第14讲-导数在研究函数中的应用（讲义版）学案

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第14讲-导数在研究函数中的应用
一、 考情分析
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；
2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
二、 知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象

形如山峰

形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点
3.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[微点提醒]
1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
三、 经典例题
考点一　求函数的单调区间
【例1】 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值.
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.
解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，
即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.
(2)由(1)得g(x)＝ex，
故g′(x)＝x(x＋1)(x＋4)ex.
令g′(x)<0，即x(x＋1)(x＋4)<0，
解得－1 所以g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).
规律方法　1.求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.
2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.
考点二　讨论函数的单调性
【例2】（2020·青海省高三一模）设函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值-ln2，求m+n的最小值.
【解析】（1）函数定义域为，
当时，，∴在上单调递增；
当时，得，
∴在上单调递增；在上单调递减.
(2)由（1）知，当时，在上单调递增；在上单调递减.
∴
∴， ∴
令 则
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.
规律方法　1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
考点三　函数单调性的简单应用　
【例3－1】已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x＝1＋ln x，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是(　　)
A.ff
C.f>f D.f>f
【例3－2】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　)
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(1，e) D.(e，＋∞)
解析　(1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝.由解得 又>，所以g>g，所以>，
即f>f.
(2)F′(x)＝＝，
又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0，
∴F(x)在R上单调递减.
由F(x)<＝F(1)，得x>1，
所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞).
规律方法　1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
考点四　利用导数解决函数的极值问题　
【例4－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
规律方法　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
【例4－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

ln 2－1

故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝(x>0).
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
规律方法　运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.
【例4－3】已知函数f(x)＝ln x.
(1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝x＋ln x0－1.
把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，∴x0＝1.
∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1.
(2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋(x>0)，
所以g′(x)＝－m－＝＝－，
令h(x)＝mx2－x＋m，
要使g(x)存在两个极值点x1，x2，
则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.
故只需满足即可，解得0 规律方法　已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
考点五　利用导数求函数的最值
【例5】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
解　(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意.
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0 令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－ 从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
∵－e2<－，∴a＝－e2为所求.
故实数a的值为－e2.
规律方法　1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
考点六　利用导数求解最优化问题
【例6】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).
(1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.
解　(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝＋(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(升)，
因此总用氧量y＝＋＋9(v>0).
(2)y′＝－＝，令y′＝0得v＝10，
当0 当v>10时，y′>0，函数单调递增.
若c<10 ，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，
∴当v＝10时，总用氧量最少.
若c≥10，则y在[c，15]上单调递增，
∴当v＝c时，这时总用氧量最少.
规律方法　1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答.
2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.
[方法技巧]
1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意函数f(x)的定义域.
2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.
3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.
4.求单调区间应遵循定义域优先的原则.
5.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.
6.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
7.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.
8.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.
9.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.
10.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.
11.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.
12.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.
13.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.
四、 课时作业
1．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·林芝市第二高级中学高二月考（理））已知函数的导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )

A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极大值
C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点
4．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16
5．（2019·山西省高二月考（文））已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）
A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－
6．（2020·四川省北大附中成都为明学校高二月考（理））函数的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设，，，则大小关系是( )
A． B．
C． D．
8．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（理））函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（理））已知函数在是单调增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
10．（2020·四川省高三三模（文））设函数，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·甘肃省兰州一中高二期中（文））函数f（x）的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019·佛山市顺德区容山中学高二开学考试）已知为函数的极小值点，则=（ ）
A．-2 B． C．2 D．-
13．（2018·河南省高三三模（理））已知函数，，若方程有2不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·湖南省高三三模（理））已知函数，是的导函数.①在区间是增函数；②当时，函数的最大值为；③有2个零点；④.则上述判断正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．①②
15．（2020·山东省滕州市第一中学新校高二月考）已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））函数在上有两个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
17．（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．（多选）（2020·山东省滕州市第一中学新校高二月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在上是增函数
C．函数是奇函数 D．方程的解为
19．（多选）（2020·山东省青州实验中学高二期中）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数的单调减区间是
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若则
20．（多选）（2020·扬州大学附属中学高二月考）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是（0，+）
B．x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C．存在单调递增区间
D．有且仅有两个极值点
21．（2020·河南省高三其他（理））已知函数，，若函数的导函数与（）的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为______．
22．（2020·四川省棠湖中学高二月考（文））如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②函数在处取最小值；
③函数在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是__________．

23．（2020·盐城市第一中学高三二模）函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.
24．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））已知函数是的导函数， 且.
(I)求的值;
(II)求函数在区间上的最值.
25．（2020·山东省山东师范大学附中高二月考）已知函数
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．
26．（2020·林芝市第二高级中学高二月考（理））已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
27．（2018·平遥县综合职业技术学校高三期中）设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
28．（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.