专题70 不等式选讲（原卷版）学案

专题70 不等式选讲

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不等式选讲是高考选考内容之一，在知识上往往与绝对值分段函数结合，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等. 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

（一）不等式的形式与常见不等式：

1、不等式的基本性质：

（1）

（2）（不等式的传递性）

注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立

（3）

（4）

（5）

（6）

2、绝对值不等式：

（1）等号成立条件当且仅当

（2）等号成立条件当且仅当

（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当

3、均值不等式

（1）涉及的几个平均数：

① 调和平均数：

② 几何平均数：

③ 代数平均数：

④ 平方平均数：

（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：

（3）三项均值不等式：

①   

②

③

4、柯西不等式：

等号成立条件当且仅当或

（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当

（2）柯西不等式的几个常用变形

① 柯西不等式的三角公式：

②

②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充.

③

5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：

即“反序和乱序和顺序和”

（二）不等式选讲的考查内容：

1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立

2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”

3、解不等式----含有绝对值不等式的解法：

（1）定义法.

（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式，体现了分类讨论的思想；

（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如|f(x)|<|g(x)|）；

（4）图象法或数形结合法. 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数22】已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

例2．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数22】 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

例3．【2020年高考江苏卷12】已知，则的最小值是      .

例4．【2020年高考江苏卷23】设，解不等式．

例5．【2020年高考天津卷14】已知，且，则的最小值为_________．

例6．（2020·广西高三三模）已知函数.

（1）求不等式的解集，

（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

例7．（2020·贵州遵义·高三三模）设函数．

（1）若，求a的取值范围；

（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．

例8．（2020·江西高三三模）设函数..

（1）求不等式的解集；

（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.

【精选精练】

1．（2020·内蒙古高三三模）已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2．（2020·六盘山高级中学高三三模）已知函数

（1）解不等式；

（2）若，且，求证：.

、3．（2020·四川高三三模）已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）已知，证明：．

4．（2020·广东华南师大附中高三三模）已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

5．（2020·内蒙古赤峰·高三三模）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

6．（2020·内蒙古赤峰·高三三模）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

7．（2020·湖南高三三模）已知，，，函数．

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）当的最小值为6时，证明：．

8．（2020·广西师范大学附属中学高三三模）已知函数.

（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.

（2）证明：.

9．（2020·陕西高三三模）已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．

10．（2020·宁夏高三三模）已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.

11．（2020·湖北省麻城市第一中学高三三模）已知函数.

（1）解不等式；

（2）方程解集非空，求的取值范围.

12．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值.