安徽省淮南市田家庵区洞山中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】

这是一份安徽省淮南市田家庵区洞山中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共18页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年安徽淮南市田家庵区洞山中学九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，共40分）.
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．ax2+bx+c＝0
2．方程x2＝x的解为（　　）
A．x＝﹣1或x＝0 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝1或x＝0
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
4．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
5．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣k﹣6＝0必有一根为0，则k的值是（　　）
A．3 或﹣2 B．﹣3或2 C．3 D．﹣2
6．若二次函数y＝x2﹣6x+9的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+，y3）三点．则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．9
9．已知二次函数y＝﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（　　）
A．h≥﹣2 B．h≤﹣2 C．h＞﹣2 D．h＜﹣2
10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．
12．去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快．物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月、3月的平均增长率为　 　．
13．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　 　．
14．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3在﹣1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共90分）
15．（24分）解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1＝0（用公式法）；
（2）2x2+1＝3x（用配方法）；
（3）2（x﹣3）2＝9﹣x2（用因式分解法）；
（4）（x+3）（x﹣1）＝5（方法不限）．
16．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．求这个二次函数的解析式．
17．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．
（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？
（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．
18．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2019的值．
19．已知二次函数．
（1）将化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤3时，求函数值y的取值范围．
20．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
21．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可得到结果．
解：x2＝0是一元二次方程，
故选：A．
2．方程x2＝x的解为（　　）
A．x＝﹣1或x＝0 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝1或x＝0
【分析】先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故选：D．
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
4．若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1
C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1
【分析】根据平移规律，可得答案．
解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣k﹣6＝0必有一根为0，则k的值是（　　）
A．3 或﹣2 B．﹣3或2 C．3 D．﹣2
【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．
解：把x＝0代入方程得：k2﹣k﹣6＝0，
分解因式得：（k﹣3）（k+2）＝0，
解得：k＝3或k＝﹣2，
当k＝﹣2时，方程为3x＝0，不是一元二次方程，舍去，
则k的值是3，
故选：C．
6．若二次函数y＝x2﹣6x+9的图象经过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3+，y3）三点．则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．
解：二次函数对称轴为直线x＝﹣＝3，
3﹣（﹣1）＝4，
3﹣1＝2，
3+﹣3＝，
∵4＞2＞，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x＝＝，再由图象中的数据可以得到当x＝取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x＝0时，y＝1，x＝﹣1时，y＝﹣3，可以得到方程ax2+bx+c＝0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，当x＝＝时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x＝，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c＝0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于＝3，小于3+1＝4，故④错误，
故选：B．
8．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．9
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3，
故选：B．
9．已知二次函数y＝﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（　　）
A．h≥﹣2 B．h≤﹣2 C．h＞﹣2 D．h＜﹣2
【分析】先确定抛物线的开口，再判定它的增减性，即可求出答案．
解：∵a＝﹣3，
∴二次函数开口向下，
∴二次函数对称轴的右边y随x的增大而减小，
∴h≤﹣2．
故选：B．
10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　x＝3　．
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．
故答案为：x＝3．
12．去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快．物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月、3月的平均增长率为　25%　．
【分析】根据“原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
解：设2月，3月的平均增长率为x，根据题意得：
4（1+x）2（1﹣36%）＝4，
解得：x＝25%或x＝﹣2.25（舍去）
故答案为：25%．
13．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　　．
【分析】由题意可得Δ＝b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．
解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根，
则Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）＝8﹣12m≥0，
∴m≤，
∵x1（x2+x1）+x22
＝（x2+x1）2﹣x1x2
＝（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
＝3m2﹣3m+2
＝3（m2﹣m+﹣）+2
＝3（m﹣）2+；
∴当m＝时，有最小值；
∵＜，
∴m＝成立；
∴最小值为；
故答案为：．
14．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3在﹣1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为　4或﹣8　．
【分析】由y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3＝a（x﹣2）2+（a2﹣2a﹣3）可知当a＞0时，最小值是a2﹣2a﹣3＝5，当a＜0时，x＝﹣1时，y有最小值5，则a+4a+a2+2a﹣3＝5，解关于a的方程即可求得．
