专题4数列知识点与大题20道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题4数列知识点与大题20道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共21页。学案主要包含了基本概念等内容，欢迎下载使用。
专题4数列知识点与大题20道专练（基础题）（解析版）数列 一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 等差数列与等比数列性质的比较  等差数列性质等比数列性质1、定义；,2、通项公式3、前n项和4、中项a、A、b成等差数列A=；是其前k项与后k项的等差中项，即：=a、A、b成等比数列（不等价于，只能）;是其前k项与后k项的    等比中项，即：5、下标和公式若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则若m+n=p+q,则特别地,若m+n=2p,则6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和, 即：等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：7、结论{}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则成等差数列{}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列{},{}的公差分别为,则数列{}仍为等差数列，公差为（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列{},{}的公比分别为,则数列{}仍为等比数列，公差为取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等比数列，且公比为若则无此性质；若则 无此性质；若无此性质；成等差数列，公差为成等差数列，公比为当项数为偶数时，                   当项数为奇数时， ，当项数为偶数时，当项数为奇数时，                    8、等差(等比)数列的判断方法①定义法：②等差中项概念；③函数法：关于n的一次函数数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；④数列的前n项和形如 (a，b为常数)，那么数列是等差数列， ①定义法：②等差中项概念；③函数法：(均为不为0的常数，)，则数列是等比数列．④数列的前n项和形如(均为不等于0的常数且q≠1)，则数列是公比不为1的等比数列．9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列1．已知等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，所以数列的前n项和.2．等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.【详解】解：()∵是等差数列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比数列，，∴b1=43．已知数列的通项公式.（1）求，；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据通项公式，可直接得出结果；（2）先由题意，得到等比数列的首项和公比，进而可得其通项公式.【详解】（1）因为，所以，，（2）由题意知：等比数列中，，，公比∴等比数列的通项公式4．已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，.所以，化简得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题5．已知点是函数图象上一点，等比数列的前项和为.数列的首项为，前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，问使的最小正整数是多少？【答案】（1）；（2）59.【分析】（1）由已知求得，，，，得公比，即可写出通项；（2）由题意可得可得是首项为1，公差为1的等差数列.所以，所以，由，作差可得：，时也满足上式，根据裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）解：.，，则等比数列的前项和为，，由为等比数列，得公比，则，；（2）：由，得，当时，，则是首项为1，公差为1的等差数列，，则，作差可得.当时，满足上式由，得，则最小正整数为.【点睛】本题考查了数列与函数，考查了求等比数列的通项公式以及裂项求和法，有一定的计算量，属于中档题.6．数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设数列满足，其前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）当时，.检验，当时符合，即可得解；（2）当时，根据，即可得证；（3）利用错位相减法可得：，即可得证.【详解】（1）当时，.当时，.检验，当时符合.所以.（2）当时，，而，所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3.（3）由（1）（2）得，，所以①②由①-②得，所以.因为，所以.【点睛】本题考查了利用和的关系求通项，构造法证明等比数列，以及错位相减法求和，是数列基本方法的考查，属于基础题.7．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）直接对进行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通项公式【详解】解：（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以【点睛】此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查的关系，属于基础题8．设，数列的前n项和为，已知，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，再由已知条件可得：，即可得解；（2）由（1）得，所以,分组求和即可得解.【详解】（1）由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.由，，成等比数列可得，即，解得，所以.（2）由（1）得，所以所以.【点睛】本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题.9．已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设的前项和为，求证：．【答案】（I）;（Ⅱ）证明过程见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（Ⅱ）通过分母有理化可知，并项相加即得结论．.试题解析：（I）当时，，得或（舍去）．当时，，，两式相减得，所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列，．（Ⅱ）10．已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）由，当时，，时，对上式也成立，∴；又，，.（2），.