安徽省合肥市庐阳区庐阳中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题(含答案解析)

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合肥庐阳区庐阳中学2020-2021第一次月考九上数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义对每个选项一一判断即可．
【详解】是正比例函数，故A选项错误；
不是反比例函数，故B选项错误；
是反比例函数，故C选项正确；
是一次函数，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题关键．
2. 函数是二次函数时，则a的值是（ ）
A. 1 B. ±1 C. -1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义进行解答．
【详解】解：依题意得：a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3. 抛物线 y = ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a，b取值范围是（ ）
A. a > 0，b < 0 B. a > 0，b > 0 C. a < 0，b < 0 D. a < 0，b > 0
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易得a > 0，然后由二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 y = ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，可得：
a > 0，
令y=0时，则有，即，
；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
4. 二次函数y =（x-3）2 +4的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A. 向上，直线x=3，（3，4） B. 向上，直线x=-3，（3，4）
C. 向上，直线x=3，（3，-4） D. 向下，直线x=3，（3，4）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据可得抛物线开口向下，再根据顶点式可直接得到对称轴与顶点坐标．
【详解】∵
∴二次函数y =（x-3）2 +4的图象开口向下，
对称轴为，顶点坐标为
故选D．
【点睛】本题考查二次函数性质，熟记顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键．
5. 如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知A（1，1），则k的值是（ ）

A. -5 B. -4 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，由点A坐标可得∠AOE=45°，由正方形性质可得∠OAE-45°，可得∠OEA=90°，即可证明AD⊥x轴，进而可得点D与点A关于x轴对称，可得点D坐标，代入反比例函数解析式即可得答案．
【详解】如图，
∵A（1，1），
∴∠AOE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，
∴∠CAD=45°，
∴∠OEA=90°，即AD⊥x轴，
∴点D与点A关于x轴对称，
∴D（1，-1），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-1，

故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、关于x轴对称的点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出点D坐标是解题关键．
6. 函数y = x2-x-1的图象经过点（x1，b），（x2，c），若x1< x2< 0，则b与c的大小关系是（ ）
A. b = c B. b > c C. b < c D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
将抛物线改写成顶点式，找出对称轴，根据开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小即可判断．
【详解】∵
∴抛物线开口向上，对称轴为
又∵
∴b > c
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小是解题的关键．
7. 若函数的图象分别位于第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象分别位于第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵函数的图象分别位于第二、四象限，
∴m＋1＜0，解得m＜−1
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．
8. 已知二次函数y=x2+2x+2与反比例函数（k≠0）的图象都经过点A（1，m），当二次函数与反比例函数的值都随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A. x < 0 B. x≤ -1 C. x > -1，且x≠0 D. x≥1
【答案】B
【解析】
【分析】
把A坐标代入二次函数解析式求出m的值，确定出A坐标，进而代入反比例解析式求出k的值，即可确定出解析式；然后将二次函数解析式换为顶点形式，确定出对称轴与开口方向，利用二次函数增减性确定出x的范围即可．
【详解】（1）将A（1，m）代入y=x2+2x+2 得：m=5，
将A（1，5）代入得：k=5，
∴反比例函数的表达式为，
∵y=x2+2x+2=(x+1)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，且开口向上，
∴当x≤-1时，二次函数的值随x的增大而减小，
又∵当x＜0时，的函数值随x的增大而减小，
∴当x≤-1时，二次函数与反比例函数的值都随x的增大而减小．
故：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
9. 如图，已知二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下命题，错误的是（ ）

A. abc > 0 B. a+b < 1 C. a-b+c > 0 D. ac+b-c=0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像与系数的关系可直接进行排除选项．
【详解】解：由图像可得：
，
，故A正确；
令x=-1，则有，故C正确；
令x=1时，则有，即，
，
，故B正确；
令x=0时，则有，
OA=OC，
，即，
把点A代入函数表达式得：，两边同除以c得：，故D错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键．
10. 如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行的时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间
0
1
2
3
4
滑行距离
0
4.5
14
28.5
48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m），和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=56t2-2t22滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了26s，则滑坡AB的长度为（ ）

