数学八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试单元测试练习

这是一份数学八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试单元测试练习，共22页。
A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
2．（2021春•东坡区期末）已知一个等腰三角形的周长为22cm，若其中一边长为6cm，则它的腰长为（ ）
A．6cmB．10cmC．6cm或8cmD．8cm或10cm
3．（2021春•临沭县期末）若直角三角形的两条边长分别为a、b，且满足a＝3，b＝4，则该直角三角形的第三边的长为（ ）
A．5B．C．5或D．不确定
4．（2021春•威宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
5．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
6．（2021春•郫都区期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25B．175C．600D．625
7．（2021春•雨花区校级月考）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（ ）
A．16B．20C．20D．24
8．（2021春•龙口市期末）如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，并且△ABC是等腰三角形，若点C也在格点上，则点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2021春•舞钢市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，E和F分别是AB和BD上的动点，已知△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm，则AF+EF的最小值是（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
10．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021春•卧龙区期末）若等腰三角形的周长为12，三边长都是整数，则其底边长为 ．
12．（2021春•宁阳县期末）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的三个角的度数为 ．
13．（2020秋•朝阳县期末）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 ．
14．（2021春•禹州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为边BC、AC、AB的长．若a+b＝16，c＝12，则Rt△ABC的面积为 ．
15．（2020秋•随县期末）如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 m．
16．（2021春•海淀区校级期中）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为 ．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（6分）（2021春•平顶山期末）如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称．
（1）直接写出△ABC的面积 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m．
（3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB．
18．（8分）（2020•九龙坡区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．
（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；
（2）求证：AD∥EG．
19．（8分）（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
20．（10分）（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
21．（10分）（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
22．（12分）（2020•温州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
23．（12分）（2020秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB上的高；
（2）①当点P在CB上时，CP的长为 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（3）在整个运动中，直接写出△BCP是等腰三角形时t的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春•焦作期末）下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
【解析】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D找不出这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
2．（2021春•东坡区期末）已知一个等腰三角形的周长为22cm，若其中一边长为6cm，则它的腰长为（ ）
A．6cmB．10cmC．6cm或8cmD．8cm或10cm
【解析】解：①6cm是腰长时，底边＝22﹣6×2＝10（cm），
∵6+6＝12＞10，
∴6cm、6cm、10cm能够组成三角形，
此时腰长为6cm；
②6cm是底边时，腰长＝×（22﹣6）＝8（cm），
6cm、8cm、8cm能够组成三角形，
此时腰长为8cm，
综上所述，腰长为6cm或8cm．
故选：C．
3．（2021春•临沭县期末）若直角三角形的两条边长分别为a、b，且满足a＝3，b＝4，则该直角三角形的第三边的长为（ ）
A．5B．C．5或D．不确定
【解析】解：①当a，b为两直角边时，根据勾股定理，
第三边长为：＝＝5，
且3+4＞5，
②当b为斜边长时，根据勾股定理，
第三边长为：＝，
且3+＞4，
∴该直角三角形的第三边的长为5或，
故选：C．
4．（2021春•威宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【解析】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠CAD＝65°，
故选：B．
5．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
6．（2021春•郫都区期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25B．175C．600D．625
【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S，
∴S＝625．
故选：D．
7．（2021春•雨花区校级月考）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（ ）
A．16B．20C．20D．24
【解析】解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，
∴CD＝3，EF＝6，
根据题意，AG＝AB+CD+EF＝12，GF＝BC+DE＝16，
在Rt△AGF中，
AF＝＝＝20．
故选：B．
8．（2021春•龙口市期末）如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，并且△ABC是等腰三角形，若点C也在格点上，则点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：如图所示：
故选：C．
9．（2021春•舞钢市期末）如图，BD是△ABC的角平分线，E和F分别是AB和BD上的动点，已知△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm，则AF+EF的最小值是（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
【解析】解：如图，作E关于BD的对称点G，连接FG，过点A作AH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴G必在BC上，
∵E、G关于BD对称，
∴EF＝FG，
∴AF+EF＝AF+FG，
∵点到直线垂线段最短，
∴AF+FG最小值为AH的长，
∵△ABC的面积是12cm2，BC的长是8cm，
∴，
∴AH＝3cm，
∴AF+EF的最小值是3cm，
故选：A．
10．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
【解析】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
二．填空题
11．（2021春•卧龙区期末）若等腰三角形的周长为12，三边长都是整数，则其底边长为 2或4 ．
【解析】解：当腰长为4时，则底边＝12﹣8＝4，因为4﹣4＜4＜4+4，所以符合题意；