【点睛】本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.11．设是等比数列，其前项的和为，且，. （1）求的通项公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.【详解】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，又，所以，所以.（2）因为，所以，由，得，即，解得，所以n的最小值为6.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和的求法和应用，属于基础题.12．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a5＝5，S5＝15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设an＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】(1) ；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为d，由已知得出方程组，解之得通项；（2）由已知根据对数运算得，根据等比数列的定义可得数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.由等比数列的求和公式可得答案.【详解】解:(1)设等差数列的公差为d，则，解之得，所以数列{an}的通项公式为；（2），由此可得，数列{bn}的是首项为2,公比为2的等比数列.因此，可得{bn}前n项和.【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式等知识点，属于中档题.13．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）.【分析】（1）由，，成等差数列可得，然后结合公比为2求出即可；（2）直接根据公式求出答案即可.【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列所以，所以，解得所以（2）【点睛】本题考查的是等差中项的应用、等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于基础题.14．已知数列的前项和为，且满足，（）．（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求（）．【答案】（1）; （2）.【分析】（1）用代入法求出，再根据与的关系，得递推关系，再求出，注意验证1时是否符合求出的通项公式.（2）用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由，，令得，令得，即.由………………………………………①则当时，……………………②①②可得，得，得，故是首项为，公比为的等比数列，则，整理得，当时，，也符合公式，故（）,即数列的通项公式.(2),故，即.【点睛】本题考查了与之间的关系，根据递推公式推导通项公式，裂项相消法求和.15．设函数，数列满足（，且）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据函数解析式化简题中的递推关系，结合等差数列的概念求解数列的通项公式；（Ⅱ）求出，进而得到不等式，利用分离变量法求解的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）因为（，且），所以．因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以． （Ⅱ）要使对恒成立，只要使对恒成立，只要使对恒成立，只要，故实数的取值范围为．【点睛】本题考查等差数列的概念和性质、数列的综合应用,分离变量法求最值．16．已知等比数列的前项和为，公比，且，，数列满足.（1）求，；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题意可得，利用等比数列的通项公式，求得和；利用数列的通项公式和前项和公式之间的关系可得，进而求出；（2）由（1）知，利用等比数列前项和公式，即可求胡结果.【详解】（1）由，（2）-（1）得，即，又，∴.把代入（1）得，∴，又∵，当时，，当时，，因时，也符合上式，∴，又，∴.（2）由（1）知，∴.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用，同时考查了数列的通项公式和前项和公式之间的关系，属于基础题.17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝12，S4＝40.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝4n；（2）Tn＝2－－.【分析】（1）假设公差d，然后根据等差数列的通项公式以及前项和，得到a1，d，然后可得结果.（2）根据（1）的条件，可得，进一步可得，然后使用错位相减法求和即可.【详解】（1）设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝12，S4＝40则，解得a1＝4，d＝4， ∴an＝4＋4(n－1)＝4n.（2），. ∴，①，②①－②得∴Tn＝2－－.【点睛】本题主要考查错位相减法求和，掌握常用的求和方法：错位相减，裂项相消法，公式法等，属基础题.18．设是等差数列，,且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，且,求数列的前项和为.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差数列和等比数列的的通项公式，即可求出结果；（2）由等差数列的前项和可得，所以，采用裂项相消法求和，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为,成等比数列,,即,解得,.（2）由（1）知,,,,数列的前项和为【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.19．已知等差数列满足，.（1）求该数列的公差和通项公式；（2）设为数列的前项和，若，求的取值范围.【答案】（1）;;（2）且【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算，可得，然后可得结果.（2）根据（1）的条件，可得，然后代入求解，可得结果.【详解】（1）由等差数列通项公式，将，代入解得，所以数列的通项公式为.（2）由可得.因为，所以，所以或.因为，所以的取值范围为且.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前项和，重在对公式的记忆，属基础题.20．在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据等差数列的公差为,得到,,再根据,,成等比数列,由等比中项公式得出首项,代入通项公式即可得通项.（2）由（1）得,数列,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可..【详解】解：（1）∵的公差为,∴,.∵,,成等比数列,∴,解得,从而.（2）由（1）得,.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题.