A. 374米 B. 384米 C. 375米 D. 385米
【答案】B
【解析】
【分析】
由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在BC段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC段的滑行时间，即可得出在AB段的滑行时间，最后代入函数解析式求出AB段的长度即可．
【详解】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0，
设，
取两组数据代入可得：，
解得：，
，
滑雪者在缓冲带BC上滑行时间为：s，
滑雪者在滑坡AB上滑行时间为：26－14=12s，
令t1=12，，
滑坡AB的长度为384米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，滑雪者在BC段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在BC段的滑行时间是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 函数y=+2x2 当x=2时函数值y= _______________．
【答案】9.5
【解析】
【分析】
直接把x=2代入函数表达式进行求解即可．
【详解】解：把x=2代入函数表达式得：
；
故答案为9.5．
【点睛】本题主要考查函数值与自变量，关键是根据由函数表达式及变量之间的关系进行求解即可．
12. 若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab-2的值为________________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，由此求得的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】∵点A（a，b）在双曲线上，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
13. 进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意直接进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
y与x之间的函数关系式为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
14. 关于x的方程-x2 +x+m=0有正根，且正根只有一个，则m的取值范围是__________________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意可分两种情况进行求解，即方程有两个相等的实数根且为正根，另一种是有两个不相等的实数根，且有一个是正根，然后根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：根据题意得：
①当关于x的方程-x2 +x+m=0有两个相等的实数根，且为正根，
，解得：；
②当关于x的方程-x2 +x+m=0有两个不相等的实数根即，且有一个根为正根，则设方程的两个根为，且，根据根与系数的关系可得：
，
解得，
综上所述：关于x的方程-x2 +x+m=0有正根，且正根只有一个，则m的取值范围为或．
故答案为或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
15. 如图点P、Q、R在反比例函数常数k> 0，x> 0图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1、S2、S3，若OE=DE=CD，S1+S3=28，则S2的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：，由OE=DE=CD可得，再分别表示出S2、S3，根据S1+S3=28列方程求出k的值，即可得出S2的值．
【详解】由题意可得：，
OE=DE=CD，
，
同理可得：，
，
，
S1+S3=28，
，
解得：k=，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义，掌握k的几何意义并灵活运用是解题关键．
三、解答题（每题10分，共40分）
16. 已知二次函数y=x2+2x-3
（1）求它图象的顶点坐标和对称轴；
（2）求它与x轴的交点．
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】
（1）将二次函数解析式转化为顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可；
（2）令y=0，解方程，即可得出二次函数与x轴的交点坐标．
【详解】（1）y=x2+2x－3=(x+1)2－4，
顶点坐标是(－1,－4)，对称轴是直线x=－1；
（2）令y=0，则x2+2x－3=0，
(x+3)(x－1)=0，
x1=－3，x2=1，
所以与x轴交点坐标为：，．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质以及一元二次方程的求解，掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

（1）求反比例函数与一次函数表达式．
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
（3）求三角形面积．
【答案】（1）y=，y=2x-2；（2）x＜-1或0＜x＜2；（3）3
【解析】
【分析】
（1）将N坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将M坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出M坐标，将M与N坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由M与N横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象位于一次函数图象上方时x的范围即可；
（3）设一次函数与x轴交于A点，三角形MON面积=三角形AOM面积+三角形AON面积，求出即可．
【详解】解：（1）将N（-1，-4）代入反比例解析式得：k=4，即反比例解析式为y=，
将M（2，m）代入反比例解析式得：m=2，即M（2，2），
将M与N坐标代入一次函数解析式得：，
解得：．
即一次函数解析式为y=2x-2；
（2）根据图形得：x＜-1或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数的值；
（3）设一次函数与x轴交于A点，
对于一次函数y=2x-2，令y=0，得到x=1，即OA=1，
则S△MON=S△AOM+S△AON=×1×2+×1×4=1+2=3．

