数轴判断P、Q的关系．

如图所示，

由数轴可知，PQ.

2．已知集合A＝{x|1<x<2 019}，B＝{x|x≤a}，若AB，则实数a的取值范围是(　A　)

A．{a|a≥2 019} B．{a|a>2 019}

C．{a|a≥1} D．{a|a>1}

[解析]　∵AB，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．

由图可知，a≥2 019，故选A．

3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是(　BC　)

A．1∈A B．B⊆A

C．(1,1)∈B D．∅∈A

[解析]　B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选BC．

4．(多选题)(2019·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是(　AB　)

A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集

B．若S为封闭集，则一定有0∈S

C．封闭集一定是无限集

D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集

[解析]　A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0}⊆T＝{0,1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB．

二、填空题

5．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__.

[解析]　集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．

6．(2019·四川省眉山市期末)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B⊆A，则a的取值范围为__{a|a<－8或a≥3}__.

[解析]　利用数轴法表示B⊆A，如图所示，

则a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.

7．已知集合U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A．

则集合A＝__{a2，a3}__.(用列举法表示)

[解析]　集合U的恰有两个元素的子集有：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6个，其中符合题意的只有{a2，a3}．

三、解答题

8．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．

[解析]　由题意得①或②

解①，得或

经检验不合题意，舍去，则

解②，得经检验不合题意，舍去，

综上得

9．(2019·四川乐山市检测)已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．

[解析]　(1)当P＝∅时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.

(2)当P≠∅时，易得Q＝{－1，－4,1}．

①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；

②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；

③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．

综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是{m|m>}．