2022年中考数学一轮复习5.3《轴对称和中心对称》讲解含答案学案

这是一份2022年中考数学一轮复习5.3《轴对称和中心对称》讲解含答案学案，共9页。
1．图形的轴对称
(1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．
(2)能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形．
(3)了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质．
(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．
2．图形的中心对称
(1)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．
(2)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质．
(3)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．
考点梳理——夯实基础
1．图形的轴对称
(1)定义：
①轴对称：__________两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说__________这两个图形是成轴对称，这条直线叫做__________对称轴，两个图形中重合的点叫做__________对应点，重合的线段叫做__________对应线段.
②轴对称图形：如果__________一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做__________轴对称图形，这条直线叫做__________对称轴．
(2)性质：
①成轴对称的两个图形__________全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被__________对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在__________对称轴上．
2．图形的中心对称
(1)定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转180。后能和另一个图形重合，那么这两个图形__________成中心对称，这个点叫做它的__________对称中心，旋转前后的点叫做__________对应点.
②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转__________180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做__________中心对称图形，这个点叫做它的__________对称中心．
(2)性质：
①关于某点成中心对称的两个图形__________全等．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点连线都通过对称中心，并且被对称中心__________平分．
考点精析——专题突破
考点一轴对称和中心对称的判定
【例l】(1)（重庆A卷）下列图形中是轴对称图形的是 ()D
(2)（扬州）剪纸是扬州的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是 ()C
解题点拨：本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
考点二对称与坐标
【例2】(1)（2014南通）点P（2，-5）关于x轴对称的点的坐标为 ()B
A．（-2，5） B．(2，5)
C．（-2，-5） D．（2，-5）
(2)（2014连云港）在平面直角坐标系内，点P（-2，3）关于原点的对称点Q的坐标为 ( ) A
A．（2，-3） B．(2，3)
C．（3，-2） D．（-2，-3）
(3)（铜仁）已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab=__________-6．
解题点拨：点关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数：关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数.
考点三对称的应用
【例3】（苏州）如图，在△ABC中，AB= 10，∠B= 60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4．将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B'DE（点B'在四边形ADEC内），
连接AB'，则AB'的长为__________2，
解题点拨：如图，作DF⊥B'E于点F，作B'G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B'DE也是边长为4的等边三角形形，从而GD= B'F=2．然后根据勾股定理得到B'G=2．然后再次利用勾股定理求得答案即可．
【例4】（攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点．E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为__________．
解题点拨：作B关于AC的对称点B'，连接BB’、B'D，交AC于E，此时BE+ED= B'E+ED=
B'D．根据两点之间线段最短可知B'D就是BE+ED的最小值．本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．
课堂训练——当堂检测
1．（烟台）下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是 ( )C
2．（桂林）如图，在△ABC中，AB= 10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是 ( )B
A．14 B．15 C．16 D．17
3．（潍坊）如图，已知∠AOB= 60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM =4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是__________2．
4．（绍兴）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A的坐标为(1，0)．
(1)分别写出A点经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B．点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由，
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n的值．
解：(1)∵点A的坐标为(1，0)，∴点A经1次平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A经2次平移后得到的点的坐标(3，4)；
(2)①连接CM，如答案图1：由中心对称可知，AM =BM，由轴对称可知：BM= CM，
∴AM=CM=BM．
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB,
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB =180°．
∴∠ACM+∠MCB=90°．
∴∠ACB=90°．
∴△ABC是直角三角形;
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如答案图2：
∵A(l，0)，C(7，6)，
∴AF=CF=6．
∴△ACF是等腰直角三角形.
由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°．
∴E点坐标为(13，0)，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：，解得：，
∴y= -x+13，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B(n+l，2n)，由2n= -n -1+13，
解得：n=4，∴B(5，8)．
第4题答案图1
第4题答案图2
中考达标——模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1．（绍兴）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有 ( )B
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
第1题
2．（南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为 ( )C
A．30° B．45° C．60° D．75°
第2题
3．（鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC= 12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF= ( )D
A. B.C. D.
第3题
4．（百色）如图，正△ABC的边长为2，过点B直线l⊥AB，且△ABC与△A'BC'关于直线l对称，D为线段BC'上一动点，则AD+CD的最小值是 ( )A
A．4 B．3 C．2 D．2+
第4题
二、填空题
5．（凉山）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB= 60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，-1），当EP+BP最短时，点P的坐标为__________．（2-3，2-）
第5题
6．（枣庄）如图，在平面直角坐标系中，点A(O，4)，B(3，0)，连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为__________．y=-x+
第6题
7．（龙东）如图，等边三角形的顶点A(l，1)、B(3，1)，规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为__________．(-2014，+1)
第7题
三、解答题
8．（昆明）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A (1，1)，B(4，2)，C(3，4)
(1)请面出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△AlBlCl；
(2)请面出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
(3)在x轴上找一点P，使PA +PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
第8题
解：(1)如答案图1所示：
(2)如答案图2所示：
(3)找出A的对称点A'（1，-1），连接BA'，与x轴交点即为P；如答案图3所示：点P坐标为(2，0).
第8题答案图1 第8题答案图2 第8题答案图3
9．（连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．
(1)求证：∠EDB= ∠EBD；
(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由.
解：(1)由折叠可知：∠CDB= ∠EDB,
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴DC∥AB, A
∴∠CDB= ∠EBD,
∴∠EDB= ∠EBD;
(2)AF∥DB;
∵∠EDB= ∠EBD,
∴DE=BE．
由折叠可知：DC=DF,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB,
∴DF=AB,
∴AE=EF,
∴∠EAF=∠EFA,
在△BED中，∠EDB+ ∠EBD+ ∠DEB= 180°．
∴2∠EDB+∠DEB=180°,
同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°,
∵∠DEB= ∠AEF,
∴∠EDB= ∠EFA,
∴AF∥DB.
第9题
第9题答案图
B组提高练习
10．（龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1．AF=2．若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 ()C
A．1 B．2 C．3 D．4
第10题
（提示：作F点关于BD的对称点F'，则PF =PF'，由两点之间线段最短可知当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF'的长度即可．）
11．（齐齐哈尔）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A= 60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为__________.-1
（提示：过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，得到2MD =AD= CD=2，从而得到∠FDM=60°，∠FMD= 30°，进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可．）
第11题
12．（十堰）如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC．AD相交于点E，F．
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠GFE= ∠FEC．
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线．
7．LGEF= LFEC．
f．LGFE= LFEG．
∴GF =GE．
∵图形翻折后EC与GE完全重合，
∴GE =EC．
∴GF =EC．
∴四边形CEGF为平行四边形，
∴四边形CEGF为菱形：
(2)如答案图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE= ∠GDE=45°，
∵∠ECD= 90°,
∴∠DEC=45°= ∠CDE．
∴CE=CD=DG．
∵DG∥CE．
∴四边形CEGD是矩形，
∴CE=CD=AB=3;
如答案图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE．
∵∠B= 90°．
∴AE2 =AB2+BE2，即CE2= 32+(9-CE)2,
∴CE=5．
∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．
第12题答案图1 第12题答案图2