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法及数形结合思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18. 如图，点M在函数y =（x>0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x>0）的图象于点B，C．
（1）若点M的坐标为（2，5），求B，C两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接OB，OC，试求△BOC的面积

【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意易得点C与点M的横坐标相等，点B与点M的纵坐标相等，然后代入函数y=进行求解即可；
（2）连接OB，OC，延长MB、MC分别交y轴、x轴于点A、D，由（1）及题意可得矩形AODM的面积，然后利用割补法进行求解△BOC的面积即可．
【详解】解：（1）过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x>0）的图象于点B，C，点M的坐标为（2，5），
把x=2代入y=得：，
把y=5代入y=得：，解得，
，；
（2）连接OB，OC，延长MB、MC分别交y轴、x轴于点A、D，如图示：

由（1）得：，，，
MA⊥y轴，MD⊥x轴，
四边形AODM是矩形，
，
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练掌握二次函数的几何意义是解题的关键．
19. 已知函数y=y1+y2，y1=k1x，（k2≠0），且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解；
（2）把自变量x的值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵y=y1+y2，y1=k1x，（k2≠0），
∴，
将x=1时，y=4； x=2时，y=5代入得

解得

（2）将代入，得
【点睛】本题考查的是用待定系数法求函数的解析式，一定要熟练掌握并灵活运用．
四、解答题（共3小题，每小题12分，共36分）
20. （1）如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像，有图像可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ；借助图像法直接写出x2-2x＞0的解集为
（2）我们定义：若点P在某一个函数的图像上，且点P的横纵坐标相等，我们称点P为这个函数的“等分点”，则函数y=2x2的“等分点”为
（3）在上面（2）的定义下，若关于x的二次函数有两个“等分点”，求a的取值范围．

【答案】（1）或；或；（2）和；（3）或
【解析】
【分析】
（1）先根据二次函数图像的对称性求得抛物线与x轴的另一交点的横坐标，然后根据函数图象写出抛物线在x轴下方部分的x的取值范围即可；由y=x2-2x的图像与x轴交点的横坐标为0和2且开口方向上，然后直接写出x2-2x＞0的解集即可；
（2）令y=x，然后解关于x的一元二次方程即可；
（3）令y=x，然后整理成一元二次方程的一般形式，再运用根的判别式列不等式解答即可．
【详解】解：（1）如图：∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的右交点的横坐标为5
∴与x的左交点的横坐标为：2-（5-2）=-1
∴ax2+bx+c＜0的解集是或；
∵函数y=x2-2x的图像与x轴交点的横坐标为0和2且开口方向上
∴出x2-2x＞0的解集为或；
（2）令y=x，则有：x=2x2，即2x2-x=0，解得x=0或x=
∴函数y=2x2的“等分点”为和；
（3）令y=x，则有：，即
∵二次函数有两个“等分点”，即有两个不等的实数根
∴＞0，解得：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图像与不等的关系，将二次函数的问题转化成一元二次方程的问题成为解答本题的关键．
21. 如图，有一款电脑屏幕弹球游戏，球每次运行在同一平面内，从O处发射小球，球将投入“篮筐”—正方形区域DABC边CD，AB为入口和出口，三个顶点为A（2，2）、B（3，2）、D（2，3），小球按照抛物线y=-x2+bx+c飞行，小球落地点P坐标（n，0）．
（1）点C坐标为 ；
（2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）；
（3）随着n的变化，抛物线的顶点在二次函数 的图象上运动；
（4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触“篮筐”AD、BC，请求出n的取值范围．

