专题20概率（理）知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题20概率（理）知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共22页。学案主要包含了椭圆，双曲线，抛物线，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长问题等内容，欢迎下载使用。
 ]专题20概率（理）知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）一、椭圆1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．即：。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长    长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 
二、双曲线1、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长    实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率，越大，双曲线的开口越阔渐近线方程5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．      三、抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴          ⑵ ⑶ 以为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点对在准线上射影的张角为⑸ 四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。①.     若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则==== 1．已知：，：方程表示双曲线.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据双曲线方程求得参数的范围；（2）先求得命题中的范围，再根据充分不必要条件的定义或集合包含关系得不等关系，从而得参数范围．【详解】解：（1）由题意可得，解得或.故的取值范围为.（2）由题意可得：或.因为是的充分不必要条件，所以，解得.故的取值范围为.2．已知动圆过点，且与直线：相切．（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）由题意分析圆心符合抛物线定义，然后求轨迹方程；（2）直接联立方程组，求出弦长.【详解】解：（1）圆过点，且与直线相切点到直线的距离等于由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，所以，动圆圆心的轨迹方程是．（2）依题意可知直线，设联立，得，则所以，线段的长度为．【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.3．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接由抛物线的定义可求出，从而可得抛物线的方程；（2）利用点差法先求出直线的斜率，从而可求得直线的方程【详解】（1）根据抛物线的定义得解得抛物线的方程为（2）设，是线段的中点在抛物线上，于是得，即，得直线的斜率为，则直线方程为4．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于、两点，且.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若，O为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先设出直线方程，代入抛物线得到，再利用即可得到，从而得到抛物线方程.（2）首先得到直线的方程为，代入抛物线方程，利用根系关系即可得到的面积.【详解】（1），设直线的方程为，代入抛物线，消x，得：，∴，从而，∴抛物线C的方程为.（2）由已知，，直线的方程为，代入抛物线，消x，得：，，∴.5．已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.【详解】（1）由双曲线方程可得，，所以，解得.则曲线的右焦点为，所以，.因此，抛物线的标准方程为；（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.代入抛物线方程可得，解得，所以点的坐标为或.6．已知椭圆的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点，分别为其左、右顶点，点为椭圆上不与，重合的动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）分别过点，作直线于点，于点，设与相交于点，求点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由离心率为，求得，再的最大值，得到，联立求得的值，即可求解；（2）设，分别求得，，，，结合，化简即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，即，所以，又由，点为椭圆上的动点，可得，则的最大值为，即，代入得，解得，，所以椭圆方程为．（2）如图所示，设，，则．①由题意得，，，，则，，且，代入①得，又由，所以，即，整理得，所以所求轨迹方程为．7．已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.（1）若，求直线的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得．（2）若，则，，再结合韦达定理可解得，，，从而求出点坐标，由计算可得．【详解】解：（1）设直线的方程为，将其代入抛物线得：，设，，，，则，①，②，由抛物线的定义可得：，解得，直线的方程为．（2）若，则，，化简得，③由①②③解得，，，所以，与轴的交点，又所以【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8．已知经过圆上点的切线方程是.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知直接类比求解即可；（2）根据（1），根据题意，得到方程组，根据方程组的特征求出A､B两点坐标特征，最后可以求出直线过定点.【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为.（2）设切点为，点，由（1）的结论的直线方程：，直线方程：，通过点，∴有，∴A，B满足方程：，∴直线恒过点：，即直线恒过点.9．