人教版七年级数学上册专题07线段中的动态模型(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学上册专题07线段中的动态模型(原卷版+解析)，共47页。
【知识储备】
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
例2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
例3．（2022·重庆七年级期中）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段 上； 当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
例2．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
模型3、阅读理解型（新定义）模型
例1．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______；
(2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立．
课后专项训练
1．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
3．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
4．（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上有A、B两点，点O是数轴原点，点C是线段的中点，．(1)求点C所表示的数；(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、Q的运动速度分别是每秒3个单位长度和每秒2个单位长度（当P与Q相遇，运动停止），点M是线段的中点，设运动时间为t秒．① 请用含t的式子表示的长；② 当时，求动点P在数轴上对应的数字．（参考：在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，则以A、B为端点线段的中点对应的数为）

5．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，，与互为相反数，线段在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为、的中点．

(1)的长为 ；若，则的长为 ；(2)在（1）条件下，当时，求N点所表示的有理数；(3)设，线段运动的速度为v，则在运动过程中，线段完全通过线段的时间为 ．（用含m、v的式子表示）
6．（2023秋·广东·七年级课堂例题）如图，数轴的原点为，是数轴上的三点，点B表示的数为1，，动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒，点Q的速度是1个单位长度/秒．设运动时间为秒．

(1)分别求点表示的数；(2)分别求点表示的数（用含t的式子表示）；(3)当t为何值时，？
7．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）已知数轴上、两点对应数分别为和4，为数轴上一点，对应的数为．(1)若为线段的三等分点，求点对应的数；
(2)数轴上是否存在点，使点到，两点的距离和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)若点，和点（在原点），同时向左运动，它们的速度分别是1、2、1个长度单位/分，则第几分钟时，为的中点？并求出此时点所对应的数．
8．（2023秋·广东·七年级课堂例题）如图，是线段上任意一点，两点分别从点同时出发，沿线段向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为．设运动的时间为．(1)若，①运动后，求的长；②当在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．

9．（2023秋·黑龙江大庆·七年级统考开学考试）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为．

(1)当时，，请求出的长；
(2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长．
10．（2022秋·云南昆明·七年级校考期末）如图，点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点，已知，

(1)在原点的左侧画点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)点，点同时从原点出发，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后立即返回向右运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点到达点时，两个点都停止运动．若时，求的值；(3)在以上的条件下，若点到达点后继续沿数轴向右运动，点的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点，点，点，点到原点的距离之和是15，求的值．
11．（2023秋·吉林·七年级校考期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
(1)，两点间的距离等于________，线段的中点表示的数为________；
(2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________；
(3)求当为何值时，？(4)若点为的中点，当点到原点距离为时， ________．
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在数轴上，点为原点，点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数为，点表示的数为，．

(1) ．(2)动点、分别从点、同时出发，沿数轴向左运动，点、的运动速度分别是2个单位秒和3个单位秒，当点与点重合时，运动停止．设运动时间为，当为何值时，；
(3)在（2）的条件下，点为线段的中点，点为的中点．当时，求出相应值，并直接写出线段的长．
13．（2023秋·河南焦作·七年级统考期末）如图，点是数轴的原点，点、点在数轴上，点表示的数是6，且，
(1)求线段的长；(2)点以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点同时出发，运动时间为秒，若点能够重合，求出这时的运动时间；(3)在（2）的条件下，当点和点都向同一个方向运动时，直接写出经过多少秒后，点两点间的距离为20个单位．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．

(1)求线段的长；(2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由．
15．（2023·绵阳市·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是，．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；
②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；
(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长
16．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图，是线段上一点，，，两点分别从，出发以，的速度同时沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为.(1)若，运动时，且 ，请求出的长.(2)若，运动到任一时刻时，总有，的长度是否变化？若不变，请求出的长，若变化，请说明理由.
(3)在（）的条件下，是直线上一点，且，求的长.
17．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
18．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．
设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．
(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．
19．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，数轴上有A、两点，点A对应的数是，点在点A的右侧，和点A相距6个单位长度．
(1)求出点所对应的有理数；(2)若点到点A、的距离之和是10个单位长度，求出点所对应的有理数；
(3)在（2）的条件下，如果点从点出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，求经过几秒后、两点相距6个单位长度．
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知和是同类项，且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数．(1)求线段的长度；(2)若点P、Q分别同时从点A、B出发，沿数轴向数轴负方向运动．点P的速度为1个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒，求t秒后线段的长（用含t的代数式表示）．(3)在（2）的条件下，已知点M把线段分成的两条线段的比为2：3，且，当时，求线段的长．
专题07 线段中的动态模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或．
【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；
③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
例2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，所以．
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
例3．（2022·重庆七年级期中）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段 上； 当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
【答案】（1）AC，C，BC； (2) s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm.
分析：（1）根据图形及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可.
【解析】(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上；

当AC=BC时，如图2，点D与C重合；

当AC