解：y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3＝a（x﹣2）2+（a2﹣2a﹣3），
其对称轴为x＝2，
当a＞0时，最小值是a2﹣2a﹣3＝5，解得a1＝4，a2＝﹣2（舍去）；
当a＜0时，x＝﹣1时，y有最小值5，则a+4a+a2+2a﹣3＝5，整理得a2+7a﹣8＝0，解得a1＝1（舍去），a2＝﹣8，
所以a的值为4或﹣8，
故答案为：4或﹣8
三、解答题（本大题共7小题，共90分）
15．（24分）解方程：
（1）3x2﹣4x﹣1＝0（用公式法）；
（2）2x2+1＝3x（用配方法）；
（3）2（x﹣3）2＝9﹣x2（用因式分解法）；
（4）（x+3）（x﹣1）＝5（方法不限）．
【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式求方程的解；
（2）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先变形为2（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）2x2﹣3x+1＝0，
x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
所以x1＝1，x2＝；
（3）2（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6+x+3）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣6+x+3＝0，
所以x1＝3；x2＝1；
（4）x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x+4＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝2．
16．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．求这个二次函数的解析式．
【分析】利用抛物线与x轴的两交点坐标，可设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a即可．
解：设y＝a（x+1）（x﹣4），
将C （0，﹣4）代入解析式得a×1×（﹣4）＝4，解得a＝﹣1，
所以此函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+3x+4．
17．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已经成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，在著名“网红打卡地”磁器口，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经过测算知，该小面成本为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天可多售30碗．
（1）若该小面店每天至少卖出360碗，则每碗小面的售价不超过多少元？
（2）为了更好的维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元．
【分析】（1）设每碗小面的售价为x元，根据该小面店每天至少卖出360碗，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据总利润＝每碗利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其不超过20的值即可得出结论．
解：（1）设每碗小面的售价为x元，
依题意，得：300+30（25﹣x）≥360，
解得：x≤23．
答：每碗小面的售价不超过23元．

（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，
依题意，得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理，得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵店家规定每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
18．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2019的值．
【分析】（1）由Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4＞0可得答案；
（2）将x＝3代入方程得k2+6k＝﹣8，代入原式计算可得．
解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）因为方程有一个根为3，
所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8，
所以2k2+12k+2019＝2（k2+6k）+2019＝﹣16+2019＝2003．
19．已知二次函数．
（1）将化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤3时，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）提取二次项系数后加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）由（1）确定二次函数的最大值，代人x＝3求得最小值，从而确定y的取值范围．
解：（1）＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+2；
（2）y＝﹣（x﹣1）2+2，当x＝1时有最大值2，
当x＝3时，有最小值y＝﹣（3﹣1）2+2＝0，
∴当0≤x≤3时，函数值y的取值范围0≤y≤2．
20．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【分析】（1）利用每件的利润乘以每月的销售量，可得w关于x的二次函数，由每件的利润不高于成本价的60%及进价为每件20元可得自变量x的取值范围．
（2）先确定二次函数的对称轴，再根据开口方向及函数的增减变化可得出答案．
解：（1）由题意得：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000．
∵每件的利润不高于成本价的60%．
∴20≤x≤20（1+60%），
∴20≤x≤32，
∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．
（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），
∴对称轴为直线x＝﹣＝35，
又∵a＝﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．
∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．
21．两条抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（﹣1，﹣4），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）y1＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4）也是y2＝x2﹣mx+n的顶点，即可求m，n；
（2）作AP⊥x轴，设A（a，a2﹣2a﹣3），所以AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，可得AP+OP＝﹣a2+3a+3＝﹣由已知可知0＜a＜3，即可求；
（3）假设C2的对称轴上存在点Q，过点B'作B'D⊥l于点D，可得∠B'DQ＝90°；
①当点Q在顶点C的下方时，可证△BCQ≌△QDB'，设点Q（1，b），所以B'D＝CQ＝﹣4﹣b，QD＝BC＝2，可知B'（﹣3﹣b，2+b），可得（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，可求b＝﹣5，Q（1，﹣5），②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）．
解：（1）y1＝3x2﹣6x﹣1的顶点为（1，﹣4），
∵抛物线C1：y1＝3x2﹣6x﹣1与C2：y2＝x2﹣mx+n的顶点相同
∴m＝2，n＝﹣3，
∴y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）作AP⊥x轴，
设A（a，a2﹣2a﹣3），
∵A在第四象限，
∴0＜a＜3，
∴AP＝﹣a2+2a+3，PO＝a，
∴AP+OP＝﹣a2+3a+3＝﹣
∵0＜a＜3，
∴AP+OP的最大值为；
（3）假设C2的对称轴上存在点Q，
过点B'作B'D⊥l于点D，
∴∠B'DQ＝90°，
①当点Q在顶点C的下方时，
∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），抛物线的对称轴为x＝1，
∴BC⊥l，BC＝2，∠BCQ＝90°，
∴△BCQ≌△QDB'（AAS）
∴B'D＝CQ，QD＝BC，
设点Q（1，b），
∴B'D＝CQ＝﹣4﹣b，QD＝BC＝2，
可知B'（﹣3﹣b，2+b），
∴（﹣3﹣b）2﹣2（﹣3﹣b）﹣3＝2+b，
∴b2+7b+10＝0，
∴b＝﹣2或b＝﹣5，
∵b＜﹣4，
∴Q（1，﹣5），
②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）；
综上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；