专题70 不等式选讲（解析版）学案

这是一份专题70 不等式选讲（解析版）学案，共19页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题70 不等式选讲【热点聚焦与扩展】不等式选讲是高考选考内容之一，在知识上往往与绝对值分段函数结合，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等. 将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1） （2）（不等式的传递性）注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3） （4） （5） （6）2、绝对值不等式： （1）等号成立条件当且仅当 （2）等号成立条件当且仅当 （3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：① 调和平均数： ② 几何平均数： ③ 代数平均数： ④ 平方平均数：（2）均值不等式：，等号成立的条件均为： （3）三项均值不等式：①    ② ③ 4、柯西不等式： 等号成立条件当且仅当或 （1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当 （2）柯西不等式的几个常用变形① 柯西不等式的三角公式： ② ②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充.③ 5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：即“反序和乱序和顺序和”（二）不等式选讲的考查内容：1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式----含有绝对值不等式的解法：（1）定义法. （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式，体现了分类讨论的思想；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如|f(x)|<|g(x)|）；（4）图象法或数形结合法. 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【经典例题】例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数22】已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）．【思路导引】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图像；（2）作出函数的图像，根据图像即可解出．【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：由，解得，∴不等式的解集为．【专家解读】本题考查了分段函数的图像及其应用，考查绝对值不等式的解法，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用零点分段法作出绝对值函数的图像．例2．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数22】 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．【解析】（1）当时，．当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或．（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．【专家解读】本题考查了绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立的参数取值范围问题的解法，考查绝对值三角不等式的应用，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是绝对值三角不等式的应用．例3．【2020年高考江苏卷12】已知，则的最小值是      .【答案】【解析】，故，当且仅当，即，时，取等号.∴.【专家解读】本题考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是基本不等式的应用．例4．【2020年高考江苏卷23】设，解不等式．【答案】【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果。【解析】或或，或或，所以解集为。【专家解读】本题考查了绝对值不等式的解法，考查转化与化归思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．例5．【2020年高考天津卷14】已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【思路导引】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立，故答案为：。【专家解读】本题考查了基本不等式的应用，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．“1”的合理变换是解题的关键.例6．（2020·广西高三三模）已知函数.（1）求不等式的解集，（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】(1).，或或.或或..即不等式的解集为.(2)，得，，当且仅当取“=”.，.所以实数a的取值范围是.例7．（2020·贵州遵义·高三三模）设函数．（1）若，求a的取值范围；（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，当时，，则，解得：；当时，，则，解得：；当时，，则，解得：；当时，，则，此时无解，综上可知：；（2）因为，所以,当且仅当时取等号，又因为恒成立，所以，所以恒成立，且（取等号时），所以，即.例8．（2020·江西高三三模）设函数..（1）求不等式的解集；（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由得：，∴或，解得：或.∴不等式的解集是.（2），当时显然不成立，所以成立，即，令，即，，所以实数的取值范围是.【精选精练】1．（2020·内蒙古高三三模）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）当时，，由，得，即，或，即，或，即，综上：或，所以不等式的解集为或.（2），，因为，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在时恒成立，不等式恒成立必须，，解得.所以，解得，结合，所以，即的取值范围为.2．（2020·六盘山高级中学高三三模）已知函数（1）解不等式；（2）若，且，求证：.【答案】（1），（2）证明见解析、【解析】解：（1）由题意得，当时，由，解得，当时，不成立，当时，由，解得，所以不等式的解析为，（2）由题意可得，要证即证，即证因为所以所以，所以，所以、3．（2020·四川高三三模）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）已知，证明：．【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）即为，等价为或或，解得或或，综上可得，原不等式的解集为，，；（2）证明：由柯西不等式可得，当时，上式取得等号．又，则，即，即．即得证.4．（2020·广东华南师大附中高三三模）已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，不等式，等价于当时，不等式化为，即，解集为；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，即，解集为；综上，所求不等式的解集为.（2）当时，等价于，若，则，∴若，则，∴综上，实数的取值范围为.5．（2020·内蒙古赤峰·高三三模）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）原不等式等价于或或解得或或，故原不等式的解集为.（2）因为，又关于的方程有解，所以，即或，解得或.所以实数的取值范围为或.6．（2020·内蒙古赤峰·高三三模）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由题意，函数，又由不等式，可得，等价于或或，解得或或，故原不等式的解集为.（2）由绝对值的三角不等式，可得，又由关于的方程有解，所以，即或，解得或，所以实数的取值范围为或.7．（2020·湖南高三三模）已知，，，函数．（1）当，时，求不等式的解集；（2）当的最小值为6时，证明：．【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】（1）当，时，．，或或，或或，不等式的解集为或；（2）证明：，，当且仅当时等号成立，．8．（2020·广西师范大学附属中学高三三模）已知函数.（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.（2）证明：.【答案】（1）(-∞，4]；（2）证明见解析.【解析】（1）当x≥1时，.当时，在区间[1，2)上单调递减，在区间上单调递增，此时f(x)min=f（2）=4；当时，在区间上单调递增，此时.综上，当x∈[1，+∞)时，f(x)min=4，所以a≤4，即a的取值范围为(-∞，4].（2）因为，当且仅当时，等号成立.又，当且仅当x=2或-2时，等号成立，所以，当且仅当x=2或-2时，等号成立.又，当且仅当x=1时取等号，所以.9．（2020·陕西高三三模）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，不等式等价于或或，解得，所以的解集为． （2）当时，，依题意有在上恒成立，则，所以．当时，依题意有在上恒成立，则且，所以．综上，a的取值范围是．10．（2020·宁夏高三三模）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为，所以，所以不等式等价于或或，解得或.所以不等式的解集为或.（2）因为，所以，根据函数的单调性可知函数的最小值为，因为恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.11．（2020·湖北省麻城市第一中学高三三模）已知函数.（1）解不等式；（2）方程解集非空，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】，即所以 或或解得或或解集为（2）等价于有解即函数和函数的图像有交点画出的图像直线恒过点,即直线绕点旋转时，与函数图象有交点时斜率的范围.如图，当直线过点时刚好满足条件，当旋转到斜率为，刚好不满足条件, 所以的取值范围为12．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当时，.，或或，或或，，不等式的解集为.（2）当时，，当时，令，则或，又由，得，的图象与轴围成的三角形面积等于6，，解得或（舍.