【答案】（1）点坐标为；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质及A、B、D三点的坐标求得AD=BC=1即可得；
（2）把（0，0）（n，0）代入y=-x2+bx+c求得b=n、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；
（3）由抛物线的解析式可得抛物线顶点坐标为（，），在y=x2中，当x=时，y=，即可得出答案；
（4）根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当x=2时y＞3，当x=3时y＜2，据此列出关于n的不等式组，解之可得．
【详解】解：（1）∵A（2，2），B（3，2），D（2，3），
∴AD=BC=1，
则点C（3，3），
故答案为：（3，3）；
（2）把（0，0）（n，0）代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y=-x2+nx=-（x-）2+，
∴顶点N坐标为（，）；
（3）抛物线解析式为y=-x2+nx=-（x-）2+，
∴抛物线顶点坐标为（，），
在y=x2中，当x=时，y=，
∴抛物线的顶点在函数y=x2的图象上运动；
（4）根据题意，得：当x=2时y＞3，当x=3时y＜2，
即 ，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数的问题能力．
22. 某新型高科技商品，每件售价比进价多8元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，
方案一：每件商品涨价不超过a元；
方案二：每件商品的利润至少为25元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由．
【答案】（1）商品的售价为40元，进价为32元；（2）当售价为56元时，商品的销售利润最大，最大利润为2880元；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）设该商品的售价a元，进价为b元，由题意得：关于a和b的二元一次方程组，解方程即可解答；
（2）根据利润=每件的销售利润×销售量，列出函数关系式并通过配方法写成顶点式，按照二次函数的性质可得；
（3）由二次函数的对称性，分三种情况对比：当15＜a＜17时，而方案二x取17时；当a=15或a=17，而方案二中x=17时；当0＜a＜15或17＜a≤40，而方案二中x=17时．
【详解】解：（1）设该商品的售价a元，进价为b元，由题意得：
，解得：
答：商品的售价为40元，进价为32元．
（2）由题意得：，
∵二次项系数，
当每件商品涨价16元，即售价为56元时，商品的销售利润最大，最大为2880元．
（3）∵，
方案二：每件商品的利润至少为25元，则有，解得，
∵二次项系数，对称轴为，
当时，利润最大，最大利润为2875元；
方案一：每件商品涨价不超过a元，二次项系数，
故当时，利润最大，最大利润为2880元．
由二次函数的对称性可知，当，而方案二时，方案一的销售利润最大；
当或时，而方案二时，两种方案的销售利润相同；
当或时，而方案二时，方案二的销售利润高．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题及二次函数在销售问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系．
23. 抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（-2，0）和点B，与y轴交点C的坐标为（0，-6）．
（1）求抛物线的表达式并在图2中直接绘出图像；
（2）阅读：我们知道，平行线间距离处处相等，这个原理也常被用于图形等面积转换，如图1，在l1//l2，A（1，-2）、B（-3，1）、C（1，2）分别在l1、l2上，求两直线解析式即两直线距离；
（3）点E为抛物线顶点，F为抛物线上对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB面积相等时，求F点坐标．

【答案】（1），见解析；（2），；；（3）点坐标：，或
【解析】
【分析】
第（1）问把点带入即可求出各个未知数，进而求出解析式
第（2）问用两点带入求出直线l1,根据平行k相等求出直线l2, 根据面积相等求出距离
第（3）先求出直线BC，再求出过E点平行BC的直线y3，通过平移求出y4，再分与二次函数联立方程即可求出
【详解】（1）解∵A（-2，0），C（0，-6）在二次函数上
∴ 解得
∴

（2）∵l1经过A（1，-2）、B（-3，1）
∴
∴
∵l2与l1平行过C（1，-2）
∴设
∴ 解得b=
∴
∵A（1，-2）、B（-3，1），C（0，-6）
∴AC=4, AB=5, B到AC的距离是4
设C到AB的距离是h
∴ = 解得h=
∴C到AB的距离是 ．
（3）∵直线BC经过C（0，-6）、B（-3，1）
∴
∴
∵
∴E（）
设过E点平行于BC的直线
∴ 解得=
∴
∴是向下平移个单位得到
∴向上平移个单位得到直线
联立 解得(舍去)
∴F1
联立 解得 (舍去)
∴F2
综上所述：点坐标：，或．
【点睛】本题主要考察是信息题的理解运用能力，利用平移解出各个直线的解析式是解题关键.