2022年中考数学一轮复习6.1《与圆有关的性质》讲解含答案学案

这是一份2022年中考数学一轮复习6.1《与圆有关的性质》讲解含答案学案，共7页。

1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念：探索并了解点与圆的位置关系．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为 半径 ．
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做 直径 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 圆心 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 无数 个圆，过已知两点可作 无数 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个 圆．
2．圆的性质
(1)圆的对称性：圆是 轴 对称图形，其对称轴是 直径所在的直线 ；圆是 中心 对称图形，对称中心为 圆心 ，并且圆具有旋转不变性．
(2)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 平分弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
(3)圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 ．
推论2：直径所对的网周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 互补 ．
【例l】（南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB= 24cm，则CD= cm.
【答案】8 解题点拨：本题考查垂径定理，连接半径OA，根据勾股定理得OC．则CD易求．
【例2】（重庆）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠AOB= 120°，则∠ACB= 度．
【答案】60 解题点拨：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
【例3】（黔南州）如图，AB是⊙Ｏ的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是( )
A．∠A =∠CDB B． C．∠ACB=90° D．∠COB=3∠D
【答案】D解题点拨：本题综合考查了圆周角定理及推论，垂径定理．

【例4】（扬州）如图，⊙O是△ABC的外接网，直径AD=4,∠ABC=∠DAC．则AC长为 .
【答案】2
解题点拨：由圆周角相等得所对的弧相等，由弧相等得弦相等，即AC= CD．连
接CD构造直角三角形，利用勾股定理进行计算．
1．（白贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A =45°，∠AMD= 75°，则∠B的度数是 ( )
A．15° B．25° C．30° D．75°
【答案】C
2．（聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且．连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC= 105°，∠BAC= 25°，则∠E的度数为 ( )
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B

3．（ 安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=________________.
【答案】
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于________________.
【答案】
A组 基础训练
一、选择题
1．（重庆南开）如图，点A、点B、点C均在⊙0上，若 ∠B =40°，则∠AOC的度数为 ( )
A．40° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
2．（重庆西大附中）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC=60°，则∠D的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
3．（宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BOD= 88°，则∠BCD的度数是 ( )
A.88° B.92° C.106° D.136°
【答案】D
4．（重庆育才）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD， 垂足为E，∠A= 22.5°，OC=4，则CD的长为( )
A． B．4 C． D．8
【答案】C
5．（泰安）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形．OF⊥OC交圆O于点F．则
∠BAF等于 ( )
A.12.5 ° B.15° C.20° D.22.5°
【答案】B
二、填空题
6．（黄冈）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC．则∠ABC= .

【答案】35°
7．（青岛）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的 两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= ．
【答案】62°
8．（南京）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则∠ACB= ．
【答案】119°
9．（衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA= 1m，水面宽AB= 1.2m，某天下雨后，水管
水面上升了0. 2m．则此时排水管水面宽CD等于 m．
【答案】 1.6

B组提高练习
10．（达州）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为( )
A. eq \f(1,3) B.2 eq \r(,2) C. eq \f( eq \r(,2),4) D. eq \f(2 eq \r(,2),3)
【答案】C
（提示：作直径CD，根据勾股定理求出DD=4 eq \r(,2)，根据正切的定义求出tan∠CDO= eq \f( eq \r(,2),4)，根据圆周角定理得到∠OBC= ∠CDO，等量代换即可．）
11．（宿迁）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°， ∠BAC=20°,BC =2,以点C为圆心．CB为半径的圆交AB于点D．则BD的长为 ．
【答案】
（提示：作CE⊥AB于E，在直角三角形中利用30°性质即可求出BE=，再根据垂径定理可以求出BD=）
12．（成都）如图，△ABC内接于⊙0，AH⊥BC于点 日，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB ．
【答案】
（提示：首先作直径AE，连接CE，则AE=26，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，AB:AE=AH:AC，即可求得AB的值．）