专题07 《不等式与不等式组》（解析版+原卷版）-期末复习2021-2022学年七年级下学期数学（人教版）

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考点一、不等式
例1、（2020·江苏宿迁市·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】
利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】
A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
考点二、一元一次不等式
例2、（2020·辽宁沈阳市·中考真题）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的基本性质，不等号两边同时除以2即可得出答案．
【详解】
解:不等式两边同时除以2得：x≤3，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题关键在于熟练掌握不等式的性质，利用不等式的性质进行解题．
考点三、一元一次不等式组
例3、（2020·广西中考真题）不等式组的整数解共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案.
【详解】
解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式5﹣x≥1，得：x≤4，
则不等式组的解集为1＜x≤4，
所以不等式组的整数解有2、3、4这3个，
故选：C.
【点睛】
此题考查求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集得到不等式组的解集是解题的关键.
【达标检测】
1．下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【详解】
解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．
故选：D．
【点睛】
这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
2．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】
主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】
解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①；②；⑤，⑥共有4个．
答案：．
【点睛】
本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解答此类题关键是要识别常见不等号: ＞、＜、≤、≥、≠．
3．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据不等式的定义即可列出温度的变化范围．
【详解】
解：年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，
当天淮安气温的变化范围是，
答案：．
【点睛】
此题主要考查不等式的表示，解题的关键是根据题意列出符合题意的不等式．
4．若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】
解：A、∵a＞b，
∴-a+7＜-b+7，故A正确，符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B错误，不符合题意；
C、∵a＞b，
∴-5a＜-5b，故C错误，不符合题意；
D、∵a＞b，
∴2a-10＞2b-10，故D错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查不等式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
5．已知实数a、b满足，则下列选项可能错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，-a＜-b．
【详解】
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，-a＜-b．
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先解不等式，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【详解】
解：，解得：
在2处是实心圆点且折线向左，
故选：A
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．不等式组的整数解的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
【详解】
解：解不等式x-4≥1，得：x≥5，
解不等式3x+6＞4x-2，得：x＜8，
则不等式组的解集为5≤x＜8，
∴不等式组的整数解的个数为5、6、7这3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据不等式的性质即可判断求解．
【详解】
解：不等式的解集为，
，
，
故选．
【点睛】
此题主要考查不等式性质的应用，解题的关键是熟知不等式的性质．
10．若关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2B．a≥2C．a＞﹣2D．a≤2
【答案】A
【分析】
先化简不等式组，然后由不等式组无解确定出a的范围，即可．
【详解】
解：关于x的不等式组，化简得：，
∵不等式组无解，
∴a+6＜4，解得：a＜-2．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解，理解“大大小小无解”，是解题的关键．
二、填空题
11．已知，则__．（填“”、“”或“”）
【答案】>
【分析】
根据不等式性质可得结果．
【详解】
解：∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
12．已知1y
故答案为：>
【点睛】
本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解题的关键
14．不等式的非负整数解是_________．
【答案】、1、2、3
【分析】
先解不等式，根据解集可确定非负整数解．
【详解】
解：移项得：，
系数化为1得：，
它的非负整数解为：、1、2、3．
故答案为：、1、2、3．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．不等式的正整数解有____________个．
【答案】1
【分析】
先解一元一次不等式，再求整数解，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴x≤1，
∴不等式的正整数解有1个，
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查不等式的特殊解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
16．关于x的不等式组的解集如图所示，则m的值为________．
【答案】2
【分析】
先根据数轴写出解集，再解不等式组，即可得出结果
【详解】
解：
解得：
由题意可知：x≤1
∴m-1=1
m=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查由不等式组的解集求参数、正确识别在数轴表示的不等式组的解集是关键
17．若点P（2k+1，1﹣k）在第一象限，则k的取值范围是__________________．
【答案】﹣＜k＜1
【分析】
根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可．
【详解】
解：∵点P（2k+1，1﹣k）在第一象限，
∴，
解不等式①得，k＞﹣，
解不等式②得，k＜1，
所以，不等式组的解集是﹣＜k＜1．
故答案为：﹣＜k＜1．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
18．已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝___时，n取得最小值__．
【答案】72 5
【分析】
先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值．
【详解】
解：移项得，，
∵m、n为正整数，
∴，
∴m≥67.5，
若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数，
∴当m＝72时，n最小＝5，
故答案为：72；5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程分正整数解，解一元一次不等式等知识，根据题意得到关于m的不等式并根据正整数解的定义确定m的值是解题关键．
三、解答题
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为___________．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】
分别求出每个不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而确定不等式组的解集．
【详解】
解：不等式的解集为，
不等式的解集为．
在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为．
故答案为：（1）；（2）；（3）见详解；（4）．
【点睛】
本题考查了不等式组的解法的知识点，熟知解不等式组的步骤和方法是解题的关键．
20．解不等式组：．并写出所有的正整数解．
【答案】-2＜x≤3；1，2，3
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，从而得到正整数解．
【详解】
解：，
解不等式得：x＞-2，
解不等式得：x≤3，
∴不等式组的解集为-2＜x≤3，
∴所有的正整数解为1，2，3．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．按图中程序进行计算：
规定：程序运行到“结果是否大于10”为一次运算．若运算进行二次才停止，求出x的取值范围．
【答案】．
【分析】
根据程序进行二次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】
解：依题意，得，
解得2＜x≤4．
答：x的取值范围为2＜x≤4．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．已知两个整式，，其中系数被污染．
（1）若是，化简；
（2）若时，的值为18
①说明原题中是几？
②若再添加一个常数，使，，的和不为负数，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①4；②-18
【分析】
（1）直接根据整式的加减运算法则求解即可；
（2）①设，然后将代入，从而得到关于的方程，求解即可；②根据以及，，的和不为负数，直接建立不等式求解即可．
【详解】
解：（1）
（2）①设，依题意得，
解之得，
②由于，所以、、的和不为负数时有．
即，解之得，，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，掌握基本的运算法则和顺序，并注意题中要求，是解题关键．
23．若关于x的方程组的解满足，求m的取值范围．
【答案】m＞
【分析】
用加减消元法解出x和y的值，把x和y用含有m的式子表示，代入y＜x，求出m的值即可．
【详解】
解：，
解得：，
∵y＜x，
∴，
解得：m＞．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是正确求出x和y．
24．去年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运输情况如下：
（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了66吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【答案】（1）A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资；（2）6辆
【分析】
（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送66吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意，得：，解得：．
答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资；
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：10×3＋6m≥66，
解得：m≥6，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为6.
答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式的实际应用，准确找出数量关系，列出方程组以及不等式，是解题的关键．
25．（1）（阅读理解）“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为和．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）（理解应用）根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是．
②不等式的解集是．
（3）（拓展应用）解不等式，并画图说明．
【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②-3；3；（2）①或；②；（3）或，见解析
【分析】
（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】
①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．
故答案为：，．
①不等式的解集是或．
故答案为：或．
②不等式的解集是．
故答案为：．
根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，
如下图所示，
可知不等式的解集是或．
【点睛】
本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
第一批
第二批
A型号货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型号货车的辆数（单位：辆）
4
5
累计运送货物的吨数（单位：吨）
34
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载