设抛物线的焦点为F，点是C上一点，且．（1）求抛物线C的方程；（2）设M，A，B是C上不同的三点，且直线MA，MB的倾斜角互补，重心的纵坐标为1，求直线AB的斜率k．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由抛物线定义可得答案；（2）设，，，则，，直线AB的斜率，由和重心的纵坐标为1得到即可.【详解】（1）抛物线C的准线方程为，由抛物线的定义，得，  解得，故抛物线C的方程为．（2）设，，，则直线MA的斜率，同理，直线MB的斜率，由，得．由三角形重心坐标公式，得，所以，进而，所以直线AB的斜率．10．已知的长轴长为4，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆的长轴长为4，短轴长为2，得到，写出椭圆方程.（2）设点，易知，由OH垂直于直线PB，得到，，两方程联立求解即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，短轴长为2，所以，所以椭圆C的标准方程是；（2）设点，因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点，所以，则，因为直线OH垂直直线PB，所以，则，又，则，解得，因为，则，解得，所以直线OH与直线AP的交点M的横坐标为定值．11．已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点为椭圆上一点，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）根据三角形面积公式，结合椭圆中的关系进行求解即可；（2）根据题意设出直线的方程与椭圆的方程联立，结合以线段为直径的圆的性质、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】解：（1） 得      在椭圆上，   ①    是椭圆的焦点   ②由①②解得： 方程：（2）的斜率，设的方程为， 联立方程组整理得   △，解得设两点的坐标为，则以为直径的圆经过原点，所以有，即   解得经检验满足，所求的方程为12．已知抛物线.（1）若直线，求曲线上的点到直线距离的最小值；（2）过点且倾斜角为的直线m交于两点，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率为时，切点坐标，再求切点到直线的距离；（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，利用弦长公式求.【详解】（1）由题意可知，设与平行的直线与抛物线相切于点即抛物线上的点到直线的最小距离（其他方法酌情给分）（2）依题意得直线方程为联立直线方程与抛物线方程得整理得，由韦达定理得=13．已知抛物线：，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设点，过点作直线，与抛物线相切，切点分别为，，若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）设直线的方程为：，、，联立直线与抛物线的方程消，利用韦达定理可得，再利用焦点弦长公式即可求的值，进而可得抛物线方程；（2）过点且与抛物线相切的直线方程为：与抛物线方程联立可得，即可求解.【详解】（1）由抛物线：可得抛物线焦点，设直线的方程为：，、，由可得，所以，，所以，即，解得，抛物线的方程为；（2）设直线过点且与抛物线相切，直线方程为：，由消去可得，由直线与抛物线相切可得：，即，因为则，即，解得.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用过焦点的弦长公式求参数，第（2）的关键是设出切线方程与抛物线方程联立，利用，可求的方程，由 即可.14．如图，设点在轴上，且关于原点对称．点满足，且的面积为．（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）以为焦点，且过点的椭圆记为．设是上一点，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）设，根据点满足，得到直线的方程为，直线的方程为，两方程联立用c表示点P的坐标，再根据的面积为，由求得c即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P，从而由求得a，进而得到椭圆的方程，然后根据求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：设，则直线的方程为，直线的方程为． 由 解得所以． 故的面积． 所以，解得． 所以点的坐标为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以， ． 设以为焦点且过点的椭圆方程为． 则，又， 所以椭圆的方程为． 所以， 即．因为，所以．所以． 所以的取值范围是．15．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．（1）求的值；（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．【答案】（1）；（2），.【分析】（1）根据两曲线的方程分别计算和，即可求出的值；（2）根据双曲线渐近线的斜率小于，得到，再由椭圆与双曲线的性质，即可计算出离心率的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，所以；（2）因为双曲线的渐近线方程为，若双曲线渐近线的斜率小于，则，所以，因此，，又，分别为椭圆与双曲线的离心率，所以，，因此，.16．如图所示，已知圆：与点，分别求出满足下列条件的动点的轨迹方程．（1）的周长为10；（2）圆与圆外切，且过点(为动圆圆心)；（3）圆与圆外切，且与直线相切(为动圆圆心)．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意可得到，再根据椭圆的定义即可求解；（2）由题意可得到，再根据双曲线的定义即可求解；（3）根据抛物线的定义即可求解.
【详解】解：（1）由题意知：，又，，故点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且，，即，，，动点的轨迹方程为：；（2）设圆的半径为，则，，，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支，且，，即，动点的轨迹方程为：，（3）由题意知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，，动点的轨迹方程为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.