初中数学青岛版九年级上册3.3 圆周角优秀当堂达标检测题

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3.3圆周角同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，如果，那么的度数为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则

A.
B.
C.
D.

4. 如图，点，，在上，，则等于

A.
B.
C.
D.

5. 如图，为的直径，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在半圆中，是直径，是的中点，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点，，，都在上，，平分，则

A.
B.
C.
D.

8. 如图，、是上的两点，是直径，若，则

A.
B.
C.
D.

9. 如图，一把直角三角板的顶点、在上，边、与交于点、，已知，的大小为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是

A.
B.
C.
D.

11. 如图．点，，，，均在上．，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，为的直径，、为上两点，，连、相交于点．若，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，点、、在上，，，则的半径为______．
    
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆交轴于点已知点，点为上的一动点，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，连结，则面积的最小值为______．

15. 如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点若，则______．
    
     

16. 如图，在的内接四边形中，，若点在上，则______
    
    
     

17. 如图，、两点在以为直径的圆上，，，则______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，是的高，是的外接圆直径．
    求证：．
    
    
     

19. 已知：在中，的平分线分别交边、的外接圆于点，．
    求证：∽；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，点在内，点在外，点，在上，试比较与的大小．
    
     

21. 已知：如图，四边形内接于，的平分线交于点，交延长线于点求证：平分．
    
    
    
     

22. 如图，内接于，，，是边上一点，是优弧的中点，连接、、、．
    当的长度为多少时，是以为底边的等腰三角形？并证明；
    在的条件下，若，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：如图，和交于内一点，求证：．
    
     

24. 如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧的中点交于点．
    求证：．
    若，，求的长．
     

25. 如图，是的直径，、为上的点，且平分，作于点．
    求证：；
    若，求的长．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理得出，求出，再由圆周角定理得出即可，
【解答】
解：连接，如图所示：

是半圆的直径，
，
，
，
，
，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 
连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明∽，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长．
【解答】
解：连接，如图，
为直径，
，
，
，
而，
，
，
，
而，
，
，
，
在中，，
，
，，
，，
∽，
：：，即：：，
，
，
在中，，
．
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，

平分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，所以，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角也考查了勾股定理．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据圆周角定理可知，
，
即，
故选：．
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，正确认识与的位置关系是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：为的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
利用圆周角定理得到，然后根据正弦的定义求的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

6.【答案】
 

【解析】解：是半圆的直径，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
故选：．
由是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得的度数，继而求得的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得的度数，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、弧与弦的关系以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“同弧所对的圆周角相等”得出，注意角平分线性质的运用．
先根据三角形的内角和定理求得的度数，然后根据角平分线的性质得出，同弧所对的圆周角相等得出，于是得到结论．
【解答】
解：在中，
的半径，
，
又，，
，
，
平分，
，
，
．
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案．
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
故选：．
利用三角形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出即可．
本题考查圆内接四边形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系即可求出答案．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】解：连接，

，，
，
．
故选：．
首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：连接，
为圆的直径，
，
，
，
，
，
，
连接，
同理，，
设，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，由，得到，推出，连接，同理，，设，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】
解：

，又，
是等边三角形
，
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：如图，设，
过点作轴于，过点作，交的延长线于，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
点在以为圆心半径为的圆上，
连接，则，
，
，
即，
点在以点为圆心，为半径的圆上，到定点的距离是的点的轨迹，
以点为圆心，为半径的圆交轴于点，
，
，
，
，
，
过点作于，
，
设点到的距离为，
，
最小时，最小，而，
最小，
故答案为：．
设出点，先构造出≌，进而确定出点，再利用，建立方程，利用两点间的距离得出点是以为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．
此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点的坐标是解本题的关键，判断出点的轨迹是解本题的难点．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据垂径定理得到，由中位线的性质得到，由圆周角定理得到，求得，求得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：
连接，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，由可得到，在四边形中由对角互补可求得．
本题主要考查圆周角定理，由条件得到是解题的关键．注意圆内接四边形性质的利用．
 

17.【答案】
 

【解析】解：为直径，
，
，
．
故答案为．
利用圆周角定理得到，，然后根据含度的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

18.【答案】解：连接；
由圆周角定理可知，，
，，
∽．
：：，．
 

【解析】连接，两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出比例证明．
乘积的形式通常可以转化成比例的形式，通过证明三角形相似得出结论．
 

19.【答案】证明：平分，
，
，
∽；

∽，
，
，
，，
∽，
，
，
．
 

【解析】根据圆周角定理得出，根据相似三角形的判定推出即可；
根据相似得出比例式，证∽，根据相似三角形的性质得出，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出∽和∽，主要考查学生的推理能力．
 

20.【答案】解：延长交于，交于，连接、，如图，
，，
而，
．
 

【解析】延长交于，交于，连接、，如图，先根据三角形外角性质得到，，然后根据圆周角定理得到，从而得到
与的大小关系．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

21.【答案】解：平分，
，
，，
，
平分．
 

【解析】根据角平分线的定义和圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，角平分线的定义，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，是以为底边的等腰三角形．
是优弧的中点，
．
．
又圆周角定理，
当，≌．
，即是以为底边的等腰三角形．

过点作于，

由可知，
当时，，，
则．
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，
，
．
 

【解析】根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；
过点作于根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．
综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．
 

23.【答案】证明：连接、，如图所示：
、所对应圆弧都为弧，
，
，
∽，
，
．
 

【解析】连接，，由圆周角定理得出，证出∽，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，变形后即可得证．
此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：由是劣弧的中点，得，
，
又，
∽，
，
；

解：由是劣弧的中点，得，则
是直径，
是直角三角形．
，由得，，
解得．
 

【解析】欲证，是劣弧的中点，有，又公共，证明∽得出相似比；
欲求的长，由知，需求出、的长，是直径，则是直角三角形，勾股定理求出的长，．
乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出；
考查了直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
 

25.【答案】证明：平分，
．
，
，
．
解：作于点，如图所示：
则，
，
．
在和中，，
≌，
，
．
 

【解析】根据角平分线的性质可得出，由圆周角定理可得出，进而可得出，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出；
作于点，由垂径定理可得出，由可得出，结合、即可证出≌，再根据全等三角形的性质可得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．