当腰长是5时，则底边＝12﹣10＝2，因为5﹣2＜5＜5+2，所以符合题意；
当腰长为3时，则底边＝12﹣6＝6，因为3+3＝6，所以不合题意，故舍去；
当腰长为6时，则底边＝12﹣12＝0，不符合题意，故舍去；
故答案为：2或4．
12．（2021春•宁阳县期末）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的三个角的度数为 70°，55°，55°或40°，70°，70° ．
【解析】解：70°角是顶角时，底角为（180°﹣70°）＝55°，
此时，三个角的度数为70°，55°，55°；
70°角是底角时，顶角为180°﹣70°×2＝40°，
此时，三个角的度数为40°，70°，70°．
综上所述，这个等腰三角形的三个角的度数为：70°，55°，55°或40°，70°，70°．
故答案为：70°，55°，55°或40°，70°，70°．
13．（2020秋•朝阳县期末）如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 19cm ．
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19cm．
14．（2021春•禹州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为边BC、AC、AB的长．若a+b＝16，c＝12，则Rt△ABC的面积为 28 ．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
∵c＝12，
∴a2+b2＝144，
∵a+b＝16，
∴a2+b2+2ab＝256，
∴ab＝56，
∴Rt△ABC的面积为：ab＝，
故答案为：28．
15．（2020秋•随县期末）如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 （﹣） m．
【解析】解：如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，
故BC＝AB＝AC＝2m，
则AD＝2sin60°＝m，
如图2所示：
过点A作AE⊥BC于点E，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB，
则AE＝BC＝m，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了（﹣）m．
故答案为：（﹣）．
16．（2021春•海淀区校级期中）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为 S1+S2＝S3 ．
【解析】解：设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a•a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．
三．解答题
17．（2021春•平顶山期末）如图，△ABC和△A'B'C'的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且△ABC和△A'B'C'关于直线m成轴对称．
（1）直接写出△ABC的面积 5 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m．
（3）请在线段BC的上方找一点D，画出△DCB，使△ABC≌△DCB．
【解析】解：（1）△ABC的面积＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5；
故答案为5；
（2）如图，直线m为所作；
（3）如图，△DCB为所作．
18．（2020•九龙坡区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．
（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；
（2）求证：AD∥EG．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝×80°＝40°，
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠E+∠AFE，
∴∠AEF＝∠BAD＝40°；
（2）证明：由（1）得∠AEF＝∠BAD，
∴AD∥EG．
19．（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
【解析】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB＝50°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠CAB＝25°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE．
20．（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
【解析】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中，，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF．
21．（2020秋•大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
【解析】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
22．（2020•温州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【解析】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
23．（2020秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求AC的长及斜边AB上的高；
（2）①当点P在CB上时，CP的长为 2t﹣4 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．
（3）在整个运动中，直接写出△BCP是等腰三角形时t的值．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．
设斜边AB上的高为h，
∵AB•h＝AC•BC，
∴5h＝3×4，
∴h＝2.4．
∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；
（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，
①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，
∵AC＝4，
∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．
故答案为：2t﹣4．
②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：
∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，
∴P'D＝P'C＝2t﹣4，
∵BC＝3，
∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，
在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，
，
∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），
∴AD＝AC＝4，
又∵AB＝5，
∴BD＝1，
在Rt△BDP'中，由勾股定理得：
12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，
解得：t＝．
故答案为：．
（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP＝BC＝3，
∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，
∴2t＝1，
∴t＝0.5；
②当点P在线段AB上时，若BC＝BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP＝4+3+3＝10，
∴2t＝10，
∴t＝5；
若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴5CH＝4×3，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH＝＝1.8，
∴BP＝3.6，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，
∴2t＝10.6，
∴t＝5.3；
若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ＝CQ＝0.5×BC＝，∠PQB＝90°，
∴∠ACB＝∠PQB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝0.5×AC＝0.5×4＝2，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝2.5，
点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5，
∴2t＝9.5，
∴t＝4.75．
综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．