黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2021-2022学年九年级上学期第一次质检数学【试卷+答案】

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2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市部分学校九年级（上）
第一次质检数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（　　）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3
3．（3分）若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
4．（3分）抛物线y＝﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，﹣3） C．（，3） D．（﹣，3）
5．（3分）若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
6．（3分）对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　）
A．10.8（1+x）＝16.8
B．16.8（1﹣x）＝10.8
C．10.8（1+x）2＝16.8
D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8
9．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
10．（3分）一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　 　．
12．（3分）方程（x﹣3）（x﹣9）＝0的根是　 　．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+6的对称轴为 　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　 　．

15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　 　．

16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0； ③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有　 　．

17．（3分）已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　 　．
三．解答题（共69分）
18．（8分）解方程：
（1）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）；
（2）2x2﹣7x+3＝0（公式法）．
19．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案．
20．（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
21．（12分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
22．（10分）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）

23．（11分）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．（14分）已知，如图，抛物线y＝ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市部分学校九年级（上）第一次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（　　）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3
【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x＝6，
配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，
故选：A．
3．（3分）若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+＝0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4＝0，2x﹣y﹣3＝0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．
【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+＝0，
所以|x2﹣4x+4|＝0，＝0，
即（x﹣2）2＝0，2x﹣y﹣3＝0，
所以x＝2，y＝1，
所以x+y＝3．
故选：A．
4．（3分）抛物线y＝﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，﹣3） C．（，3） D．（﹣，3）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：y＝﹣（x+）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．
故选：B．
5．（3分）若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【分析】首先根据题意求得判别式Δ＝m2﹣4＞0，然后根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝m，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
解得：m＞2或m＜﹣2，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
6．（3分）对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．
【解答】解：对于函数y＝﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，对称轴x＝m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选：D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2＝0有实数根，
∴，
解得：k＞﹣1．
故选：A．
8．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　）
A．10.8（1+x）＝16.8
B．16.8（1﹣x）＝10.8
C．10.8（1+x）2＝16.8
D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2＝16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2＝16.8，
故选：C．
9．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
10．（3分）一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
二．填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　0　．
【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k1＝1，k2＝0
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
12．（3分）方程（x﹣3）（x﹣9）＝0的根是　x1＝3，x2＝9　．
【分析】先把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）＝0，
x﹣3＝0，x﹣9＝0，
x1＝3，x2＝9，
故答案为：x1＝3，x2＝9．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+6的对称轴为 　直线x＝1　．
【分析】根据二次函数对称轴为直线x＝﹣求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+6，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1．
故答案为：直线x＝1．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　．

【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
∴S△BCD＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　（1+，2）或（1﹣，2）　．

【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝2，可得﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），
故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．

16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0； ③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有　③　．

【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x＝﹣，结合图象与x轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c＝0，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x＝4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+c＞0．
【解答】解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：x＝﹣＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b+2a＝0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a，
∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，
又由①得b＝﹣2a，
∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x＝4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b＝﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④错误；
故正确为：③1个．
故答案为：③．
17．（3分）已知点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是　﹣3≤y≤5　．
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可以求得相应的y的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2﹣3，
∴该函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，取得最小值，此时y＝﹣3，
∵点P（x，y）在二次函数y＝2（x+1）2﹣3的图象上，
∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5，
故答案为：﹣3≤y≤5．
三．解答题（共69分）
18．（8分）解方程：
（1）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）；
（2）2x2﹣7x+3＝0（公式法）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x（x﹣3），
（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0，
∴x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）2x2﹣7x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣7，c＝3，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝3，x2＝．
19．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），函数的最小值是﹣4．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当自变量的取值范围为什么时，该二次函数的图象在横轴上方？请直接写出答案．
【分析】（1）先利用二次函数的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把（0，﹣2）代入求出a即可；
（2）2（x﹣1）2﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣，0），（1+，0），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过（2，﹣2），（0，﹣2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣2）代入得a（0﹣1）2﹣4＝﹣2，解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣4；
（2）当y＝0时，2（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝1﹣，x2＝1+，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣，0），（1+，0），
∴当x＜1﹣或x＞1+时，y＞0，
即当x＜1﹣或x＞1+时，该二次函数的图象在横轴上方．
20．（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
【分析】确定每件利润、销售量，根据利润＝每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值．
【解答】解：设销售价每件定为x元，则每件利润为（x﹣8）元，销售量为[100﹣10（x﹣10）]，
根据利润＝每件利润×销售量，
可得销售利润y＝（x﹣8）•[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，
∴当x＝14时，y的最大值为360元，
∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元．
21．（12分）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24000元吗？为什么？
（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
【分析】（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．
【解答】解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为（8﹣x）米，
∴S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，其中0＜x＜8；

（2）能，
∵设计费能达到24000元，
∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12（平方米），
即﹣x2+8x＝12，
解得：x＝2或x＝6，
∴设计费能达到24000元．

（3）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，S最大值＝16，
∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
22．（10分）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）

【分析】（1）依题意设抛物线顶点式，将点A坐标代入可得抛物线的表达式．
（2）令y＝0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，依题意可知CD＝EF，从而得方程﹣（x﹣6）2+4＝2解得x的值即可知道CD、BD．
【解答】解：（1）根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
将点A（0，1）代入，得：36a+4＝1，
解得：a＝﹣，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；

（2）令y＝0，得：﹣（x﹣6）2+4＝0，
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地点C距守门员13米；

（3）如图，足球第二次弹出后的距离为CD，

根据题意知CD＝EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴﹣（x﹣6）2+4＝2，
解得：x1＝6﹣2，x2＝6+2，
∴CD＝x2﹣x1＝4≈10，
∴BD＝13﹣6+10＝17米，
答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17米．
23．（11分）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用Δ＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；
（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
24．（14分）已知，如图，抛物线y＝ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据OC＝3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y＝ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；
（2）图，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；
（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形．
【解答】解：（1）∵OC＝3OB，B（1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点B，C的坐标代入y＝ax2+2ax+c，得a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3．

（2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），
DM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴﹣1＜0，
∴当x＝时，DM有最大值，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×4×3+×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+×＝．

（3）存在．
讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣3），令﹣3＝x2+2x﹣3
∴x1＝0，x2＝﹣2．
∴P1（﹣2，﹣3）．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3），
∴可令P（x，3），3＝x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6＝0
解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
此时存在点P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：
P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．


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日期：2021/11/4 5:25:48；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421